第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结.ppt

1、第一章二阶线性偏微分方程的分类，第四章二阶线性偏微分方程的分类和总结，第三章三种方程的比较。在前几章中，我们分别讨论了弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。这三类方程具有特殊的形状，是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一般二阶线性偏微分方程的共性和差异往往可以从这三类方程的研究中得到。在本章中，我们将基于这三类方程的知识来研究一般的二阶线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行深入的分类和总结。1.1两个自变量的方程，1二阶线性偏微分方程的分类，1.2两个自变量的二阶线性偏微分方程的简化，1.3方程的分类，1二阶线性偏微分方程的分类遵循从简单到复杂的认知规律。一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普

2、拉斯方程都是含有两个自变量的二阶线性偏微分方程。然而，它们的形式是特殊的。如果用(x，y)作为自变量，一般的二阶线性方程总是可以写成如下形式：1-1两个自变量的方程。在以往对弦振动方程达朗贝尔解(行波法)的研究中，我们已经看到了变量变换的重要性。变换是研究微分方程的有效手段。通过适当的变换，复杂的方程通常可以转化为简单的方程，而困难的方程可以转化为简单的方程。方程(4.1)的二阶导数项称为它的主要部分。现在研究什么样的自变量变换可以简化方程的主要部分。两个独立变量的1-1方程，两个独立变量的二阶线性偏微分方程的1-2简化，设(x0，y0)是该区域中的一个点，并在该点的邻域内简化方程(1)。为此

3、，我们进行以下自变量转换。在高等数学中，我们已经知道，如果上述变换是二次连续可微的，并且雅可比行列式在点(x0，y0)处不为零，那么变换(4.3)在点(x0，y0)的邻域内是可逆的，也就是说，存在逆变换，也就是说，方程(4.1)可以采用1-2。二阶线性偏微分方程与两个独立变量的简化，注意(4.7)中的第一个和第三个方程具有相同的形式。因此，如果我们可以选择方程的两个独立于函数的解1(x，y)和2(x，y)，那么我们将把它们变成=1 (x，y)和=2 (x)。这样，方程(4.1)的主要部分被简化了。让我们检查一下这种选择的可能性。1-2具有两个独立变量的二阶线性偏微分方程的简化，我们知道方程(4

4、.8)的解可以在平面(x，y)上转化为下面的常微分方程的积分曲线问题：设1(x，y)=c是方程(4.9)的一族积分曲线，那么z=1(x，y)是一个方程。方程(4.9)的积分曲线称为方程(4.8)的特征线，方程(4.9)有时称为方程(4.8)的特征方程。显然，方程(4.9)可以分解成两个方程，即具有1-2个独立变量的二阶线性偏微分方程的简化。这样，根据不同的符号，我们可以选择相应的变体，并将其放入等式(4.6)，从而获得不同的简化形式。这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。1-2具有两个独立变量的二阶线性偏微分方程的简化。从前面的讨论可以看出，方程(4.1)的标准形式被自变量(4.3)

5、的可逆变换所改变，这主要取决于它的主系数。也就是说，它取决于l，m平面上二次曲线的性质。因为该曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，所以我们在一个点上定义方程的类型如下：如果方程(4.1)的主系数在该区域中的一个点(x0，y0)上满足，那么方程在该点(x0，方程的1-3分类，如果方程在区域中的每一点都是双曲的，那么我们说方程在区域中是双曲的。同样，椭圆型和抛物线型也有相同的定义。如果一个方程在区域的一部分是双曲的，在另一部分是椭圆的，在界面上是抛物线的，那么这样的方程在区域中称为混合方程。例如，很容易看出，如果点(x0，y0)上的方程(4.1)是双曲的或椭圆的，那么该点一定有一个场，这使得方程在该场

