2017年北京市各区高三理科数学分类汇编----数列(教师版)

1、2017 年北京市各区高三理科数学分类汇编-数列（教师版） 选择题部分：选择题部分： （20172017 东城期末）东城期末）（8）数列an表示第n天午时某种细菌的数量细菌在理想条件下第n天的日增长率r n 0.6 (r n a n1 a n，nN N*)当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n 会发生变化下图描述了细菌在 a n 理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n 的规律描 述正确的是 800 1200 数量 （个） 理想 400 实际 0 51015 时间（天） 数 量 数 量 800 600 400 200 0 0123 800

2、 600 400 200 0 0246 时间 图 1 时间 图 2 0.2 0.6 0.4 日增长率 0.6 日增长率 0.4 0.2 51015 时间 0 0 （A） 5 （B） 1015 时间 1 1 / 1919 0.6 日增长率 日增长率 0.6 0.4 0.2 0.4 0.2 0 51015 0 5 1015 （20172017 丰台期末）丰台期末） （A）9 （C） 时间(天) （D） 时间 5 5在等比数列an中，a1 3，a 1 +a 2 a 3 =9，则a 4 +a 5 a 6 等于(D) （B）72（C）9 或 72（D） 9 或72 （20172017 丰台期末）丰台期末

3、）7.7. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节 气的晷(gu)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计 44 算得出的下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示 115 寸1分（1 寸=10 分） 66 节 气 小寒大寒立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种 冬至 (大 雪) (小 雪) 115.1 (立 冬) (霜 降) (寒 露) 85.4 2 6 (秋 分) (白 露) (处 暑) 55.6 4 6 (立 秋) 45.7 3 6 (大 暑) 35.8 2 6 (小 暑) 25.9 1 6 夏

4、至 晷影 长 （寸 ） 135 125. 5 6 432 105.295.3 666 75.5 66.5 5 6 16.0 已知易经中记录的冬至晷影长为130.0 寸，夏至晷影长为 14.8 寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长 应为(C) （A）72.4 寸（B）81.4 寸（C）82.0 寸（D）91.6 寸 (2017(2017 年西城一模年西城一模) )7数列a n 的通项公式为a n |nc| (nN N*)则“c1”是“a n 为递 增数列”的(A) （A）充分而不必要条件 （C）充要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 (2017 (2017 年东城二模年东城二

5、模) )（5）已知等比数列 (D) a n为递增数列， S n是其前 n 项和.若 a 1 +a 5 = 17 2 ， a 2a4 =4 ，则 S 6 = 27276363 （A） 16 （B） 8 （C） 4 （D） 2 2 2 / 1919 (2017(2017 年海淀二模年海淀二模) )5. 已知a n为无穷等比数列，且公比 q 1，记S n 为a n的前 n项和，则下面结论正确的是 (C) A.a 3 a 2 B.a 1 +a 2 0 C.a n 2是递增数列 填空题部分：填空题部分： （20172017 朝阳期末）朝阳期末）10已知等差数列an的前n项和为Sn若a 1 2，S 2 a

6、 3 ， 则a 2 = 4，S10 110 （20172017 西城期末）西城期末）10设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn若a11，a3 4，则an_2 n1 D.S n 存在最小值 _； S 6 _63_ （20172017 年朝阳一模）年朝阳一模）（11）已知a n 为等差数列，Sn为其前n项和若S6 51，a1 a9 26，则数列a n 的公 差d 3，通项公式a 3n2 n (2017(2017 年东城一模年东城一模) )（11）已知an为等差数列，Sn为其前n项和若S312，a2 a4 4，则S6_6_ (2017(2017 年海淀一模年海淀一模) )9. 若等比数列an

7、满足a 2 a 4 a 5 ，a48，则公比q= 2 ；前n项和S n _2n1_ (2017(2017 年西城一模年西城一模) )10设等比数列a n 的前n项和为S n 若a 1 3，S 2 9，则a n _32 3(2n1) _ n1_；S n _ (2017(2017 年丰台一模年丰台一模) )10. 已知 an为等差数列，S n为其前n项和. 若 a 2 2 ， S 9 9 ，则 a 8 0 a n中，(2017(2017 年石景山一模年石景山一模) )10在数列 2 a 1 1 ， a n a n1 2 ( n 1，2 3) ，那么 a 8等于 - (2017(2017 年平谷一模

