2016昌平区高三二模数学(理科)

1、2016 昌平区高三二模数学（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项要求的一项 ） 1 （5 分）复数 AB =（） CD 2 （5 分）已知双曲线 C：mx2ny2=1 的一个焦点为 F（5，0） ，实轴长为 6，则双曲线 C 的渐近 线方程为（） Ay=x By=x Cy=x Dy=x 则 z=2xy 的最小值为（） D 3 （5 分）若 x，y 满足 A4B1C0 4 （5 分）设 、 是两个不同的平面，b 是直线且 b

2、，“b”是“”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5 （5 分）过点 A 和圆心 O 的直线交O 于 B，C 两点（ABAC） ，AD 与O 切于点 D，DEAC 于 E， AD=3，AB=3，则 BE 的长度为（） A1BC2D 6 （5 分）如图所示的程序框图，如果输出的 S 值为 3，则判断框内应填入的判断条件为（） 第1页 共 15 页 Ai2 Bi3 Ci4 Di5 7 （5 分）函数 f（x） 是定义在3，0）（0，3上的奇函数，当 x（0，3时，f（x） 的图象 如图所示，那么满足不等式 f（x）2x1 的 x 的取值范围是（） A3，2

3、2，3 1 B3，2（0，1C2，0）1，3 D 1， 0） （0， 8 （5 分）将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形去掉两个正 方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示设正八角星的中心为O，并且 =，若将点 O 到正八角星 16 个顶点的向量，都写成为+ =， ，R 的形式，则 + 的最大 值为（） AB2C1+D2 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 9 （5 分）已知 Sn是等比数列an（nN*）的前 n 项和，若 S3=14，公比 q=2，则数列an的通项公 式 a

4、n= 第2页 共 15 页 10（5 分） 极坐标系中， O 为极点， 点 A 为直线 l： sin=cos+2 上一点， 则|OA|的最小值为 11（5 分） 如图， 点 D 是ABC 的边 BC 上一点， AB= AC= ， AD=2， BD=1， ACB=45， 那么ADB=， 12 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为 13 （5 分）2016 年 3 月 12 日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕活动设置了“三馆两园一带 一谷”七大板块“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆； “两园”即主题狂欢乐园、农事体验 乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”

5、即延寿生态观光谷某校学生准备去参观，由于时间有限， 他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有种 （用 数字作答） （nN*）14 （5 分）已知数列an中，a1=a（0a1） ，an+ 1= 若 a3=，则 a=； 记 Sn=a1+a2+an，则 S2016= 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （13 分）已知函数 f（x）=Asin（x+） （A0，0，| （）写出函数 f（x）的解析式及 x0的值； （）求函数 f（x）

6、在区间，上的最大值与最小值 ）的部分图象如图所示 第3页 共 15 页 16 （13 分）为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试现从两校各随机抽 取 10 名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下： （1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小； （只需要写出结论） （2）如果将数学基础采用 A、B、C 等级制，各等级对应的测试成绩标准如表： （满分 100 分，所有 学生成绩均在 60 分以上） 测试成绩 基础等级 85，100 A 70，85） B （60，70） C 假设每个新生的测试成绩互相独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生

7、的概率 从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生， 求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级 的概率 17 （14 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，BC 垂直于正方形 A1ACC1所在平面，AC=2，BC=1，D 为 AC 中点，E 为线段 BC1上的一点（端点除外） ，平面 AB1E 与 BD 交于点 F （）若 E 不是 BC1的中点，求证：AB1EF； （）若 E 是 BC1的中点，求 AE 与平面 BC1D 所成角的正弦值； （）在线段 BC1上是否存在点 E，使得 A1ECE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 第4页 共 15 页 18 （13 分）已知函数f（x

8、）=eax，g（x）=x2+bx+c（a，b，cR） ，且曲线y=f（x）与曲线y=g（x） 在它们的交点（0，c）处具有公共切线设 h（x）=f（x）g（x） （）求 c 的值，及 a，b 的关系式； （）求函数 h（x）的单调区间； （）设 a0，若对于任意 x1，x20，1，都有|h（x1）h（x2）|e1，求 a 的取值范围 19 （13 分）已知椭圆 M：+=1（ab0）的焦距为 2，点 D（0，）在椭圆 M 上，过原点 O 作直线交椭圆 M 于 A、B 两点，且点A 不是椭圆 M 的顶点，过点A 作 x 轴的垂线，垂足为H，点C 是线段 AH 的中点，直线 BC 交椭圆 M 于点

