2011年全国高考理科数学试题及答案-重庆

1、20112011 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类） 满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项： 1答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 擦干净后，再选其他答案标号. 3答非选择题时，必须使用0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10 小题，每小题

2、5 分，共50 分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项 是符合题目要求的. i2i3i4 1复数 1i A 11 i 22 B 11 i 22 C 1111 i D i 2222 2 “x ”是“x ”的 B必要而不充分条件 D既不充分也不必要 A充分而不必要条件 C充要条件 3已知lim( x ax ) ，则a xx B 2 5 AC3 6 D6 n 4(13x) (其中nN且n6)的展开式中x 与x的系数相等，则 n= A6B7C8D9 5下列区间中，函数f（x） = In(2x)在其上为增函数的是 A （-,1B1, 3 4 C0, 3 2 2 2 D1,2 （a b）c 4，且 C=

3、60，则ab 的值为 6若ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 A 4 3 B84 3C 1D 2 3 7已知 a0，b0，a+b=2，则 y= A 14 的最小值是 ab C 7 2 22 B4 9 2 D5 8在圆x y 2x 6y 0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和 BD，则四边形 1 ABCD 的面积为 A5 2B10 2C15 2D20 2 9高为 2 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同 4 一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 A 2 4 B 2 2 2 C1D2

4、 10设 m，k 为整数，方程mx kx 2 0在区间（0,1）内有两个不同的根，则 m+k 的最小值 为 A-8B8C12D13 二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案写在答题卡相应位置上 11在等差数列an中，a3 a7 37，则a2a4a6a8_ 12已知单位向量e 1， e 2 的夹角为 60，则2e 1 e 2 _ 13将一枚均匀的硬币投掷6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率_ 14已知sin 1 cos，且0, ，则 2 2 cos2 的值为_ sin 4 15设圆 C 位于抛物线y 2x与直线 x=3 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆

5、C 的半径能 取到的最大值为_ 三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 13 分） 设aR，f x cosxasin x cosx cos 2 2 x满足 2 f f0，求函 3 数f (x)在 11 ,上的最大值和最小值. 424 2 17 （本小题满分 13 分） （）小问 5 分， （）小问 8 分） 某市公租房的房源位于 A，B，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源， 且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4 位申请人中： （）恰有 2 人申请 A 片区房源的概率； （）申请的房源所在片区的个数的分布

6、列与期望 18 （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分 ） 设f (x) xaxbx的导数f (x)满足f () a, f () b，其中常数a,bR （）求曲线y f (x)在点(, f ()处的切线方程； （） 设g(x) f (x)ex，求函数g(x)的极值 19 （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分 ） 如题（19）图，在四面体ABCD中，平面ABC 平面ACD，AB BC，AD CD， CAD （）若AD ，AB BC，求四面体ABCD的体积； （）若二面角C AB D为，求异面直线AD与BC所成角的余弦值 20 （本小题满分 12

7、分， （）小问 4 分， （）小问 8 分 ） 3 如题（20）图，椭圆的中心为原点O，离心率e （）求该椭圆的标准方程； ，一条准线的方程为x uu u ruuu ruuu r （）设动点P满足：OP OM ON，其中M,N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜 率之积为 ，问：是否存在两个定点F ,F ，使得PF PF 为定值？若存在，求 F ,F 的坐标；若不存在，说明理由 21 （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分） 设实数数列an的前 n 项和S n ，满足S n1 a n1Sn (nN*) （I）若a 1,S2 2a 2 成等比数列，求S2和a3； （II

8、）求证：对k 3有0 ak1 ak 4 3 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分 50 分. 15 CADBD610 ACBCD 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分 25 分. 117412 3 13 三、解答题：满分 75 分. 16 （本题 13 分） 解：f (x) asin xcosx cos x sin x 22 1114 1415 6 1 322 a sin2x cos2x. 2 4 由f ( 3 ) f (0)得 3 a1 1,解得a 2 3. 222 因此f (x) 当x 3sin2x cos2x 2sin(2 x ).

9、6 ,时,2x , f (x)为增函数， 4 363 2 113 时,2x , f (x)为减函数， 当x , 324624 11 上的最大值为f () 2. 所以f (x)在 , 443 11 ) 2, 又因为f ( ) 3, f ( 424 1111 上的最小值为f () 2. 故f (x)在 , 42424 17 （本题 13 分） 解：这是等可能性事件的概率计算问题. 2 （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式C 4 22种， 从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 2C 4 228 . 2734 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，

10、这是4 次独立重复试验. 记“申请 A 片区房源”为事件 A，则P(A) 1 . 3 从而，由独立重复试验中事件A 恰发生 k 次的概率计算公式知，恰有2 人申请 A 片区房源的 概率为 8 2 1 2 2 2P 4 (2) C 4 ( ) ( ) . 3327 （II） 的所有可能值为 1，2，3.又 31 , 4273 1322C 3 2(C 2C4 C 4 C 2 )14C 3 2(24 2) 14 P( 2) (或P( 2) ) 44272733 P(1) 12123C 3C4 C 2 4C 4 A 3 4 P( 3) (或P( 3) ). 993434 综上知， 有分布列 123 P

11、 从而有 5 1144 27279 E1 114465 23. 2727927 18 （本题 13 分） 解： （I）因f (x) x3 ax2bx 1,故f (x) 3x2 2ax b. 令x 1,得f (1) 3 2a b, 由已知f (1) 2a,因此3 2a b 2a,解得b 3. 又令x 2,得f (2) 12 4a b,由已知f (2) b, 因此12 4a b b,解得a . 3 2 3 2 5 x 3x 1,从而f (1) 22 3 又因为f (1) 2( ) 3,故曲线y f (x)在点(1, f (1)处的切线方程为 2 5 y () 3(x 1),即6x 2y 1 0.

