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文档简介
1、相似三角形专题复习 (经典),ABCA/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么A/B/C/ 与 ABC的相似比为_.,1.相似三角形的定义:,对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。,2.相似比:,相似三角形的对应边的比,叫做相似三角形的相似比。,一.相似三角形,知识要点,两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例。 相似三角形对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比。 相似三角形周长的比等于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形的传递性。,3.相似三角形的性质:,4.相似三角形的判定:,如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么
2、这两个三角形相似,如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,已知:在ABC中,DEBC,点F是线段DE上一点,连接AF并延长与BC相交于点G. 求证:DFGC=FEBG,例1.,相似三角形判定的基本模型一,A字型、 反A字型(斜A字型) (平行) (不平行),例2.,若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.,添平行线构造相似三角形的基本图形。,D,E,H,G,F,M,N,1,2,若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:
3、FG=2:3,试求AF:FB的值.,添平行线构造相似三角形的基本图形。,E,G,F,M,N,1、如图,点D、E分别是ABC边AB、AC上的点,且DEBC,BD2AD,那么ADE的周长ABC的周长。,1:3,2.右图中,若D,E分别是AB,AC边上的中点,且DE=4则BC= ,8,3.右图中, DEBC,SADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=,1:3,课堂训练:,E,B,D,C,4. 在ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且ADE=B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.,A,解: A=A ADE=B ADEABC ( ) AD:AB=A
4、E:AC x:5=y:4 y=0.8x,(0 x4),5.如图: DEBC,EF AB,AE:EC=2:3, S ABC=25,求S四边形BDEF,解:,DEBC,ADEABC,SADE,SABC,AE,AC,( ),2,4,25,SABC=25,SADE,4,AE:EC=2:3,AE:AC=2:5,6. 过ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E, 求证:AE:ED=2AF:FB。,G,7.已知:ABCD,连接AD,CB相交于点E.过E点作EF平行于线段AB,与线段AC相交于点F。求: 的值。,相似三角形判定的基本模型二 (平行) (不平行),8字型 反8字型 (蝴蝶型)
5、,例1.已知ABCD,连结对角线BD,E.F是边BC的三等分点,连结AE、AF,与BD分别交于点G、H,则BG:GH:HD的值为_.,5:3:12,5,1:3,1:9,9:1,练3. 如图,在ABCD中,AB=4,BC=6,ABC, BCD的角平分线分别交AD于E和F,BE与CF交于点G,则EFG与BCG面积之比是( ) A.2:3 B.4:9 C.1:4 D.1:9,D,练4. 如图,已知点D是AB边的中点, AFBC,CG:GA=3:1,BC=8,则AF=_.,4,练5.如图,直角梯形ABCD中,BCD=90, ADBC,BC=CD,E为梯形内一点,且BEC=90,将BEC绕C点旋转90使
6、B与D重合,得到DCF,连EF交CD于M.已知BC=5,CF=3,则DM:MC的值为_.,4:3,相似三角形判定的基本模型一,A字型、 反A字型(斜A字型) (平行) (不平行),相似三角形判定的基本模型二 (平行) (不平行),8字型 反8字型 (蝴蝶型),给你一个锐角ABC和一条直线MN;,问题,你能用直线MN去截ABC,使截得的三角形 与原三角形相似吗?,相似三角形,DEBC,ADE ABC,DAE= CAB,ADE ABC,基本图形,判定方法,AED= B,DAE= BAC,ADE ABC,三边对应成比例的 两个三角形相似.,相似三角形,DEBC, ADE ABC,DAE= CAB,
