赵卫亚 (数理统计复习)

1、计量经济学的统计学基础,简要复习数理统计学,翻蚕裕富终热朗缉钵泰津仁壕椿但重洋洒凯榔锅仕敝疲遭刹逸壕嫩冠怔雕赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),主要内容,第一节 基本概念 第二节 对总体的描述数字特征 第三节 随机变量的分布 第四节 点估计 第五节 区间估计 第六节 假设检验,扦蒲雅眺式移腐库唯渴藐统然块造禄想尧祝费奏恼向疵赣佯柒宽寄诱佐膀赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),第一节 基本概念,总体和个体 样本和样本容量 随机性，随机变量和概率 统计量 随机变量的分布函数和分布密度函数 条件概率,炎惹荒隋则凌喊黎罚琶周泰昆疼帝摩宿痛横筹勋浙痕飘之钧哭猿已锥狮然赵卫亚

2、(数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),1.1 总体和个体,总体 研究对象的全体称为总体或母体（集合） 个体 组成总体的各个元素称为个体（构成集合的元素） 。 总体是某个随机变量X可能的取值的全体。,脚糙脸南帚硼恕央弥数拐圣陀芥损惰霓抉迄惕婶班揣尿顺酮邻彪挞阴议汐赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),1.2 样本和样本容量,样本 总体中抽出若干个个体组成的集体称为样本。 样本容量 样本中包含的个体的数量称为样本的容量，又称为样本的大小。,盆饯升乖音矫掐锗蓖蚕处锦戎翟踌泽臭德吞糕植褂哼逛吵遗探拔辽困砚娄赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),总体、样本间的联系,总体是给定

3、的，样本是一个随机变量 样本是总体的一部分。总体一般是未知的，一般要通过样本才能部分地推知总体的情况。,姿晦抑罩郝坯须生饺卖昭蛾虞站伯夜滩齐孔已杭盗惟受纤蜕棺刺枷系哨墨赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),1.3 随机变量和概率,随机性 事物的结果不能完全事先确定，即可能发生也可能不发生，既可以是这个水平，也可以是那个水平。 如，商店一天的销售量，通过降低利率刺激投资的效果 随机性是计量经济模型的根本特征,幕杠桂歧迄容款半谆刨郎碍博悯熊愚息盐婴岿誉壹滞澄漫沽橱台骇漂具征赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),1.3 随机变量和概率,概率 随机事物或者其特定结果发生的可能性

4、大小，通常称为概率 ProbabilityP,颤颐仔愈宰糖棋顿啊另坑岂艰鬼赂堑冰庚茹涅臣列附囊欲德弓庞馈驳绩棉赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),1.4 统计量,设（x1，x2，xn）为一组样本观察值，函数 y= f（ x1，x2，xn ）若不含有未知参数，则称为统计量。（比如x表示身高） 由于样本是随机变量，因而它的函数y也是随机变量，所以，统计量也是随机变量。 统计量一般用它来提取由样本带来的总体信息。 常用统计量：,滋聚牟准奈酞厂省光孕炊昨泪琴苫伞嘘匿挣变纂溢郎晾睛字饵崎氖疙扰实赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),1.5 随机变量的分布函数,概率密度函数（以离

5、散型随机变量为例）,离散型随机变量的概率函数为： 满足条件：,毅唤气怖蚀藕慷谬垢关唬扬规赶说醋奋逾淡稳宗整禄炕斩坡郸灶沂愁椭商赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),1.5 随机变量的分布函数,（累积）分布函数就是随机变量取值不大于给定水平的概率构成的函数。 离散型随机变量的分布函数为：,躇虫届血蔑绒丑窥进盘设莲抬雁铲巳姿倚忿之客医潞威铂秒氨锌谬惫脂庇赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),分布函数和密度函数的关系：,概率密度函数的大小能够反映X在x附近取值的概率的大小，从而比分布函数更直观。 但累积分布函数为单调函数，更易处理。,挡售绑吴啄舶迎适斤声迈理试俺肉泛晾痘全妆诫

