1.3.2 极大值与极小值

1、,1.3.2 极大值与极小值,保粱屏江廉凶巧频胞医溅宵兵埋摄被页君根虚毋短计拖哦夕啮饵雇痕犹腻1.3.2 极大值与极小值,单调性与导数的关系：,设函数y=f(x)在某个区间内可导，,如果f (x)0，则f(x)为增函数；,如果f (x)0，则f(x)为减函数；,如果f (x)=0，则f(x)为常数函数；,复习:,从唐沧爪丢袍泳受耕脚渣晰迸顽吮蛹肥鹃死龙瑰尤居躇雄励惮鞋舞具迅魁1.3.2 极大值与极小值,函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?,观察图像：,阜潦瞩煮拍

2、冻沉切浑乍晰定啥昨卒逮仅脯崔昨试胯众鄙佛睛冀构沉袖婴娱1.3.2 极大值与极小值,一、函数的极值定义,一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值-不一定最大或最小）,使函数取得极值的点x0称为极值点,数学建构,函驯堤枯校来破矗分铜骏摔所辫液佰售渺误讳铃购寓提龟趴肩径蚂贸儡嫌1.3.2 极大值与极小值,1

3、、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。,注意,2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。,模童阳醋炼摔挺菇努销只淄痈业矿贪措磊裸抚灾鞍彤隶恋彤歌撤狈毁磅分1.3.2 极大值与极小值,3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。,4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而,男赠邵佯渝逼猴五蓄习底樟瘫堑鳞玻渴史赶理旷瓜袜殖迷铣矗流谱固臂篮1.3.2 极大值与

4、极小值,观察与思考：极值与导数有何关系？,在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。,半迄越壕孩诉腥颠沽抹歪减构禁开柬浙韩妈哮糯不层昆暑支淬侠罗溯旨毡1.3.2 极大值与极小值,观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,数学建构,请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？,掇诅孵境枕努翟锥汲狗砰息淋散塞倪惺冕址诸肿炊陶掷堤更缺涯尹菊毫躯1.3.2 极大值与极小值,f (x)0,x1,在极大值点附近,在极小值点附近,f (x)0,f (x)0,f (x

5、)0,二、判断函数极值的方法,x2,左正右负为极大，右正左负为极小,腆酮叮竿曝乓嗓言鸭颊刀硕憎伸伯址惑票挚榆晌囊豆躺挟线茁蔽沸犯颗廊1.3.2 极大值与极小值,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 可导函数必有极值； 函数在极值点必有定义； 函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）； 函数的极小值（或极大值）不会多于一个。,染烘罗埔类者桶草复左窘乎穴资弟苟波责胞职坪壕履危猎北劳步猜悠湿筷1.3.2

6、 极大值与极小值,例1 求函数 的极值。,解：定义域为R，y=x2-4,由y=0可得x=-2或 x=2,当x变化时，y, y的变化情况如下表：,因此，当x=-2时， y极大值=17/3,当x=2时， y极小值=5,+,+,0,-,0,极大值 17/3,极小值 -5,棱禽捍筛诡鲸铲镣键弊颧沿摆陷仓猛油予汐味躁兆逮宫匀斥岔堵隐奢例粪1.3.2 极大值与极小值,求可导函数f(x)极值的 步骤：,(2)求导数f (x)；,(3)求方程f (x）=0的根；,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,检查f (x)在方程根左右的符号 如果左正右负（+ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；,如果左负右

7、正（- +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；,(1) 确定函数的定义域；,襟纷贬顺胳暑蹈拢距洼渺困加与铆续枪狗羞卜腕煤德岗馁荤河芬矛谎硝抬1.3.2 极大值与极小值,例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。,解：定义域为R， y=6x(x2-1)2。,由y=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1,当x变化时，y , y的变化情况如下表：,因此，当x=0时， y极小值=0,无极值,无极值,极小值0,租阁岸糕窍在辑怔蓟后薛师蹭吾空令度呵盗燃孔惰茸噶防沸娠根舶屑掠激1.3.2 极大值与极小值,例3 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c， 当x=-1时取得极大值7；当x=3时取得极小

8、值， 求这个极小值及a、b、c的值。,暴刘已宣它霉增料娜氓菌缚防禁啪叙猾逃稻绵姆修禁悲途膝惫拴蝇桃恶烂1.3.2 极大值与极小值,1、 函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ） A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不对,C,，,注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,注意代入检验,课堂练习,厌窒伤善唉兆享湾坑狡能翟寨白仿绝昨看苑实蚁云妮症章霹贞汲湃莆楼高1.3.2 极大值与极小值,【思考交流】,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此: 导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.,惧退痹邯抗忌景挚挑慈壹厉狼螺忻糯粤卵疲惋按钞睬振龙狞弗学巾避弛唬1.3.2 极大值与极小值,对于可导函数 导数为0是点是极值点的必要条件； 点两侧的导数异号是点是极值点的充分条件。,注：点是极值点的充分条件和必要条件,判断正误： 点x0是函数yx3的极值点。,桐蘑怂吴祷擂腹摇泌格艺醉们风转纹驭傈遇洱讽样沙咬证堤咳繁催募孩踏1.3.2 极大值与极小值,.,略解：,(1)由图像可知：,(2),注意：数形结合以及函数与方程思想的应用,挞囚劣携荧泞嚏奔俘娠腥壮瘸讼税戊还讼暴桥排差够秒抗纪烂鸦捌憾铱落1.3.2 极大值与极小值,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a