定积分概念、性质

1、定积分的概念 微积分基本公式,17世纪，从实际需要中人们提出许多问题，归结起来有两类：速度问题、切线问题。导数研究了事物变化的速度，定积分则研究相反的问题：事物变化的累积和。如面积、路程、电量多少、变量作功等等。 本章将重点学习定积分的概念、几何意义及微积分基本定理。,前 言,4.1定积分概念,一、定积分的引入曲边梯形面积的求法,注：此“面积”一定是以x轴为一边的曲边梯形；,例如：求曲线y=x2、直线x=0、x=1和y=0所围成的面积？ 如图所示,此问题的难点是图形有一边是曲的，如何求它的面积呢？,研究此问题的基础是已知矩形的面积公式s=长*宽=a*b，那么研究方法是“无限细分，以直代曲”，将

2、曲边图形分划为若干个小矩形，用小矩形面积si矩近似代替小曲边梯形面积si曲， 即:,如果右边的和式有极限（n），则极限值即为整个曲边梯形的面积，即：,如图所示： 1）将区间0,1n等分。,其分点分别为：,2）得n个小条形，每个小条形的宽均为,高则分别,取区间右端点xi(i=1,2,n)的函数值,3）相乘为第i个小矩形面积：,x,y,0,x2,x3,xn=1,xn-1,y=x2,x0,x1,4）第i个小曲边梯形面积近似：,5）曲边梯形面积s曲近似：,若取n=10,容易发现n越大（即区间分得越细）则此面积误差越小，6）直到用极限方法令n，得曲边梯形的精确值：,总结：求曲边梯形面积的步骤,引例1曲边

3、梯形的面积（演示）,其中,设物体的运动速度,引例2变速直线运动的路程,分割区间,取近似值,作和,取极限,（1）细分区间,(2) 取近似值,（3）作和,（4）取极限,曲边梯形面积a：,变速运动的路程 s：,记为,记为,二、定积分的概念（演示）,定积分定义,如果当最大的子区间的长度 时，此和式有极限，则此极限叫作f(x)在 a，b上的定积分，,记为：,即,在定积分 中,其中“”为积分号（把字母s拉长），a，b为积分下限和上限，即积分变量x的范围：axb，又叫积分区间；f(x)为被积函数，f(x)dx称为被积表达式。,上例曲边图形的面积用定积分表示,注意：据定义有如下说明: (1)定积分是特殊和式极

4、限,它是一个定数; (2)定积分的大小仅与区间a,b和被积函数f(x)有关； (3)规定：,1. 若函数 在 上连续，,2. 若函数 在 上有界，且只有有限个间断点，,三、定积分存在的充分条件,则 在 上可积。,则 在 上可积。,有界是函数在区间a,b上可积的必要条件。,表示曲线 与 x 轴围成的图形面积的代数和。,表示曲线 与 x 轴围成的图形面积。,四、定积分的几何意义（演示）,（1）,（2）,（2）若 是奇函数，则,（1）若 是偶函数，则,五、定积分的几何性质,由定积分几何意义可得：,补充规定：,定积分几何意义的应用,解 因为 在 上连续，所以 存在,例 用定义求定积分,=,规定：,六、

5、定积分的基本性质,无论 a, b, c 的相对位置如何，（3）式均成立。,可推广至有限个函数的代数和的情形。,定积分的基本性质,.,.,性质6（介值定理）：设f(x)在a,b上可取得最大值m和最小值m， 于是， 由性质5有,.,几何意义也很明显,再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得,如果变速直线运动物体的运动方程是 s=s(t)，则在时间段t1,t2内所发生的位移变化为s(t2)-s(t1),如果物体的运动方程为v=v(t)，则由定积分可知,微积分基本公式,而,？,微积分基本公式（一）变上限的积分定理,证明思路 参见书,例1,例2,解：用分点0插分区间x,-2x,例3,例4,设 在区间 上连

6、续， 是它的任意一个原函数，,微积分基本公式（二）牛顿莱布尼兹公式,证明思路,例2 求下列定积分,解 因为 在 上连续， 是它的一个原函数,所以,或,解 原式,几何意义,解 原式,几何意义,解 原式,解 原式,合理应用对称区间上 奇偶函数的积分性质， 简化定积分的计算。,解,分段函数的积分 计算，应分区间 选取相应的函数,函数在x=1处间断,exit,引例曲边梯形的面积,exit,定积分的定义,exit,定积分的几何意义,exit,估值定理,exit,积分中值定理,牛顿-莱布尼兹公式,返回,若 是奇函数，则,若 是偶函数，则,定积分的几何意义,是偶函数， 是奇函数。,偶函数,奇函数,广义积分*,定义 假设对 在a,b 有定义且可积， (1) 对于a,+上的无穷积分 如果 存在，我们称 收敛， 且定义： 否则，称 发散。,(2) 对