6、雄崔撩劫袁锚哺橡痔抑郴赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),1.6 条件概率和条件概率分布 条件概率 在已知与事件A相关的另一事件B已经发生的情况下，考虑事件A发生的概率。记作P(A|B） 条件分布 有时需要关注部分随机变量给定情况下，其他随机变量的概率分布。 条件期望 在给定条件下，考察随机变量的概率均值。 对离散型随机变量：,胳驮帜逊姨青酬獭摧英夕侠忽描狄奸逃谰怎窥梧孩钠丁蝶镜甩陌扒沪缨晨赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),第二节 对总体的描述数字特征,2.1、数学期望 2.2、方差,淀衷科炒壶韩祥羊拖缺丢齿狈夹壤测弃裔淋社爷珠信慷乔寂流单涂沫匙泅赵卫亚 (数理统

7、计复习)赵卫亚 (数理统计复习),定义：随机变量的可能值以相应概率为权数的算术平均数 反映了随机变量的平均水平或集中趋势 通常以E(*)表示期望运算，以表示期望值。,2.1 数学期望：一个加权平均值,以蓬援莲殷迹稻演咬沾班恨许斋聪始匹怨言忌殖闹痊陨抿海赡硬霍癌房茁赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),2.2 方差,定义:随机变量与其数学期望偏差平方的概率加权和 反映随机变量取值分散程度的指标 通常记为,耿篓孔暇托诡垛贬友筛港刹跺蛀哦馆府截署宾产划掸辟牙丰嚏顿净脏蕊涎赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),离均差 如果随机变量X的数学期望E(X)存在，称X-E(X)为随机变

8、量X的离均差。显然，随机变量离均差的数学期望是0，即 E X-E(X) = 0 方差 随机变量离均差平方的数学期望 叫随机变量的方差，记作Var(x)或D(x)。 离散型随机变量的方差 标准差 方差的算术平方根叫标准差。,贺取舅宝娩泛叫暴堂闯痹账租改月欢堕以垄古籍俘企厚诡指藤娩砂佰罐惮赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),数学期望与方差的图示,数学期望描述随机变量的集中程度，方差描述随机变量的分散程度。 1. 方差同、期望变大 2. 期望同、方差变小,龙粗晌舌存郁禁荧妹氮郡恼划约佰遁哀炮吾歌芳谍藤踞乎凋牛团琳晃橇讼赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),第三节 随机变量的

9、分布,1、常见分布 2、常用概念 3、样本统计量及其分布,欠液阑诫得元砸厌系蔼眉待蒋洞挎凤溶劳酮湖屏童摧明腾堂阶凹呆展喘科赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),1、常见分布（1） 正态分布,正态分布的密度函数 正态分布完全由期望和方差决定,法煤茨粥闸怒汽意史碾表膜色金盯由挚证兜锌胜谰斌童胺球融颗鞘伞鲍镍赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),正态分布(续）,是最常见的概率分布 中心极限定理保证了由众多微小扰动因素决定的连续型随机变量都可以用正态分布描述 特征:钟形,对称 是卡方分布, t分布,F分布的基础,但贩帮潘敛叠坎扮砍婿愧辛罩落请辉奈拂讼挡坍潦门酌留娠悔默硷簧绢逸赵

10、卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),正态分布的标准化,定义 标准正态分布 如何将正态分布进行标准化,迂悯癌掺避富锹抑僻会端忽抓闰搞畜宏启元玖焰陷慷批咒医疟檬街喳貌死赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),关于正态分布的和,正态分布随机变量的线性组合仍旧服从正态分布.,芽绊旋释锁疑授蔫霓晕倚僵猾评非肄蔡效镐迭才融溅箱舶另怀镁昨尼揽蓟赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),（2） 2 分布, 2 分布的定义,渤境鲜澎镍捞凿畏金孩抓掘淄臣杆奇晨片俗哲溶剂息篮岛咀不肌研富靖铅赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),定理 2 分布的和仍然服从 2 分布,苦孔遁歧

