第11章 弯曲应力

1、1,第11章弯曲应力,目录,2,对称弯曲正应力对称弯曲切应力梁的强度条件梁的合理强度设计弯拉（压）组合,0,目录,3,纯弯曲梁或梁上的某段内各横截面上只有弯矩而无剪力(如图中的CD段)。,对称弯曲正应力,4,从三方面考虑：,变形几何关系,物理关系,静力学关系,5,梁的纯弯曲实验,横向线(mn、pq）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为弧线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍保持垂直。,由梁变形的连续性可知：在梁中一定有一层上的纤维既不伸长也不缩短，此层称为中性层。中性层与梁横截面的交线称为中性轴。,几何方面,6,根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：,（1）平面假设梁在纯弯曲时，其原来

2、的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持垂直。,（2）单向受力假设梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互作用可忽略不计。,7,正应力公式的推导,弧线O1O2的长度为：,距中性层为y处的纵向纤维ab的伸长为：,(b),8,物理方面,此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，并且在y坐标相同的各点处正应力相等，如图所示。,梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线应变的关系为：,9,静力学方面,由图可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力dFN=dA构成了空间平行力系，它们向截面形心简化,

3、，,由截面法可知，上式中的FN等于零，而MZ就是该截面上的弯矩M，所以有,10,因为不等于零，所以有,由此可知，中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。,11,上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。,最后，可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为,12,横截面上的最大正应力,中性轴z为横截面对称轴的梁其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴z不是横截面对称轴的梁(如图)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。,中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值为,Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数。,13,横截面上应力分布,中性轴z不是横截面的对称轴时，其

4、横截面上最大拉应力值和最大压应力值为,14,惯性矩与平行轴定理,简单截面的惯性矩,矩形截面,圆形截面,组合公式,平行轴定理,15,在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩而且有剪力，这种情况下我们称之为横力弯曲。而实际工程中的梁，大多发生的都是横力弯曲。对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工程中的精度要求。,横力弯曲,16,解：先求出C截面上弯矩,例题长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。,截面对中

5、性轴的惯性矩,将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有,K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。,17,对称弯曲切应力,1、两点假设,（1）横截面上各点处的切应力均与侧边平行。（2）横截面上距中性轴等距离各点的切应力相等。,2、切应力公式的推导,矩形截面梁的切应力,从梁中取出长为dx的微段，如右图所示。,18,现假设用一水平截面将微段梁截开，并保留下部脱离体，由于脱离体侧面上存在竖向切应力，根据切应力互等定理可知，在脱离体的顶面上一定存在切应力，且=,如图c所示。,微段梁上的应力情况如图b所示。,19,得,（a）,由,以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧面上法向内力的总和，dFS代表

6、水平截面上切应力的总和，如图d。,式中的A1是横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积（图e），,是A1对中性轴的静矩。,20,由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为是均匀分布的，所以有,综合考虑FN1、FN2、dFS，得到,经整理得,21,上式即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式。式中：FS为横截面上的剪力；Sz*为面积A1对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。,对于矩形截面梁，由图67a可知,最后可得,22,例题一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求mm截面上K点的切应力。,解：先求出

7、mm截面上的剪力为3kN，截面对中性轴的惯性矩为,面积A*对中性轴的静矩为,则K点的切应力为,23,工字形截面梁的切应力,工字型截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。,1、腹板上的切应力,由于腹板是狭长矩形，完全可以采用前述两个假设，因此上节推导的切应力的计算公式，对于工字型截面的腹板来讲也是适用的，即,式中：FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；b1为腹板的厚度。,切应力沿腹板高度的分布规律如图a所示，仍是按抛物线规律分布，最大切应力max仍发生在截面的中性轴上。,24,翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于y轴的切应力分量（

8、竖向分量），也有与翼缘长边平行的切应力分量（水平分量）。当翼缘的厚度很小时，竖向切应力很小，一般不予考虑。,2、翼缘上的切应力,25,梁的强度条件,梁的正应力强度条件,对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最远的位置，而对整个等截面梁来讲，最大应力由弯矩分布和截面形状二者决定,式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。,26,梁的切应力强度条件,整个等截面梁来说，最大切应力应发生在剪力最大的横截面的中性轴上，即,为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生的最大切应力不能超过材料的许用切应力，即,此式即为切应力的强度条件。,27,在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强度条

9、件和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。因此，按正应力强度条件设计的截面常可使切应力远小于许用切应力。所以一般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计截面，然后再按切应力强度条件进行校核。,28,解：（1）校核最大正应力,弯矩图如图c所示，最大正应力应发生在最大弯矩的截面上。查型钢表可知,例题一外伸工字型钢梁如图a所示。工字钢的型号为22a，已知：l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的许用应力=170MPa，=100MPa,试校核梁的强度。,12kN.m,则最大正应力,（2）校核最大切应力,剪力图如图b所示，最大切应力应发生在最大剪力的截面上。查型钢表可知

10、,则最大切应力,所以此梁安全。,29,梁的合理强度设计,梁的合理截面形状,梁的合理截面形式是在截面面积相同的条件下具有较大的弯曲截面系数。,矩形截面、正方形截面和圆形截面在截面面积相同条件下其合理性的比较。,矩形和正方形的比较,当时（图b），可得，即，说明此时矩形截面不如同样面积的正方形截面合理。,30,正方形和圆形的比较,31,变截面梁与等效强度梁,横截面沿着梁轴线变化的梁，称为变截面梁。最理想的变截面梁，是使梁的各个截面上的最大正应力同时达到材料的许用应力。即,这种梁梁称为等强度梁。,现以跨度为l，自由端作用有集中力F的矩形截面悬臂梁为例，说明等强度梁的设计计算步骤。,假定梁截面的高度为常量h=h0，而其宽度为变量b=b(x)，则在离自由端距离为x处的弯曲截面系数为,弯矩为,32,而在固定端处的弯曲截面系