8、年平谷一模) )11.已知数列a n 是递增的等比数列， a 2 a 4 10，a 1.a5 16，则数列a n 的前 6 项和等 于 63 . （20172017 年朝阳二模）年朝阳二模）11等比数列an的前n项和为 S n已知 a 1 2,a 4 2 ，则an的通项公式 a n 2(1)n1， S 9 2 (2017(2017 年西城二模年西城二模) )10已知等差数列an的公差为2，且 a 1, a2 , a 4成等比数列，则 项和 S n _n2 n_ a1 _2_；数列an的前 n (2017(2017 年顺义二模年顺义二模) )11. 已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a2

9、4，S8 8，则a 10 _-12_. 解答题部分：解答题部分： （20172017 年朝阳一模）年朝阳一模） (20)（本小题满分 13 分） 3 3 / 1919 对于正整数集合A= a1,a2, ,a n （nN N，n 3），如果去掉其中任意一个元素a i （i = 1,2,n） 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集 合A为“和谐集”. （）判断集合1,2,3,4,5是否是“和谐集”（不必写过程）； （）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数； （）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值. 解：（）集

10、合1,2,3,4,5不是“和谐集”.3 分 （）设集合A= a1,a2, ,a n 所有元素之和为M. ,n）均为偶数，由题可知，M - a i （i = 1,2, 因此ai（i = 1,2,n）的奇偶性相同. （）如果M为奇数，则ai（i = 1,2, 由于M = a1+ a2+ ,n）也均为奇数， + a n ，所以n为奇数. ,n）均为偶数，（）如果M为偶数，则a i （i = 1,2, 此时设ai= 2b i ，则b 1,b2 ,b n 也是“和谐集”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”. 此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数. 综上所述，集合A中元素个数为奇

11、数.8 分 （）由（）可知集合A中元素个数为奇数， 当n= 3时，显然任意集合a 1,a2 ,a 3 不是“和谐集”. 当n= 5时，不妨设a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ， 将集合a 1,a3,a4 ,a 5 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有a1+ a5= a3+ a4，或者a5= a1+ a3+ a4； 将集合a2,a3,a4,a5分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 4 4 / 1919 则有a2+ a5= a3+ a4，或者a5= a2+ a3+ a4. 由、，得a 1 = a 2 ，矛盾；由、，得a 1 = - a 2 ，矛盾； 由、，得

12、a 1 = - a 2 ，矛盾；由、，得a 1 = a 2 ，矛盾. 因此当n= 5时，集合A一定不是“和谐集”. 当n= 7时，设A= 1,3,5,7,9,11,13， 因为3+ 5+ 7+ 9= 11+13，1+ 9+ 13= 5+ 7+ 11， 9+13= 1+ 3+ 7+11，1+ 3+ 5+ 11= 7+ 13，1+ 9+ 11= 3+ 5+ 13, 3+ 7+ 9= 1+ 5+ 13，1+ 3+ 5+ 9= 7+ 11， 所以集合A= 1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”. 集合A中元素个数n的最小值是 7.13分 (2017(2017 年东城一模年东城一模) ) （20）（

13、本小题共 13 分） 已知集合A a1,a2,L ,an, aiR R,i 1,2,L ,n，并且n 2 定义T(A) 1i jn |a j a i |（例如： 1?ij?3 |a j - a i |=|a 2 - a 1 |+|a 3 - a 1 |+|a 3 - a 2 | ） （）若A 1,2,3, 4,5, 6,7,8,9,10，M 1,2,3,4,5，集合A的子集N满足：N 求出一个符合条件的N； M，且T(M) T(N)， （）对于任意给定的常数C以及给定的集合A a 1,a2 ,L ,a n ，求证：存在集合B b 1,b2 ,L ,b n ，使得 T(B) T(A)，且b i