7、ADE ABC,基本图形,判定方法,AED= B,DAE= BAC,ADE ABC,对应角相等;,性质定理,对应边成比例;,周长的比 等于相似比;,面积的比等于 相似比的平方;,三边对应成比例的 两个三角形相似.,练一练,基本图形,D,E,H,过D作DHEC交BC延长线于点H,(1)试找出图中的相似三角形?,(2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_;,(3)若ABC的周长为4,则BDH的周长为_.,(4)若ABC的面积为4,则BDH的面积为_.,ADE ABC DBH,2:3,6,9,三、基本图形的形成、变化及发展过程:,平行型,斜交型,垂直型,1.添加一个条件,使AOB DOC,角: B
8、= C或 A= D 边:AB CD AO:OD=BO:CO,“X” 型,解:,2.若ABCADE, 你可以得出什么结论?,角: ADE= B AED= C 边:DE BC,面积:,“A”型,3、D、E分别是ABC边AB、AC上的点,请你添加一个条件,使ADE与ABC相似。,斜交型,角: B= 2或 1= C 边: AD:AC=AE:AB,解:,4、已知CD是RtACB斜边AB上的高,且CD=6,BD=12,则AD=_,AC=_。,3,6,12,3,垂直型,1.如图,DEBC,D是AB的中点,DC、BE相交于点G。 求,=1:2,=1:2,B,A,C,O,如图: 写出其中的几个等积式 AC2=
9、BC2= OC2=,AOAB,BOAB,AOBO,若AC=3,AO=1.写出A.B.C三点的坐标.,(-1,0),(8,0),(0,2 ),已知,如图,梯形ABCD中,ADBC, A=900,对角线BDCD 求证:(1) ABDDCB; (2)BD2=ADBC,证明:(1) ADBC, ADB= DBC A=BDC= 90, ABDDCB,如图,在直角梯形ABCD中,ABCD, A=900,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),,交于点,()ABP与DPE是否相似?请说明理由;,()设x=y,求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;,(3)请你探索在点P运动的过程
10、中,四边形ABED能否构成矩形?如果能,求出AP的长;如果不能,请说明理由;,(4)请你探索在点P运动的过程中,BPE能否成为等腰三角形?如果能,求出AP的长,如果不能,请说明理由。,2,5,试一试,x,y,5-x,3、如图,在ABC中,ABC=90,AB=6,BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动,点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B两地同时出发,几秒后 PBQ与原三角形相似?,例:如图,在ABC中,C=90,AC=4,BC=3,PQAB,点P在AC上(与点A、C不重合),点Q在BC上。试问:在AB上是否存在点M,使得PQM为等腰直角三角形?若不存在,
11、请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长。,P,Q,例:如图,在ABC中,C=90,AC=4,BC=3,PQAB,点P在AC上(与点A、C不重合),点Q在BC上。试问:在AB上是否存在点M,使得PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长。,A,B,C,E,F,如图,在正方形ABCD中,E为BC上任意一点(与B、C不重合)AEF=90.观察图形:,D,A,B,C,E,F,D,(2)若E为BC的中点,连结AF,图中有哪些相似三角形?,(1) ABE 与ECF 是否相似?并证明你的结论。,问题发现 知识整理,ABE ECF, AEF,问题1:,(1)点E为BC上任意一点,
12、若 B= C=60, AEF= C,则ABE与 ECF的关系还成立吗?说明理由,(2)点E为BC上任意一点若 B= C= , AEF= C,则ABE 与 ECF的关系还成立吗?,A,B,F,C,E,60,60,60,“M”型相似,问题发现 知识整理,ABE ECF,A,B,C,E,F,D,A,F,G,(1)延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点,若 B=C= , AEF= C,连结AF. 找出图中的相似三角形 说出图中相等的角及边之间的关系,(2)延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点,若 B=C= , AEF= C, 当AEF旋转到如图位置时,上述关系还成立吗?,问题发现 知识整理,
13、问题2:,善于运用类比、迁移的数学方法解决问题,E为中点,归纳:,变式:.在直角梯形ABCF中,CB=14,CF=4, AB=6,CFAB,在边CB上找一点E,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似,则CE=_,1.矩形ABCD中,把DA沿AF对折,使D与CB边上的点E重合,若AD=10, AB= 8, 则EF=_,善于在复杂图形中寻找基本型,5,A,D,B,C,E,F,E,E,E,5.6或2或12,注意分类讨论的数学思想,实战演练 知识运用,E,B,C,D,F,2.已知:D为BC上一点, B= C= EDF=60,BE=6,CD=3,CF=4, 则AF=_,7,A,实战