9、P，连接 AP （）求椭圆 M 的方程及离心率； （）求证：ABAP 20 （14 分）定义 maxx1，x2，x3，xn表示 x1，x2，x3，xn中的最大值 已知数列 an= bn，cn （）求 maxan，bn （）当 k=2 时，求 dn的最小值； （）kN*，求 dn的最小值 ，bn=，cn=，其中 n+m+p=200，m=kn，n，m，p，kN*记 dn=maxan， 第5页 共 15 页 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分在每小题列出的四个选项中

10、，选出符合题目 要求的一项要求的一项 ） 1 【解答】 故选：C 2 【解答】双曲线 C：mx2ny2=1 的一个焦点为 F（5，0） ，实轴长为 6， 可得 c=5，a=3，b=4， x = 双曲线的渐近线方程为：y= 故选：A 3 【解答】由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（） ， 化目标函数 z=2xy 为 y=2xz， 由图可知， 当直线 y=2xz 过点 A （ 故选：D 4 【解答】、 是两个不同的平面，b 是直线且 b “b”；反之不成立， 若 ，b ，b 不一定成立 故选：A 第6页 共 15 页 ） 时， 直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为 2 5 【解答】

11、连接 OD AD 与O 切于点 D，AD2=ABAC，AC= BC=153=12，O 的半径 r=6 在 RtADO 中，S ADO= DEBC， BEEC=DE2，即 BE（BCBE）=DE2， BE2BCBE+DE2=0， BE212BE+20=0， 解得 BE=2 或 10（舍去） BE=2， 故选：C =，解得 DE=2 =15 6 【解答】由题意，若输出 S 的值为 3，可得：3=log2（S+2） ，即退出循环时 S 的值为 6 模拟程序框图的运行过程，得 S=0，i=1 满足条件，执行循环体，S=2，i=2 满足条件，执行循环体，S=6，i=3 此时，由题意，应该不满足条件，退出

12、循环，输出 S 的值为 6， 故判断框内应填入的判断条件为 i3 故选：B 7 【解答】由图象可知，x=0 时，2x1=0，f（x）0，成立； 当 x（0，3时，f（x）单调递减， 当 0x1 时，f（x）1，2x11，满足不等式 f（x）2x1； 当 1x3 时，f（x）1，12x17，不满足不等式 f（x）2x1； 函数 f（x） 是定义在3，0）（0，3上的奇函数， 第7页 共 15 页 当 x3，0）时，f（x）单调递减， 当3x2 时，f（x）0，2x1，满足不等式 f（x）2x1； 当 x2 时，f（x），2x1，不满足不等式 f（x）2x1； 满足不等式 f（x）2x1 的 x

13、的取值范围是3，20，1 故选：B 8 【解答】如图，根据图形及向量加法的平行四边形法则可看出 O 到顶点 C 的向量 此时 + 最大； 作平行四边形 OBCD，设 BC=a，根据题意得，OA=； ； ； =； 又； ； 即 + 的最大值为 故选 C 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 9 【解答】Sn是等比数列an（nN*）的前 n 项和，若 S3=14，公比 q=2， ， 解得：a1=2， N*） 故答案为：2n（N*） 第8页 共 15 页 ， 10 【解答】直线 l：sin=cos+2 的普通方程为：y=

14、x+2， 极坐标系中，O 为极点，点A 为直线 l：sin=cos+2 上一点，则|OA|的最小值就是原点到直线的距 离：d= 故答案为： 11 【解答】AB=，AD=2，BD=1，ACB=45， =， = 由余弦定理可得：cosADB= ADB（0，） ， ADB=， ，ADC=ADB= 由正弦定理可得：AC= 故答案为：， 12 【解答】由三视图可知：该几何体为三棱锥，AC侧面 PBC PCB=135，BC=1，PC= =则该三棱锥中最长棱的棱长为 PB= 故答案为： 13 【解答】由题意，先选择一馆一园一带一谷，再进行排序，即 故答案为：144 =144 种 第9页 共 15 页 14

15、【解答】a1=a（0a1） ，an +1= （nN*） ， a2=a1+=a+ 当 当 a= ，舍去； ，满足条件 时，a3=a2+=a= 时，a3=a21=a+=，解得 a= a1=a（0a1） ，an +1= （nN*） ， a2=a1+=a+ 当 a，an +2=an 时，a3=a2+=a，a4=a2+= S2016=（a1+a2）1008=1512 当时，a3=a21=a+ + =a+， a4=a3+= an +4=an =a+11，a5=a41=a S2016=（a1+a2+a3+a4）504=3504=1512 综上可得：S2016=1512 故答案分别为： 三、解答题（本大题共三