14、C. i1 n （）已知集合A a 1,a2 ,L ,a 2m 满足：ai ai1，i 1,2,L ,2m1，m 2， a 1 a,a 2m b，其中 a,b R R为给定的常数，求T(A)的取值范围 解：（）由于A 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，M 1,2,3,4,5， 所以N 6,7,8,9,10，N 5,6,7,8,9，N 4,5,6,7,8 N 3,4,5,6,7，N 2,3,4,5,6，回答其中之一即可3 分 （ ） 若 集 合A a 1,a2 ,L ,a n ， 如 果 集 合A中 每 个 元 素 加 上 同 一 个 常 数t， 形 成 新 的 集 合 M a 1 t,

15、a 2 t,L ,a n t. 5 分 5 5 / 1919 根据T(A) n 1i jn |a j a i |定义可以验证：T(M) T(A).6 分 C a i i1 n 取t C a i i1 n ，此时B a 1 n ,a 2 C a i i1 n n ,L ,a n C a i i1 n n . 通过验证，此时T(B) T(A)，且 （）由于m 2 b i1 n i C.8 分 T(A) (a 2 a 1)(a3 a 1)(a4 a 1)L (a2m a 1) (a 3 a 2 )(a 4 a 2 )L (a 2m a 2 ) (a 4 a 3 )L (a 2m a 3 ) M (a

16、 2m a 2m1) =(2m1)a 1 (2m3)a 2 L a m a m1 L (2m3)a 2m1 (2m1)a 2m =(2m1)(ba)(2m3)(a 2m1 a 2 )L (a m1 a m ) 11 分 由于0 a2m1a2 ba， =(2m1)(a 2m a 1)(2m3)(a2m1 a 2 )L (a m1 a m ) 0 a 2m2 a 3 ba， 0 a 2m3 a 4 ba， M 0 a m1 a m ba. 所以(2m1)(ba) T(A) m (ba).13 分 (2017(2017 年海淀一模年海淀一模) ) 20.（本小题满分 13 分） 已知含有n个元素的正

17、整数集A a 1 ,a 2 , ,a n (a 1 a 2 a n ,n 3)具有性质 P ：对任意不大于S(A)(其中 S(A) a 1 a 2 a n )的正整数k,存在数集 2 A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k. （）写出a 1,a2 的值； （）证明：“a 1 ,a 2 ,a n 成等差数列”的充要条件是“S(A) n(n1) ”； 2 （）若S(A) 2017，求当n取最小值时，a n 的最大值. 解： （）a 1 1,a 2 2. （）先证必要性 6 6 / 1919 因为a 1 1,a 2 2，又a 1 ,a 2 , 再证充分性 因为a 1 a 2 a n ，a 1 ,

18、a 2 , ,a n 成等差数列，故a n n，所以S(A) n(n1) ； 2 ,a n 为正整数数列，故有 a 1 1,a 2 2,a 3 3,a 4 4, ,a n n, 所以S(A) a 1 a 2 a n 12 n 又S(A) n(1n) , 2 ,a n 为等差数列. n(n1) ，故a m m(m 1,2, 2 ,n)，故a 1 ,a 2 , （）先证明a m 2m1(m1,2, ,n). p1 假设存在ap 2 ，且p为最小的正整数. 依题意p 3,则 a 1 a 2 a p1 12 2p22p11，又因为 a 1 a 2 故当k(2p1 a n , 1,a p )时，k不能等

19、于集合A的任何一个子集所有元素的和. 故假设不成立，即a m 2m1(m1,2, ,n)成立. 12 2n12n1, 因此2017 a 1 a 2 a n 即2n 2018，所以n11. 因为S 2017，则a 1 a 2 a n1 2017 a n ， 若2017 a n a n 1时，则当k (2017 a n ,a n )时，集合A中不可能存在若干不同元素的和为k， 故2017 a n a n 1，即a n 1009 . 此时可构造集合A 1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009. 因为当k 2,2 1时，k可以等于集合1,2中若干个元素的和， 故当k2 故当k

