求数列通项公式

1、求数列的 通项公式,学习目标,在了解数列概念的基础上，掌握几种常见递推数列通项公式的求解方法 理解求通项公式的原理 体会各种方法之间的异同，感受事物与事物之间的相互联系,例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。,已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。,一、观察法,1、写出下列数列的一个通项公式: (1) 9, 99, 999, 9999, ,解：an=10n1,(2) 1, 11, 111, 1111, ,分析：注意观察各项与它的序号的关系 有 101，1021，1031，1041,解：an=

2、 (10n1),这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！,分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,联系,练习：,注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.,二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公式）,练习：1.an的前项和Sn=2n21，求通项an,解：当n2时，an=SnSn1=(2n21) 2(n1)21 =4n2,当n=1时, a1=1,不满足上式,3.已知an中，a1+2a2+3a3+ +nan=3n+1,求通项an,解: a1+2a2+3a3+nan=3n+1 (n1), a1+2a2+3a3

3、+(n1)an1=3n（n2）,nan=3n+13n=23n,而n=1时,a1=9,（n2）,两式相减得：,例3.已知an中, an+1=an+ n (nN*),a1=1,求通项an,解:由an+1=an+ n (nN*) 得,an=( anan1)+(an1an2)+ + (a2 a1)+ a1 =(n 1)+(n 2)+ +2+1+1,三、累加法,(递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列),n个等式 相加得,an+1 an= n (nN*),（1）注意讨 论首项;,(2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式,求法：累加法,练习：,四、累乘法 (形如an+1 =f(n)an型),

4、例4.已知an是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1annan2=0, 求an的通项公式,解: (n+1)an+12 +an+1annan2=0,( an+1+ an)(n+1) an+1 nan=0, an+1+ an0, (n1), an= ., (n+1) an+1 = nan,练习1：,类型四、累乘法形如 的递推式,四、累乘法适用于an+1=an f(n)型的递推公式,练习2,五、迭代法,例5.已知an中, an= 3n1+an1 , (n2),a1=1,求通项an.,解: an= 3n1+an1 (n2), an= 3n1+an1 = 3n1 +3n2+ an2,=

5、3n1 +3n2+ 3n3 + an3,= 3n1 +3n2+ 3n3 +3+ a1,=3n1 +3n2+ 3n3 +3+1,(递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列),六待定系数法（构造法）,例6：,解：由题意可知：an+1+1=2(an+1) 所以数列an+1是以a1+1=2为首项，2为公比 的等比数列. 所以an+1=2n,即an=2n-1,反思：待定系数法如何确定x？,待定系数法：,令an+1+x=p(an+x),即,an+1=pan+px-x,根据已知x=,所以数列 是等比数列.,类型七、相除法形如 的递推式,例8：,【变式迁移】,已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）. （1）求证数列 为等差数列； （2）求数列an的通项公式.,解：（1）方法1：（构造法） 因为a15且an2an12n1， 所以当n2时，an12（an11）2n， 所以 ， 所以 ，,所以 是以 为首项，以1为公差的等差数列. 方法2：（代入法） 因为a15,n2时， 所以 ， 所以 是以 为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）知 ,所以an（n1）2n1.,练习. 已知数列an中a1=2