16、、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 15 【解答】 （I）A0，0，由函数图象可知，A=2，T= 又函数过点（ 又| 可得：= ， ， ） ， ）=，解得： 2x0+=2k+，kZ，可得：x0=k，kZ， ，2） ，可得：2=2sin（2 =2x0（x0）=，解得=2， ，kZ， ；1512 +） ，解得：2+=2k+ f（x）=2sin（2x+ 由函数图象可得：2sin（2x0+ 第10页 共 15 页 又 x0= x0， ，（7 分） ，可得：2x+，（9 分）（II）由 x 当 2x

17、+ 当 2x+ = = 时，即 x= 时，即 x= ，f（x）min=f（）=1， ，f（x）max=f（）=2（13 分） 16 【解答】 （1）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同； 甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差 （2）设事件 D=“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生 的数学基础等级” 设事件 E1=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为 A”，P（E1）=， 设事件 E2=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为 B”，P（E2）= 设事件 F1=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等

18、级为 B”，P（F1）= 设事件 F2=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为 C”，P（F2）= 根据题意，D=E1F1E1F2E2F2，所以 P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2） =+=， ， ， ， 因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生 的数学基础等级的概率为 17 【解答】 （I）连接 B1C，交 BC1于点 G，连接 GD 四边形 BCC1B1是平行四边形，G 为 B1C 的中点， D 为 AC 中点， GDAB1又 GD 平面 BC1D，AB1平面 BC1D， AB1平面 BC1D AB1 平面 AB1EF，

19、平面 AB1EF平面 BC1D=EF， AB1EF （II） 以 C1为原点，以 C1A1，C1C，C1B1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示 第11页 共 15 页 则 A（2，2，0） ，E（0，1， =（2，1，） ， ） ，B（0，2，1） ，C1（0，0，0） ，D（1，2，0） =（0，2，1） ，=（1，2，0） 设平面 BC1D 的法向量为 =（x，y，z） ，则 ，令 y=1，得 =（2，1，2） =cos ， AE 与平面 BC1D 所成角的正弦值为 （III） 假设在线段 BC1上存在点 E，使得 A1ECE， 设 =，则 = =（0， =（2， 即 ， ， ） ， ）

20、= =（0，） A1ECE， 解得：= 在线段 BC1上存在点 E，使得 A1ECE，且= 18 【解答】 （I）函数 f（x）=eax，g（x）=x2+bx+c， 函数 f（x）=aeax，g（x）=2x+b 曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线， ，即， c=1，a=b；（4 分） （II）由已知，h（x）=f（x）g（x）=eax+x2ax1 h（x）=aeax+2xa， 第12页 共 15 页 设 F（x）=aeax+2xa，所以 F（x）=a2eax+2， aR，F（x）0，所以 h（x）在（，+）上为单调递增函数（6 分） 由（I）得，f（0）

21、=g（0）所以 h（0）=f（0）g（0）=0，即 0 是 h（x）的零点 所以，函数 h（x）的导函数 h（x）有且只有一个零点 0（7 分） 所以 h（x）及 h（x）符号变化如下， x（，0（0，+） 0） h（x）0+ h（x）极小值 所以函数 h（x）的单调递减区间为（，0） ，单调递增区间为（0，+） （9 分） （III）由（II）知当 x0，1时，h（x）是增函数 对于任意 x1，x20，1，都有|h（x1）h（x2）|e1，等价于 h（x）maxh（x）min=h（1） （0）=eaae1， 等价于当 a0 时，G（a）=eaa（e1）0， G（a）=ea10， G（a）在0，+）上是增函数， 又 G（1）=0，所以 a0，1（13 分） 19 【解答】 （I）由题意知 c=1，b=， 则 a2=b2+c2=4， 所以椭圆 M 的方程为+=1，椭圆 M 的离心率为 e=； （II）证明：设 A（x0，y0） ，P（x1，y1） ， 则 B（x0，y0） ，C（x0，） ， 由点 A，P 在椭圆上，所以+=1，+=1 点 A 不是椭圆 M 的顶点，可得=， 法一：又 kPB=，kBC=，且点 B，C，P 三点共线， 第13页 共 15 页 h 所以=，即=， 所以 kABkPA= =