20、2 8 2,221,222,223 时，k可以等于集合1,2,2 2中若干不同元素的和， ,281,282, ,28255 时，k可以等于集合 1,2, ,28中若干不同元素的和， ,497 511时，k可以等于集合 1,2,故当k 497 3,497 4, ,28,497 中若干不同元素的和， ,28,497,1009 中若干不同元素的和，故当k 1009,1009 1,1009 2,1009 1008时，k可以等于集合1,2, 所以集合A 1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009满足题设， 所以当n取最小值 11 时，a n的最大值为 1009. 7 7 / 19

21、19 (2017(2017 年西城一模年西城一模) ) 20（本小题满分 13 分） 如图，将数字1,2,3, ,2n (n3)全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字第一行填入的数字依次 为a 1,a2 ,a n ，第二行填入的数字依次为b 1,b2 , n ,b n 记S n |a i b i |a 1 b 1 |a 2 b 2 | i1 |a n b n | （）当n 3时，若a 1 1，a 2 3，a 3 5，写出S 3 的所有可能的取值； （）给定正整数n试给出a 1,a2 , 取值，并求出此时S n 的值； （）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，S n 的所有取值的奇偶

22、性相同 解：（）S 3 的所有可能的取值为 3，5，7，9. 3分 （） 令a i i(i 1,2, ,a n 的一组取值，使得无论b 1,b2 ,b n 填写的顺序如何，S n 都只有一个 ,n)，则无论b 1,b2 ,b n 填写的顺序如何，都有S n n2 5 分 因为a i i， 所以b i n1,n2, 因为a i b i (i 1,2, n ,2n，(i 1,2,n) 6分 ,n)， nnn 所以S n |a i b i |(b i a i ) b i a i i1i1i1i1in1 i i n i1 2nn 2 8 分 注：a 1,a2 ,a n1,2, ,n，或a 1,a2 ,

23、a nn1,n2, ,2n均满足条件 （）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变 不妨设ai b i ，记Aa i ，B b i ，其中i 1,2, i1i1 nnnn nn ,n 则S n |a i b i |(a i b i ) a i b i A B 9分 i1i1i1i1 2n 因为A B i i1 2n(2n1) n(2n1)， 2 8 8 / 1919 所以A B与n具有相同的奇偶性 11分 又因为A B与AB具有相同的奇偶性， 所以S n AB与n的奇偶性相同， 所以S n 的所有可能取值的奇偶性相同 13分 解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn

24、的值不变 |a i b i | ，不妨设ai b i ，ai b i ， 考虑如下表所示的任意两种不同的填法，S n |a i b i |，S n i1i1 n n 其中i 1,2,n 9分 a 1 b 1 a 2 b 2 nn a n b n n a 1 b 1 n a 2 a n b 2 n b n (b i a i )(b i a i ) (b i b i )( a i a i ) S n S n i1i1i1i1i1i1 n 对于任意k 1,2,2n， 若在两种填法中k都位于同一行， 的表达式中或者只出现在b i b i 中，或只出现在a i a i 中，且出现两次，则k在S n S

25、n i1i1i1i1 nnnn 的结果中得到2k 11分 则对k而言，在S n S n 若在两种填法中k位于不同行， 的表达式中在b i b i 与a i a i 中各出现一次，则k在S n S n i1i1i1i1 nnnn 的结果中得到0 则对k而言，在Sn Sn 由 得，对于任意k 1,2, 必为偶数 ,2n，Sn Sn 所以，对于表格的所有不同的填法，S n 所有可能取值的奇偶性相同 13 分 (2017 (2017 年丰台一模年丰台一模) ) 20.（本小题共 13 分） 对于nN，若数列 * xn满足 x n1 x n 1 ，则称这个数列为“K数列” 2 （）已知数列：1，m+1，

26、m是“K数列” ，求实数m的取值范围； 9 9 / 1919 （）是否存在首项为-1 的等差数列 a n为“K数列” ，且其前n项和 S n满足 1 S n n2n(nN*) a 2 ？若存在，求出n的通项公式；若不存在，请说明理由； 1 a n1 an b n a n 1，试判断数 （）已知各项均为正整数的等比数列n是“K数列” ，数列2 不是“K 数列” ，若 列 b n是否为“K数列” ，并说明理由 m2 (m 1) 1， 解得m 1； 解得m 1或m 2 解：（）由题意得(m1)11， 所以m 2，故实数m的取值范围是m 2.4 分 （）假设存在等差数列an符合要求，设公差为d，则d