6、中是双曲的或椭圆的。然而，如果方程(4.1)在这一点上是抛物线的，则可能没有一个区域，因此方程在这一区域是抛物线的。根据刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲的，一维热传导方程是抛物线的，二维拉普拉斯方程是椭圆的。正如我们已经知道的，上述三个方程所描述的自然现象的性质是不同的，它们的解的性质也是不同的。这也从侧面说明了我们对二阶线性偏微分方程进行分类有着深刻的原因。例如，在空气动力学中，对于定常欧拉方程，它在亚音速流中是椭圆的，在超音速流中是双曲线的，在跨音速流中是混合的。至于非定常欧拉方程，它总是双曲的。1-3方程分类，示例：将方程分类为标准形式，并求解方程，因此方程是抛物线。显然，

7、方程的特征方程是：从而得到方程的特征线族为：用于自变量替换，(因为它与必要的函数无关，建议采用最简单的函数形式，即=x或=y)。因此，简化后的原始方程的标准形式是：1-3方程的分类。练习题：例子1，2，第100页。练习2，3，第102103页。1.1线性方程的叠加原理，3三种方程的比较，1.2解的性质的比较，1.3定解公式的比较。现在，在前面几章对三类典型方程研究的基础上，我们分析和总结了三类不同类型方程：双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程的解的性质和定解公式。我们将会看到，这三类方程的系数的代数性质的差异实际上反映了许多本质上的差异。三类方程的比较，三类方程的比较，线性方程叠加原理的共性，线

8、性方程的共性是满足叠加原理。在以前的研究中，我们多次使用叠加原理将一个复杂的问题转化为几个简单的问题来解决。分离变量的方法和均匀化原理实际上是叠加原理的具体应用。(以热传导方程为例)，叠加原理一、叠加原理二、叠加原理三、叠加原理四。三个典型方程在数学性质上的差异往往是相应物理现象本质差异的数学表达。这里我们以三个典型方程(波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程)为例来描述它们的区别。对于一般的变系数方程，情况更复杂，但类似的结论仍然成立。三类方程的比较，解的性质的比较，1)不同类型方程解的光滑性，解的光滑性可以有很大的不同。对于弦振动方程，如果初始条件中不存在高阶导数，则解的高阶导数不存在；对于热

9、传导方程，只要初始条件有界，解是无限可微的；对于拉普拉斯方程，其解的光滑性较好，其解都是定义域内的解析函数。教科书从物理角度解释了上述解决方案的平滑度差异。下图生动地反映了不同类型方程解的光滑性。2)解的极值性质热传导方程和拉普拉斯方程都有极值原理，但它们的形式不同。拉普拉斯方程解的极值只能存在于边界上。对于热传导方程，该区域的最大值不能超过初始时的最大值双曲方程通常没有极值原理，因为波浪叠加时扰动会增加。3)影响区域和从属区域从影响区域和从属区域的角度来看，这三种类型的方程也有很大的不同。波动方程的扰动以有限的速度传播，因此它的影响区域和依赖区域都是锥形的。就热传导方程而言，扰动传播非常快。

10、某一点的影响区域是该点上方的整个上半平面，相关区域是整个初始值区间。拉普拉斯方程代表稳态或平衡状态，因此不存在扰动传播的问题。4)时间反演物理状态的变化是否可逆，在数学上反映为导出的方程是否关于时间变量对称，即方程在被T代替后是否不变。拉普拉斯方程没有这个问题，双曲方程是可逆的，热传导方程是不可逆的，椭圆方程：在定解问题中只有边界条件，没有初始条件。因此，初边值问题和柯西问题一般不被提及。抛物方程：初始边值问题和柯西问题都可以提及，并且只需要一个初始条件。双曲型方程：可以提到初始边值问题和柯西问题，并且需要给出两个初始条件。定解问题的适定性：存在性、唯一性和稳定性。教科书给出了一个不稳定定解问题的例子。对于弦振动方程和热传导方程，一般不能提出Dirichlet问题(同时指定t0和t t0处的未知函数值)，因为这样的定解问题一般是不可解的。3-3定解的公式很不一样。复习要点：1