14、演练 知识运用,E,B,C,D,F,A,变式:已知:ABC中,AB=AC, BAC= 120,D为BC的中点, 且EDF =C, (1) 若BECF=48,则AB=_ (2)在(1)的条件下,若EF=m, 则SDEF =_,利用转化的 数学思想,H,P,8,实战演练 知识运用,(1)连接AP、AQ、PQ,试判断APQ的形状,并说明理由。,(2)当t=1秒时,连接AC,与PQ相交于点K.求AK的长。,Q,P,A,B,C,D,K,善于在复杂图形中寻找基本型,已知:菱形ABCD,AB=4m, B=60,点P、Q分别从点B、C出发,沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动,运动时间为t秒.,迁
15、移拓展 知识提升,E,Q,A,B,C,D,P,N,F,(3) 当t=2秒时,连接AP、PQ,将APQ逆时针旋转,使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F,连接EF.若AN=1,求SEPF.,注意运用转化的数学思想,迁移拓展 知识提升,(4)以OS为一边在SOC内作SOT,使 SOT = BDC,OT边交BC的延长线于点T, 若BT=4.8,求AK的长。,A,S,K,D,C,B,o,T,30 ,30 ,30 ,迁移拓展 知识提升,(P),(Q),P,Q,我的收获,善于观察 善于发现 善于总结,1、已知:等边ABC 中,P为直线AC上一动点,连结BP,作BPQ=60,交直线BC于点N. (
16、1)当P在线段AC上时,证明PAPC=AB CN (2)若P在AC的延长线上,上述关系是否成立? (3)若P在CA的延长线上, CN=1.5,BC=2,求AP、BP的长,补充练习、内化理解,N,Q,N,Q,N,Q,60,60,60,2、在平面直角坐标系中,四边形OABC为等腰梯形, OABC, OA=7, BC=3, COA=60,点P为线段OA上的一个动点,点P不与O、A重合,连结CP. (1)求点B的坐标。 (2)点D为AB上一点, 且AD:BD=3:5,连结PD, 在OA上是否存在这样的 点P,使CPD= BAO? 若存在,求出直线PB的 解析式,若不存在,请说明理由。,D,补充练习、内
17、化理解,F,B,C,A,(-3,0),(1,0),tanABC=,(1)请在x轴上找一点D,使得BDA与BAC相似 (不包含全等),并求出点D的坐标;,(2)在(1)的条件下,如果P、Q分别是BA、BD上 的动点,连结PQ,设BPDQm, 问:是否存在这样的m,使得BPQ与BDA相似? 如存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由。,用一用,O,D,(1)BDABAC CADABC tanCADABC= BC=4 AC=BCtan ABC=3 CD=ACtan CAD=3 = OD=OC+CD=1+ = D( ,0),用一用,用一用,P,Q,P,Q,例2 如图,有一块锐角三角形余料ABC,它的边
18、BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,加工成正方形零件的边长为多少毫米?,如果把正方形的零件改变为加工矩形零件,设DP=x,DE=y,写出y与x之间的函数关系式,试确定x的取值范围。,P,B,A,C,D,E,F,M,N,如图,ABC是一 块余料,边AB=90厘米,高CN=60厘米,要把它加工成正方形零件,使正方形 的一边在AB上,其余两个顶点分别在BC、AC上 这个正方形零件的边长是多少?,当DE是DP的1.5倍时恰好符合要求,求此时零件的面积是多少?,在问题3中,具体操作时,发现在AB线段上离B点34cm处有一蛀虫
19、洞,请你确定一下,它是否影响余料的使用,说明理由。(量得BN=70cm),P,B,A,C,D,E,F,M,N,B,A,C,D,E,F,图一,图二,课外拓展: 右图中,在一直角三角形余料中截出一个面积最大的正方形零件,应如何截取? (设正方形的三边分别是3、4、5、那么最大的面积是多少?),B,A,C,解:设正方形DEFP的边长为x厘米。 因为DEAB,所以CDE CBA 所以,问题解答:,P,B,A,C,D,E,F,M,N,演变1:如图,有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=a,高AD=h,要把它加工成矩形零件,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上。 求(1)设PN=x,矩形PQMN的面积为y,求y关于x的函数关系式,并指出x的取值范围。(2)当h=6,a=8时,请你求出面积等于9的矩形PQMN的边长PN。(3)按题设要求得到的无数个矩形中,是否能找到两个不同的矩形,使它们的面积之和等于ABC的面积?如果能找到,请求出
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