27、1， n(n 1) d， . 2 由题意，得n n(n 1) d 1 n2n对nN均成立， 22 即 (n 1)d n 由 a 1 1，得S n n 当n 1时，d R; n 当n 1时，d ， n 1 因为 n =1+ 1 1， n 1n 1 所以 d 1 ，与 d 1 矛盾， 故这样的等差数列a n 不存在.8 分 n1a a q a q n1n （）设数列的公比为，则， 因为an的每一项均为正整数，且an1 a n a nqan a n (q1)1 0 ， 所以 a 1 0 ，且 q 1. 因为 a n1 a n q(a n a n1) an a n1， 所以在an a n1中，“ a

28、2 a 1”为最小项 1111 a n a n1 a 2 a 1 22 ”为最小项同理，在 2 中，“2 由an为“K数列”，只需 a 2 a 1 1， 即a 1(q1)1， 11111 a n a 2 a 1 a 2 a 1 1 2 ”为最小项，所以2 2 又因为 2 不是“K数列”， 且“2， 即 a 1(q1) 2， 由数列an的每一项均为正整数，可得 a 1(q1) 2， 所以 a 1 1,q 3 或 a 1 2,q 2 . 1010 / 1919 3n b n n1a 3 a 1,q 3 n 1， n1 当时，则 3n13n2n 1 nc 3 n* n 2n 1(n 1)(n 2)

29、，令 c n b n1 b n (nN ) ，则 3n1 又 2n 32n 13n4n28n 6 n3 0 (n 2)(n 3)(n 1)(n 2)n 2 (n 1)(n 3) ， 所以cn为递增数列，即 c n c n1 c n2 c 1， 所以 b n1 b n b n b n1 b n1 b n2 b 2 b 1 因为 b 2 b 1 3 33 1 22 ， * 所以对任意的nN，都有 b n1 b n 1， 即数列cn为“K数列” 2n12 b n b 2 b 1 1 n n 1因为3 当 a 1 2,q 2 时， a n 2 ，则， 所以数列bn不是“K数列” n1a 3 n 综上：

30、当时，数列bn为“K数列”， 当 a n 2 时，数列bn不是“K数列” .13 分 (2017(2017 年石景山一模年石景山一模) ) 20（本小题共 13 分） 已知集合R n n X X (x 1,x2, ,x n),xi 0,1 ,i1,2, ,n(n2)对于 ,b n )R n ,定义A与B之间的距离为 n A (a 1,a2 ,a n )R n , B (b 1,b2 , d(A,B) a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n a i b i i1 （）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值； （）若集合M满足：M R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素

31、个数的最大值并写出此时的集 合M； （）设集合P Rn，P中有m(m 2)个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为d(P)，证明 d(P) mn 2(m1) 解：（）R2(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)， A,BR 2 ，d(A,B)max 23 分 1111 / 1919 （）R3中含有 8 个元素，可将其看成正方体的8 个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于 该正方体面对角线的两个端点，所以M (0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) 或M (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)， 集合M中元素个数最大值为 48 分

32、 （）d(P) 1 2C m A,BP d(A,B)，其中 A,BP d(A,B)表示P中所有两个元素间距离的总和 设P中所有元素的第i个位置的数字中共有ti个 1，mti个 0，则 A,BP d(A,B) t i (mt i ) i1 n m2 由于t i (mt i ) (i 1,2, 4 n ,n) nm2 所以 d(A,B) t i (mt i ) 4 A,BPi1 1 从而d(P) 2C m (2017 (2017 年平谷一模年平谷一模) ) 20.(本小题满分 13 分) 对于数列A：a 1 ，a 2， ，an ，若满足ai0,1(i 1,2,3,n)，则称数列A为“0-1 数列”

