等边三角形的性质和判定

1、等边三角形的性质及判定,学习目标1探索等边三角形的性质和判定2能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明,等边对等角,三线合一,等角对等边,两边相等,两腰相等,轴对称图形,知识回顾,等边三角形:,(正三角形),三条边都相等的三角形.,等边三角形是特殊的等腰三角形.,联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.,创设情境，导入新知,请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？,1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?,ab=ac=bca=b=c(在同一个三角形中等边对等角),a+b+c=180a=b=c=60,探索星空

2、：探究性质一,证明：abc是等边三角形，bc=ac，bc=aba=b，a=ca=b=ca+b+c=180，a=60a=b=c=60,细心观察，探索性质,已知：abc是等边三角形求证：a=b=c=60,符号语言：abc是等边三角形，a=b=c=60,细心观察，探索性质,等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60.,2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么?,结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一。（所有的高线，角平分线，中线的长度相等。）,探索星空：探究性质二,3、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?,探索星空：探究性质三,等边三角形的性质

3、,2.等边三角形的内角都相等,且等于60,3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.,4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.,1.三条边相等,细心观察，探索性质,结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？,细心观察，探索性质,结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？,相等每个角都等于60,相等每个角都等于60,细心观察，探索性质,结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？,是（三线合一）三条对称轴,思考1一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？,三个角都相等的三角形或者一个角为60的等腰三角形,思考2一个等腰三角形满足什么条件是等边

4、三角形？,细心观察，探索性质,问题等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？,a=b=c=60ab=ac=bc(在同一个三角形中等角对等边),探索星空：探究判定一,1、三个内角都等于60的三角形是等边三角形?,abc是等边三角形,符号语言：在abc中，a=b=c，abc是等边三角形,细心观察，探索性质,等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形,证明：a=b，b=c，bc=ac，ac=abab=bc=acabc是等边三角形,已知：在abc中，a=b=c求证：abc是等边三角形,细心观察，探索性质,2、有一个内角等于60的等腰三角形是等边三角形?,探索星空：探究

5、判定二,当顶角为60时，两个底角各为60.,当底角为60时，顶角为60.,细心观察，探索性质,等边三角形的判定定理2：有一个角为60的等腰三角形是等边三角形,符号语言：在abc中，bc=ac，a=60，abc是等边三角形,等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形的判定定理2：有一个角为60的等腰三角形,细心观察，概括归纳,判定等边三角形的方法：从边的角度：等边三角形的定义；从角的角度：等边三角形的两条判定定理,等边三角形的判定方法:,1.三边相等的三角形是等边三角形.,2.三个内角都等于60（或三个内角都相等）的三角形是等边三角形.,3.有一个内角等于60的等腰三角形

6、是等边三角形.,尝试舞台,例4等边三角形abc的周长等于21，求：（1）各边的长；（2）各角的度数。,解：（1）abbcca，又abbcca21（已知）abbcca21/37（）,（2）abbcca，（已知）abc60（等边三角形的每个内角都等于60）,a,b,c,试一试你能行,、下列四个说法中，不正确的有（）（a）0个（b）1个（c）2个（d）3个三个角都相等的三角形是等边三角形。有两个角等于60的三角形是等边三角形。有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。、等边三角形的对称轴有（）（a）1条（b）2条（c）3条（d）4条、等边三角形中，高、中线、角平分

7、线共有（）（a）3条（b）6条（c）9条（d）7条,（选择）,探究：如图,等边三角形abc,以下三种方法分别得到的三角形ade都是等边三角形吗？为什么？,（1）在边ab，ac，分别截取ad=ae（2）ade=60，d，e分别在边ab，ac上（3）过边ab上d点，作debc，交ac于e点,证明：abc是等边三角形，a=b=c=60debc，b=ade，c=aeda=ade=aedade是等边三角形,动脑思考，例题解析,例1如图，abc是等边三角形，debc,分别交ab，ac于点d，e求证：ade是等边三角形.,追问本题还有其他证法吗？,证明：abc是等边三角形，a=abc=acb=60debc，

8、abc=ade，acb=aed.a=ade=aed.ade是等边三角形.,动脑思考，变式训练,变式1若点d、e在边ab、ac的延长线上，且debc，结论还成立吗？,动脑思考，变式训练,变式2若点d、e在边ab、ac的反向延长线上，且debc，结论依然成立吗？,证明：abc是等边三角形，bac=b=c=60debc，b=d，c=eead=d=eade是等边三角形,这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴,将此图变成四个等边三角形.,提示:此题并不难,如果外部不能解决,那么想想里面吧.,考考你,等边三角形的性质:,三个角都相等，且都为60,三线合一,三条边都相等,轴对称图形，有三条对称轴,等边三角形

9、的判定:,三个角都等于60的三角形,三条边都相等的三角形,有一个角等于60的等腰三角形,将两个含有30的直角三角板如图摆放在一起你能借助这个图形,找到rtabc的直角边bc与斜边ab之间的数量关系吗?,探究,abc与adc关于ac轴对称abadabd是等边三角形又acbdbcdc1/2ab,在直角三角形中,如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半.,a,在直角abc中a30ac2bc,下图是屋架设计图的一部分,点d是斜梁ab的中点,立柱bc、de垂直于横梁ac,ab7.4m,a30立柱bc、de要多长?,a,b,解:deac,bcac,a30可得2bcab,2deadbc1/27.

10、43.7m又ad1/2abde1/2ad1/23.71.85m答:立柱bc的长是3.7m,de的长是1.85m.,1如图,在abc中c=90,b=15,ab的垂直平分线交bc于d,交ab于m,且bd=8,求ac之长.,作业题:,2如图,在abc中,ab=ac,a=120,ab的垂直平分线mn交bc于m,交ab于n,求证:cm=2bm,2、在rtabc中，如果b0，a30，cd是高，（1）bd=1，则bc、ab各等于多少；（2）求证：bd=1/2bc=1/4ab解（1）由已知可求得bd=30于是在rtadc与rtbdc中用本定理得bc=2，ab=4（2）在rtadc与rtbdc运用本定理bd=1/2bcbc=1/2abbd=1/2bc