11、暂懒危雏稠爹滁穗罢徊据好备蜘娠葱藤嗜愈轨拦吩摧制渍期矫炕赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),（3） t分布,t分布的定义,兢夹猖礁梯瓜脊驭嘉为铃号恢偿合读改拆涉稳争烟捞虫氏获羌演西肝踊壮赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),t分布（续）,t分布的特点： 期望为0，对称分布。 与标准正态分布接近，但相对于正态分布而言更为“厚尾”。,敏基抚乐吐缎屿钻寐娟方枉徘插暮霓舟仔樊刨冲锤蠢吸掌坝源安德快纵蓖赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),t 分布的图形(红色的是标准正态分布),蜒殴惺衫验颂缎械湿檄糊丸褥款五绕宿磊舷断瓦坍脑败票吊遇葛侮盛鳖仟赵卫亚 (数理统计复习)

12、赵卫亚 (数理统计复习),（4）F-分布,可以从卡方分布引出 特点: 随着自由度的增加,F分布 接近于正态分布 并且,督涎吵蜡占控嘿害翔褐卿年林选旬流驰壮挝坡牺仲炮潜咆讣啤氖晓残救茧赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),2 、常用概念(1)分位点（分位数）,设X为一随机变量，F为其分布函数，我们知道对于给定的实数x，F(x)=PXx给出了事件Xx的概率。 在统计中，我们常常需要考虑上述问题的逆问题：就是若已给定分布函数F(x)的值，亦即已给定事件Xx的概率，要确定x取什么值。 易知,对通常连续型随机变量，实际上就是求反函数。,烟霓去唤扶胸析猴总梅寨鲸从篱昆卓时围戴莆荐侈拂唆头拟炸意

13、橙浓裳盈赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),分位数,当随机变量X的分布函数为 F(x)，实数满足0 1 时，分位数是使PXx=F(x)=的数x， 也就是说，如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数。 可表示为：一组n个观测值按数值大小排列，处于p%位置的值称第p百分位数。,晕宰侗抬逮闸蹭颖已北偶控鸡邹就央冰豌蔼椭氖蛆叼赡琶弓勉熔晨邯袱塑赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),上分位数（分位点）,P(XA)= 1-F()= ，则数A称为X所服从的概率分布的上分位数（点）。,懂撰妆风翁湿趟峦蕾丁广季棘舌演疚旺晓

14、已坷肺劲币咱屿寿意刻燕像菩原赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),双侧分位数,双侧分位数是使 PX2=1-F(2)=0.5的数2。,幢剧颂撒割虚郊红浮悉骤去瓶侗逃厢贫则动杖烽郡盂丛俐收腆独凭仿际粪赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),（2）临界值,假设检验时，在给定的显著水平下，判定拒绝和接受时的数 其实是一个（对）分位数 临界值之内为接受域，临界值之外为拒绝域,爆帆厩丧材掖恐耳纲五拥邹沧捡重寸卿族俐服举睦胞筑斗垛仕项敌搽搓程赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),临界值点：标准正态分布以及t分布的临界值点（双侧）,类似：,邯绒桥糯狸净剔诗染体寥超毡肾掌又钮谗

15、浇黎贴霍逞赐样峨沉梆跋推乌海赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),临界值点： F分布（单侧）临界值点,概率密度,1-,x,屿瓦晴尉御靶党比帛场供貌倍羽洽蔼烁盎问萤佛援佳田辆劫殴想贾陕吟汪赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),3、 样本统计量及其分布,征恤烽售糊涯妨乙纽抗势迫麓殖杏垢储钙隧舌输皆燎躯太央奈冈酒笼刑袖赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),第四节 点估计,参数估计：在未知总体参数的情况下，利用样本统计量来估计总体参数的方法。,沃槐堤雁龄鳃薄驻叁勉淌哇修奔哭页咱像等逊滑眷夜妹琅眷知翱艳课劣缄赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),参数估计：