33、. 若存在一个正整数k(2 k n1)，若数列an中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相 等，则称数列a n 是“k阶可重复数列”， 例如数列A:0,1,1,0,1,1,0.因为a 1,a2 ,a 3 ,a 4 与a 4 ,a 5 ,a 6 ,a 7 按次序对应相等，所以数列a n 是“4 阶可重复数列”. （）分别判断下列数列A:1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1 .是否是“5 阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5 项； （）若项数为m的数列A一定是 “3 阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由； （III）假设数列A不是“5 阶可重复数列

34、”，若在其最后一项a m 后再添加一项 0 或 1，均可使新数列是“5 阶可 重复数列”，且a 4 1，求数列a n 的最后一项a m 的值. 解：（）10101.3 分 nm2nm d(A,B) 13 分 24C m 2(m1) A,BP （）因为数列a n 的每一项只可以是 0 或 1，所以连续 3 项共有238种不同的情形. 若m11，则数列a n 中有 9 组连续 3 项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11 的数列a n 一定是 “3 阶可重复数列”；若m10，数列 0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3 阶可重复数列”；则3 m10时，均存在 不是“3 阶可重复数

35、列”的数列a n .所以，要使数列a n 一定是“3 阶可重复数列”，则m的最小值是 11. .8 分 1212 / 1919 （III）由于数列a n在其最后一项 a m 后再添加一项 0 或 1，均可使新数列是“5 阶可重复数列”，即在数列a n 的末项a m 后再添加一项0或1，则存在i j， 使得a i ,a i1,ai2 ,a i3 ,a i4 与a m3 ,a m2 ,a m1,am ,0按次序对应相等，或a j ,a j1,aj2 ,a j3 ,a j4 与a m3 ,a m2 ,a m1,am ,1按次序 对应相等， 如果a 1,a2 ,a 3 ,a 4 与a m3 ,a m2

36、 ,a m1,am 不能按次序对应相等，那么必有2 i, j m4，i j，使得 a i ,a i1,ai2 ,a i3 、a j ,a j1,aj2 ,a j3 与a m3 ,a m2 ,a m1,am 按次序对应相等. 此时考虑a i1,aj1 和a m4 ，其中必有两个相同，这就导致数列an中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从 而数列a n是“5 阶可重复数列”，这和题设中数列 a n不是“5 阶可重复数列”矛盾！所以 a 1,a2 ,a 3 ,a 4 与 a m3 ,a m2 ,a m1,am 按次序对应相等，从而a m a 4 1. .14 分 （20172017 年朝阳二模）年朝

37、阳二模） 20 （本小题满分 13 分） 各项均为非负整数的数列an同时满足下列条件： * a1 m(mN N )；an n 1(n 2)；n是a 1 a 2 a n 的因数（n 1） （）当m5时，写出数列an的前五项； （）若数列an的前三项互不相等，且n3时，a n 为常数，求m的值； （）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得nM时，an为常数 解： （）5，1，0，2，2. 3分 （）因为0 an n1，所以0 a21,0 a3 2， 又数列an的前 3 项互不相等， （1）当a2 0时， 若a31，则a3 a4 a 5 且对n3， 1， m0(n2)m2 1都为整数，所以m2；

38、nn 若a32，则a3 a4 a 5 且对n3， 2， m0 2(n2)m4 2都为整数，所以m 4； nn （2）当a21时， 若a30，则a3 a4 a 5 合题意； 若a32，则a3 a4 a 5 且对n3， 0，且对n3， m10(n2)m1 都为整数，所以m 1，不符 nn 2， m12(n2)m3 2都为整数，所以m 3； nn 1313 / 1919 综上，m的值为2,3,4.8 分 （）对于n1，令Sn a 1 a 2 则 a n ， S n1 S n1 S n a n1 S n nS n1. n1nnnn SS n SS 都为正整数，所以 n1n.1 m，其中“”至多出现m1