12、2 因此f (x) x 3 （II）由（I）知g(x) (3x23x 3)ex， 从而有g(x) (3x29x)ex. 令g(x) 0,得3x29x 0,解得x 1 0,x 2 3. 当x(,0)时,g(x) 0,故g(x)在(,0)上为减函数； 当x(0,3)时,g(x) 0,故g(x)在（0，3）上为增函数； 当x(3,)时，g(x) 0,故g(x)在(3,)上为减函数； 从而函数g(x)在x 1 0处取得极小值g(0) 3,在x 2 3处取得极大值g(3) 15e . 19 （本题 12 分） （I）解：如答（19）图 1，设 F 为 AC 的中点，由于 AD=CD，所以 DFAC. 故

13、由平面 ABC平面 ACD，知 DF平面 ABC， 即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高， 且 DF=ADsin30=1，AF=ADcos30= 3. 在 RtABC 中，因 AC=2AF=2 3，AB=2BC， 3 由勾股定理易知BC 2 154 15 , AB . 55 6 故四面体 ABCD 的体积 1114 152 154 V S ABC DF . 332555 （II）解法一：如答（19）图 1，设 G，H 分别为边 CD，BD 的中点，则 FG/AD，GH/BC，从 而FGH 是异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角. 设 E 为边 AB 的中点，则 EF/BC，

14、由 ABBC，知 EFAB.又由（I）有 DF平面 ABC， 故由三垂线定理知 DEAB. 所以DEF 为二面角 CABD 的平面角，由题设知DEF=60 设AD a,则DF ADsinCAD a . 2 在RtDEF中,EF DF cotDEF a33 a, 236 从而GH 13 BC EF a. 26 1a BD ， 22 因 RtADERtBDE，故 BD=AD=a，从而，在 RtBDF 中，FH 又FG 1a AD ,从而在FGH 中，因 FG=FH，由余弦定理得 22 FG2GH2 FH2GH3 cosFGH 2FGGH2FG6 因此，异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 3

15、 . 6 解法二：如答（19）图 2，过 F 作 FMAC，交 AB 于 M，已知 AD=CD， 平面 ABC平面 ACD，易知 FC，FD，FM 两两垂直，以F 为原点，射线FM，FC，FD 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Fxyz. 不妨设 AD=2，由 CD=AD，CAD=30，易知点 A，C，D 的坐标分别为 A(0, 3,0), C(0, 3,0), D(0,0,1), 则AD (0, 3,1). 显然向量k (0,0,1)是平面 ABC 的法向量. 已知二面角 CABD 为 60， 故可取平面 ABD 的单位法向量n (l,m,n)， 使得 n,k 60

16、,从而n 1 . 2 7 由n AD,有 3m n 0,从而m 由l2 m2 n21,得l 6 . 3 3 . 6 设点 B 的坐标为B(x, y,0);由AB BC,n AB,取l 6 ，有 3 4 6 x 2 y2 3, x , x 0, 9 解之得,(舍去) 6 3 x (y 3) 0, y 3 y 7 3 , 6 3 9 易知l 6 与坐标系的建立方式不合，舍去. 3 4 6 7 34 62 3 ,0).所以CB (,0). 9999 因此点 B 的坐标为B( 从而 cos AD,CB ADCB | AD |CB | 3( 31 ( 2 3 ) 9 4 6 2 2 3 2) () 99

17、 3 . 6 3 . 6 故异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为 20 （本题 12 分） c2 a2 , 2 2, 解： （I）由e a2c 解得a 2,c 2,b2 a2c2 2，故椭圆的标准方程为 x2y2 1. 42 （II）设P(x, y),M(x 1, y1 ),N(x 2 , y 2 )，则由 OP OM 2ON得 (x, y) (x 1, y1 ) 2(x 2 , y 2 ) (x 1 2x 2 , y 1 2y 2 ), 即x x 1 2x 2 , y y 1 2y 2 . 8 因为点 M，N 在椭圆x2 2y2 4上，所以 22x 1 2 2y 1 2 4,x 2

18、2y 2 4， 222 故x2 2y2 (x 1 4x 2 4x 1x2 ) 2(y 1 2 4y 2 4y 1 y 2 ) 22 (x 1 2 2y 1 2) 4(x 2 2y 2 ) 4(x 1x2 2y 1 y 2 ) 20 4(x 1x2 2y 1 y 2 ). 设k OM ,k ON 分别为直线 OM，ON 的斜率，由题设条件知 k OM k ON y 1 y 2 1 ,因此x 1x2 2y 1 y 2 0, x 1 x 2 2 所以x2 2y2 20. 所以 P 点是椭圆 x2 (2 5)2 y2 ( 10)2 1上的点，设该椭圆的左、右焦点为 F1，F2，则由椭圆 (2 5)2(

19、 10)210，因此两焦点的坐标为 的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因c F 1 ( 10,0), F 2 ( 10,0). 21 （本题 12 分） 2 S 2 2a 1a2 , 2 （I）解：由题意得S 2 2S 2 ， S2 a 2 S 1 a 1a2 , 由 S2是等比中项知S2 0.因此S2 2. 由S2 a3 S3 a3S2解得 a 3 S 2 22 . S 2 1213 （II）证法一：由题设条件有Sn an1 an1Sn, 故Sn1,an11且an1 从而对k 3有 S n a ,S n n1, S n 1a n1 1 9 a k1a k1 a S 2 k1 S1 a k1 S k2 a a k1 1 a k1 k 2 . k1 k1 S k2 1 a a k1 a k1 a k1 1