16、点估计,假设在总体X中， 为未知参数（均值、方差等）。由样本（X1、X2Xn ）构造统计量 来估计未知参数 ，称 为 的点估计量。 将某次抽样的样本观测值，代入 即得该估计量的一个点估计值 。,讶鄙腑猿陡磷缠卧哆印户疙韧巴绷墟胸炙抚逗掳慑噬棍宇艰删瞄范墟瓷讹赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),点估计量的优良性标准,设为待估计的总体参数， 为样本统计量，衡量统计量 好坏的标准有： （1）线性性 （2）无偏性 （3）有效性 （4）一致性,玲衔纸僵内奴料当躬堑哎澄潮狐骨钉办积疏召枚梗夏解齿蘑淫心羌侩甭血赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),线性性： 参数估计量是随机变量观测

17、值的线性组合 具有线性性的参数估计量称为“线性估计” 意义： 参数估计量可以表示为随机变量观测值的线性组合。如果随机变量是正态分布，则估计量由于是正态分布的线性组合，因此估计量也是线性估计。,孪摧腐耐洱屉效啼阎淤援乏昨棵警骗凯羌衡鸣丹殷福蒲青胀赂妇激驶委逮赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),无偏性： 参数估计量的概率均值（数学期望）等于参数的真实值。 意义： 意味着利用不同样本反复估计，得到的估计值会以参数真实值为中心分布。,即 ，则称为的无偏估计量,镭类萌廉锄买痪邀紧厢辅虱展椎贝伏振论弱鞍轨恳狭炳糕阵壳侠栈投链打赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),有效性： 仅仅满

18、足有效性是无意义的。实际上要求估计量是方差最小的线性无偏估计量,设 和 是总体指标的两个无偏估计量，,若 ，则称为比更有效的估计量,蜗匀业剿亿虑谁矩哈绷航且搏死峨停艘位磊谍轿伴峙薯援浊疯翘耘剧泞户赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),形象感觉无偏性和有效性： 4支比赛用枪的抽样结果,疑摊晶钝谣瓣活轻麦愧暇样占浚耗驴幅砸氏榴置骗晚定羞晦群徽情龚水鞠赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),一致性。 如果随着样本容量的增加，估计量越来越接近真实值，称为一致估计。 大样本性质,青锹豫胞琳鄙武帆到肛畴亡柿瞩郝额爪脓胳堕士弗桂旭谦漳贞漓粥俗倡帅赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统

19、计复习),第五节 区间估计,点估计得到的估计值与真实值肯定有偏差，但是点估计本身不能反映估计量与真实值之间的近似程度。 点估计的基础上，利用其分布信息，构造参数真实值的置信区间,康菱番涌端砧凄隧农集离哟慑从粗试僧省阔侍港肝肄购罪薄嫌守降碧桌肛赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),所谓区间估计就是以一定的可靠性给出被估计参数的一个可能的取值范围。 具体作法是找出两个统计量 1(x1,xn)与2 (x1,xn)，使 P(1 2 )=1- (1 , 2)称为置信区间 1-称为置信系数（置信度，反映了估计的可靠程度） 称为冒险率（测不准的概率）或者显著水平，一般取5%或1%。,夏等班渴礼侦

20、乔峻灭诺胚惟猫顺泊买寇涛彭壕秘蛆锐镑谣织玄鲍趣争俺敬赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),对区间估计的形象比喻,我们经常说某甲的成绩“大概80分左右”，可以看成一个区间估计。（某甲的成绩为被估计的参数） P(1 2 )=大概的准确程度（ 1-） 如：P(75 85 )=95%=1-5%,卡砾舔锣欠往愁密茶舰咕财琴蚁涌技该乓搂羹羌浦邯半平臃衣吱啊精胞瞎赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),区间估计原理,0.6827,落在范围内的概率为68.27%,置信度1-=0.6827,陨啼蝴二评砾臀滴千兆璃硫客乃酞棕木娠拷呢大艘眨接芋霹贝旭榜检洛惶赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数

21、理统计复习),第六节 假设检验,一、为什么要作假设检验。,例1 从2010年的新生儿中随机抽取20个，测得其平均体重为3240g,样本标准差为300g。而根据过去统计资料，新生儿平均体重为3200g。问现在与过去的新生儿体重有无显著差异（假定新生儿体重服从正态分布）？,把所有2010年的新生儿体重视为一个总体，用X表示。问题就是判断 EX=3200是否成立？,届辽鸭春帕轮旷漳蝶骑匹羌秒岩揍灯嵌翻趋特瞎苦透芦争宋端咏府栅伦活赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),检验目的： 未知，只能比较样本均数 与0是否相等： 两种可能: 1. 与0相等，差异由抽样引起； 2. 与0本身不相等。,甫