39、个.故存在正 1n1nn S n1 S n成立. n 1n 又对每一个n， 整数M m，当n M时，必有 当 S n1 S n (n 1)S n S 时，则an1 Sn1 S n S n n. n 1nnn 从而 S n2 a n2 a n1 S n a n2 (n 1)a n1 a a n1. a n1 n2 n 2n 2n 2n 2 S| a n2 a n1 |n 1 1，又n2及a n1 均为整数， n 2n 2n2 常数. 由题设知 所以 SSSS n2 SS a n1 nn1，故n n 1 n 2 nn 1n 2n 2nn 1 从而an1 Sn1 Sn (n1)S n S S n n

40、常数. nn 故存在正整数M，使得nM时，a n 为常数. 13分 (2017 (2017 年东城二模年东城二模) ) （20） （本小题共 13 分）对于 n 维向量 A =(a 1,a2 ,a n ) ，若对任意 i 1,2, n ,n均有ai=0 或 a i =1，则称 A 为 n 维T向量.对于两个n维T向量 A,B ，定义 d(A,B) =|a i - b i | i=1. （）若 A =(1,0,1,0,1) ， B =(0,1,1,1,0) ，求 d(A,B) 的值. （）现有一个 5 维T向量序列： A 1,A2 ,A 3,L ，若 序列中不存在5维T向量 (0,0,0,0,0

41、) . A 1 =(1,1,1,1,1) 且满足： d(A i , A i+1) =2 * ，i N N.求证：该 A 1 =(1,1, （）现有一个 12 维T向量序列： A 1,A2 ,A 3,L ，若12个 ,1) 且满足： d(A i ,A i+1 )=m * ， m N N ， i =1,2,3, ，若存在正整数 j 使得 A j =(0,0, 12个 ,0) ， A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m. 解： （）由于 A (1,0,1,0,1) ， B (0,1,1,1,0) ，由定义 d(A,B) =|a i - b i | i=1 n ， 可得 d(A,B) =4 .4

42、 分 （）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列A 1,A2 ,A 3,L ,Am ， 使得 A 1 =(1,1,1,1,1) ， A m =(0,0,0,0,0) . 因为向量 A 1 =(1,1,1,1,1) 的每一个分量变为0，都需要奇数次变化， 1414 / 1919 不妨设 所以将 A 1 A 1 的第 i(i =1,2,3,4,5) 个分量1变化了 中所有分量1变为0共需要 2n i - 1 次之后变成0， (2n 1 - 1)+(2n 2 - 1)+(2n 3 - 1)+(2n 4 - 1)+(2n 5 - 1) =2(n 1 +n 2 +n 3 +n 4 +n 5 -

43、 2)- 1 又因为 次，此数为奇数. d(A i , A i+1) = 2,i? N N * ，说明A i 中的分量有2个数值发生改变， 进而变化到A i1 ，所以共需要改变数值2(m1)次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在5维T向量 (0,0,0,0,0) .9 分 （）此时m1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.13 分 易见当m为 12 的因子1,2,3,4,6,12时，给 (1 分). 答出m5,8,10给(1 分). 答出m7,9,11中任一个给(1 分)，都对给(2 分) (2017 (2017 年海淀二模年海淀二模) ) 20.（本小题满分 13 分）

44、 对于无穷数列a n ，记T x| x a j a i ,i j，若数列a n 满足：“存在tT，使得只要a m a k t （m,k N N*且m k），必有a m1 a k1 t”，则称数列a n 具有性质P(t). n 2, 2n, （）若数列a n 满足an判断数列a n 是否具有性质P(2)？是否具有性质P(4)？ 2n 5,n 3, （）求证：“T是有限集”是“数列a n 具有性质P(0)”的必要不充分条件； （）已知a n 是各项为正整数的数列，且a n 既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，求证：存在整数N，使得 a N ,a N1,aN2 ,a Nk ,是等差数列. 解：

45、（）数列a n 不具有性质P(2)； 具有性质P(4). （）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,L，T 1,0,1是有限集，但是由于a2 a 1 0,a3 a21， 所以不具有性质P(0)； （必要性）因为数列a n 具有性质P(0)， 所以一定存在一组最小的m,kN N*且mk，满足am ak 0，即am ak 由性质P(0)的含义可得am1 ak1,am2 ak2,L ,a2mk1 am1,a2mk am,L 所以数列an中，从第 k 项开始的各项呈现周期性规律：ak,ak1,L ,am1为一个周期中的各项， 所以数列an中最多有m1个不同的项， 2 所以T最多有Cm

