圆的切线性质定理

1、切线的性质,直线和圆相交,d r;,d r;,直线和圆相切,直线和圆相离,d r;,直线与圆的位置关系量化揭密,切线的性质： 1、圆的切线与圆只有一个公共点。 2、切线与圆心的距离等于半径(d=r)。,切线还有什么性质呢？,探索切线性质,如图,直线CD与O相切于点A, 半径OA与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由.,半径OA垂直于直线CD.,驶向胜利的彼岸,老师期望: 圆的对称性已经在你心中落地生根.,小颖的理由是: 右图是轴对称图形,OA所在直线是对称轴, 沿它对折图形时,AC与AD重合,因此,BAC=BAD=90.,C,D,O,A,探索切线性质,小亮的理由是:OA与CD要么垂直,要么不

2、垂直.,假设OA与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,驶向胜利的彼岸,老师期望: 你能看明白(或掌握)用反证法说理的过程.,则OMOA,即圆心到直线CD的距离小于O的半径,因此,CD与O相交.这与已知条件“直线与O相切”相矛盾.,C,D,O,A,所以OA与CD垂直.,M,切线的性质定理,参考小颖和小亮的说理过程,请你写出这个命题,定理 圆切直线垂直于过切点的半径.,驶向胜利彼岸,老师提示: 切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.(连半径，得垂直）,如图 CD是O的切线,A是切点,OA是O的半径,CDOA.,C,D,B,O,A,一、切线的性质：

3、 1、圆的切线与圆只有一个公共点。 2、切线与圆心的距离等于半径(d=r)。 3、圆的切线垂直于过切点的半径。,二、辅助线的作法 作过切点的半径,(连半径，得垂直）,切线的性质定理的应用,切线的性质定理的应用,1.直线BC与半径为r的O相交,且点O到直线BC的距离为5,求r的取值范围.,2.一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少?.,老师提示:硬币滚动一圈,圆心经过的路经是与直线平行的一条线段,其长度等于圆的周长.,切线的判定： 1、直线与圆公共点的个数：只有一个公共点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。,还有其它方法吗？,直线何时变为切线,如图,AB是O的直径

4、,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为,当CD绕点A旋转时,你能写出一个命题来表述这个事实吗?,1.随着的变化,点O到CD的距离如何变化?直线CD与O的位置关系如何变化?,2.当等于多少度时,点O到CD的距离等于半径?此时,直线CD与O有的位置关系?有为什么?,切线的判定定理,定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,老师提示: 切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.,如图 OA是O的半径,直线CD经过A点,且CDOA, CD是O的切线.,切线的判定： 1、直线与圆公共点的个数：只有一个公共点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系

5、，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,切线判定定理的应用,1.已知O上有一点A,你能过点A点作出O的切线吗?,老师提示: 根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”只要连结OA,过点A作OA的垂线即可.,2.已知O外有一点P,你还能过点P点作出O的切线吗?,练习与巩固：,2、如图,在ABC中,AB=AC,BAC=120,A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则ADE等于_ _度.,1、如图，A、B是O上的两点，AC是O的切线，B=70，则BAC等于（ ） A. 70 B. 35 C. 20 D. 10,（2）,（1）,3、如图,在OAB中,OB：AB=3

6、：2 , 0B=6，O与AB相切于点A, 则O的直径为 。,O,A,B,（3）,4、如图,PA、PB是O的切线,切点分别为A、B,且APB=50,点C是优弧上的一点,则ACB=_.,5、如图，O的直径AB与弦AC的夹角为30，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则O的半径为（ ） A. B. C. 10 D. 5,（5）,（4）,辅助线的作法：作过切点的半径,7、如图,AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB。,（7）,8、如图,AB为O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是O的切线。,（8）,1、确定一个圆

7、的位置与大小的条件是什么？,圆心与半径,2、角平分线的性质定理与判定定理,性质：在一个角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。,1.经过三角形三个顶点可以作一个圆。 2.经过三角形各顶点的圆叫做 三角形的外接圆。 3.三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。,三角形与圆的位置关系（回顾）,B,C,O,A,性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？,三角形的外接圆在实际中很有用,但

8、还有用它不能解决的问题.如,三角形的内切圆,O,r,思考下列问题：,1如图，若O与ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？,圆心0在ABC的平分线上。,2如图2，如果O与ABC的内角ABC的两边相切，且与内角ACB的两边也相切，那么此O的圆心在什么位置？,圆心0在BAC,ABC与ACB的三个角的角平分线的交点上。,O,M,A,B,C,N,探究：三角形内切圆的作法,作法：,A,B,C,1、作B、C的平分线 BM和CN，交点为I。,I,2过点I作IDBC，垂足为D。,3以I为圆心，ID为 半径作I. I就是所求的圆。,M,N,试一试: 你能画出一个三角形的内切圆吗?,定义：和三角形各边都相切

9、的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。,1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；,性质：,O,r,2.三角形的内心在三角形的角平分线上；,1.如图1，ABC是O的 三角形。 O是ABC的 圆， 点O叫ABC的 ， 它是三角形 的交点。,外接,内接,外心,三边中垂线,2.如图2，DEF是I的 三角形， I是DEF的 圆， 点I是 DEF的 心， 它是三角形 的交点。,外切,内切,内,三条角平分线,3. 三角形的内切圆能作_个,圆的外切三角形有_ 个,三角形的内心在三角形的_.,1,无数,内部,思考下列问题：,1如图，若O与

10、ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？,圆心0在ABC的平分线上。,2如图2，如果O与ABC的内角ABC的两边相切，且与内角ACB的两边也相切，那么此O的圆心在什么位置？,圆心0在BAC,ABC与ACB的三个角的角平分线的交点上。,O,M,A,B,C,N,探究：三角形内切圆的作法,作法：,A,B,C,1、作B、C的平分线 BE和CF，交点为I。,I,2过点I作IDBC，垂足为D。,3以I为圆心，ID为 半径作I. I就是所求的圆。,E,F,试一试: 你能画出一个三角形的内切圆吗?,这样的圆可以作出几个呢?为什么?.,直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到ABC三边的距离相等(为什么?

11、),因此和ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.,I,E,F,A,B,C,定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。,1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；,性质：,O,r,2.三角形的内心在三角形的角平分线上；,分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?,提示:先确定圆心和半径,尺规作图要保留作图痕迹.,1.如图1，ABC是O的 三角形。 O是ABC的 圆， 点O叫ABC的 ， 它是三角形 的交点。,外接,内接,外心,三边中垂线,2.如图2，DEF是I的 三角形， I是DEF的 圆， 点I是 DEF的 心， 它是三角形 的交点。,外切,内切,内,三条角平分线,3. 三角形的内切圆能作_个,圆的外切三角形有_ 个,三角形的内心在三角形的_.,1,无数,内部,例2 如图，在ABC中，点I是内心， （1）若ABC=50， ACB=70， 求BIC的度数,（2）若A=68度，则BIC= （3）若BIC=110度，则A= （4） BIC和A的关系,判断题： 1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ） 2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ） 3、等边三角形的内心和外心重合； （ ）,