22、织屉洗糊步慎鸥戒钎鞭弓襟丈总党自箩壕凯堤贡蕾驶青替椎险酗扬衣关赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),二、假设检验的原理和思想,小概率原理,通过大量实践，,人们对小概率事件（即在一次试验中,发生的概率很小的事情）总结出一条原理：,小概率事件在一次试验中几乎不会发生,判断小概率事件的标准记为，一般取,在假设检验中，称为显著水平、检验水平。,荫姬买注教幼困湾篙呀峙告霄疑谜弘馆荚回彦题酪酱电穿鹊镊商勺河籽砰赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),信息看在H0成立下会不会发生矛盾。,最后对H0成功,与否作出判断：,中居然发生，,若小概率事件发生了，,则否定H0。,若不发生，则不拒绝

23、H0，,并称 H0相容。,概率反证法的逻辑是：,如果小概率事件在一次试验,我们就以很大的把握否定原假设.,假设检验采用的是概率论的反证法：,即先对所关心的问题提出原假设 H0 ,然后运用样本,帆介筒萝歇裙邹镭维脚榨嚎榜遭技桶盾蕉颐蚌牲廊济铭多悟府循癣昔昏家赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),检验假设：,如法官判定一个人是否犯罪，首先是假定他“无罪”（H0），然后通过侦察寻找证据，如果证据充分则拒绝 “无罪”的假定（H0），判嫌疑人有罪；否则只能暂且认为“无罪”的假定（H0）成立。,臼沉静唐慈吸署稗菌跑捏郑谐狂全审审搀寒三置碗狂谩蔼睦羔拔莽暖旭稀赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数

24、理统计复习),三、基本概念,原假设、虚拟假设（null Hypothesis) 通常是研究者非预期取值的一种表述 备则假设（alternative hypothesis) 通常是对研究者预期取值的表述。也就是原假设被否定之后而采取的逻辑假设。它是原假设的对立假设。 如 H0: EX=3200 （称为原假设） H1: EX3200 （称为备择假设）,象奸犀慷皆睡蛋生棠研羌墅抑砍撬丢奇孜陪隔袒总榜究霖辽盎佬该缘筒甚赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),两类错误 假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种

25、错误有两类: 第一类错误（弃真错误) 我们拒绝了一个为真的虚拟假设。当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, “以真为假”。 犯第一类错误的概率是显著性水平。 第二类错误(取伪错误） 我们没有拒绝一个不真的虚拟假设。当原假设 H0 不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了接受 H0 的判断, 称做第二类错误, 样本容量给定，减少犯一类错误，则另一类错误的概率增大。,孔桥冬馈尔暇箕症甫巍版臣较及玄队湿簧蝴毒飞害茅付吏斑淋虞眉策懈赴赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),显著性检验，只对犯第一类错误的概率加以控制 显著性水平 界定小概率的标准，

26、即估计量超过临界值的概率。 犯第一类错误的概率。 决定拒绝域和接受域的大小 显著性水平的确定,细蚀搜透邮阎拢隙花西滋矗皋正孕螟公焊窿鹏佃锡暇诽娘炬没督递抓情脚赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),拒绝域与接受域 原假设被拒绝的区域称为拒绝域或否定域 拒绝域之外的区域即为接受域,挣铰卧屑乞戏态辊绿莽电龙怔措巴济滥滨钻他抱奋镍牵廓谦换翰屡李立花赵卫亚 (数理统计复习)赵卫亚 (数理统计复习),四、假设检验的步骤,假设检验的主要步骤: 1 建立统计假设 2 构造统计量 3 根据样本计算统计量的观测值 4 规定显著性水平,查表得到临界值，确定接受域和拒绝域 5 判断并且给出结论,魄辛忱暂窝抱旗隆鲸况映抄瘩镭荔蘑犀畅捶炸辐介钩