46、1个元素，即T是有限集. 1515 / 1919 （）因为数列a n 具有性质P(2)，数列a n 具有性质P(5)， 所以存在M ,N N N*，使得aM p aM 2，aN q aN 5，其中p,q分别是满足上述关系式的最小的正 整数， 由性质P(2),P(5)的含义可得kN N，aM pk aM k 2,aN qk aN k 5， 若M N，则取k NM ，可得aN p aN 2； 若M N，则取k M N，可得aM q aM 5. 记M maxM ,N ，则对于aM，有aM p aM 2，aM q aM 5，显然p q， 由性质P(2),P(5)的含义可得kN N，aM pk aM k

47、 2,aNqk aNk 5， 所以aM qp aM (aM qp aM (q1)p) (aM (q1)p aM (q2) p) L (aM p aM) 2q aM qp aM (aM pq aM (p1)q) (aM (p1)q aM (p2)q) L (aM q aM) 5p 所以aM qp aM 2q aM5p. 所以2q 5p， 又p,q是满足aM p aM 2，aM q aM 5的最小的正整数， 所以q 5, p 2， aM 2 aM 2,aM 5 aM 5， 所以kN N，aM 2k aM k 2,aM 5k aM k 5， 所以kN N，aM 2k aM 2(k1) 2 L aM

48、2k，aM 5k aM 5(k1)5 L aM5k， 取N M 5，则kN N， 所以，若k是偶数，则aNk aN k； 若k是奇数，则aNk aN5(k5) aN5 (k 5) aN 5 (k 5) aN k， 所以kN N，aNk aN k所以a N ,a N 1,aN 2 , (2017 (2017 年西城二模年西城二模) ) 20 （本小题满分 13 分） ,a N k ,是公差为 1 的等差数列. ,2n (nN N*,n2)如果对于A 2n 的每一个含有m (m 4)个元素的子集P，P中必有 4个元素的和等于4n1，称正整数m为集合A2n的一个“相关数” （）当n 3时，判断 5

49、和 6 是否为集合 A 6的“相关数” ，说明理由； 设集合A 2n 1,2,3, （）若m为集合 A 2n的“相关数” ，证明：m n 30； （）给定正整数n求集合 A 2n的“相关数” m 的最小值 解： （）当n 3时， A 6 1,2,3,4,5,6 ，4n113 1 分 1616 / 1919 对于 A 6的含有5个元素的子集 因为234513， 2,3,4,5,6 ， 所以5不是集合 A 6的“相关数” 2 分 A 6的含有 6 个元素的子集只有 因为134513， 所以6是集合 A 6的“相关数” 3 分 （）考察集合 A 2n的含有 n2个元素的子集Bn1,n,n1, 所以n

50、2一定不是集合 A 2n的“相关数” 6 分 所以当mn 2时，m一定不是集合 A 2n的“相关数” 7 分 因此若m为集合 A 2n的“相关数” ，必有 mn 3 即若m为集合 A 2n的“相关数” ，必有 m n 30 8 分 （）由（）得 mn 3 先将集合 A 2n的元素分成如下 n组： 1,2,3,4,5,6 ， ,2n 4 分 B中任意4个元素之和一定不小于(n1)n(n1)(n2)4n2 Ci (i,2n 1i) (1i n) 对 A 2n的任意一个含有n3个元素的子集 P，必有三组 10 分 C i1 ,C i 2 ,C i 3同属于集合 P 再将集合 A 2n的元素剔除 n和2n后，分成如下n 1组： D j ( j,2n j) (1 j n 1) 对于 A 2n的任意一个含有 n3 个元素的子集P，必有一组 这一组 不妨设 D j 4 属于集合P11 分 D j 4 与上述三组 与 C i1 ,C i 2 ,C i 3中至少一组无相同元素， D j4 C i1无相同