数学毕业论文---三重积分的计算与应用

1、毕毕 业业 论论 文文 题题目目三重积分的计算与应用 学学院院数学科学学院 专专业业数学与应用数学 班班级级数学 0802 学学生生xxxx 学学号号 指导教师指导教师 二一二年五月二十五日 摘要 三重积分在现实中有着广泛的应用.利用三重积分求解不规则物体的体积，不仅 仅是当代大学生要学习的基础知识，在很多的大型桥梁，建筑工程中，三重积分也有 着不可替代的作用.然而，很多学生不能熟练掌握三重积分的相关知识，因而也不会 去应用该知识.为了让学生更好地掌握三重积分的相关知识，以便以后能够熟练巧妙 运用，本文系统的总结了三重积分的求解方法.求解三重积分最根本的就是将三重积 分化为累次积分.但是化为累

2、次积分时可以有不同的选择，既可以“先二后一” （坐标 面投影法） ，也可以“先一后二” （坐标轴投影法） ，有的题目还可以巧妙地运用对称 性求解，复杂的题目可以选择换元法来求解.不同的方法在不同的情况下适用，对于 一个题目来说，具体应该选择哪种方法来求解，则应该进一步分析.三重积分有着广 泛的应用，主要是在大型桥梁工程建设中用来计算不规则物体的体积.无论在哪儿应 用，都要先抽象成数学模型，再计算.因此本文的应用只是采用了一些简单的例题， 关键是让学生去体会不同方法解三重积分的过程. 关键词：三重积分；先一后二；先二后一；换元法；分析应用； - - 1 - - ABSTRACTABSTRACT

3、Triple integral in the reality in a wide range of applications. Using triple integral solving the volume of irregular objects, is not only the foundation of contemporary college students to learn knowledge, in many large Bridges, building engineering, triple integral also having the effect that cann

4、ot replace. However, many students cant master triple integral related information, and thus wont go with the application of the knowledge. In order to let the student to grasp the triple integral of relevant knowledge, so that later skilled to clever apply, this paper summarized the system triple i

5、ntegral solution. Solving the most fundamental triple integral is will triple integral into LeiCi points. But into LeiCi integral will have different options, already canafter the first one (coordinate surface projection method), also can first after a second (a projection method), some questions ca

6、n also smart use of symmetry solution, complex title can choose for yuan method to solve. Different methods in different situations, applicable, for a topic for, specific should choose which kind of method to solve, it should be furtheranalysis. Triple integral in a wide range of applications, mainl

7、y in the large bridge engineering construction is used to calculate the volume of irregular objects. No matter where application, first into abstract mathematical model, then calculation. So this paper is the application of the simple examples, the key is to let students to experience different ways

8、 to solve triple integral process. Key wordsKey words： Triple integral；after the first one；first after a second；for yuan method； - - 2 - - 目录 摘要 .- 1 - ABSTRACT. - 2 - 目录 .- 3 - 1前言 .- 0 - 2三重积分的定义与性质 .- 1 - 2.1 三重积分的定义. - 1 - 2.2 三重积分的性质. - 1 - 3三重积分的计算 .- 3 - 3.1 利用直角坐标计算三重积分. - 3 - 3.3.1 坐标面投影法 .

9、- 3 - 3.3.2 坐标轴投影法 .- 6 - 3.3.3 利用对称性化简三重积分计算 . - 7 - 3.2 利用换元法计算三重积分. - 8 - 3.2.1 柱坐标变换 .- 9 - 3.2.2 球坐标变换 . - 10 - 4三重积分的应用 .- 13 - 4.1 利用三重积分求重心. - 13 - 4.2 利用三重积分求转动惯量. - 15 - 4.3 利用三重积分求引力. - 16 - 5结论 .- 19 - 参 考 文 献 .- 20 - 致谢 .- 21 - - - 3 - - 1前言 三重积分在现实中有着广泛的应用.利用三重积分求解不规则物体的体积，不仅 仅是当代大学生要学

10、习的基础知识，在很多的大型桥梁，建筑工程中，三重积分也有 着不可替代的作用. 在国内，三重积分的实际应用远远比不上国外应用广泛，因此，国内的学生很多 情况下只限于对三重积分的书面认识，意识不到它在现实中的广泛应用.很多学生在 学习三重积分时，不了解三重积分的几何意义，因而不能熟练掌握求解三重积分的方 法.当面临求解三重积分问题时， 往往不知如何下手.即便是知道将三重积分化为累次 积分，也不知道该选用哪种方法求解，求解过程中更是会出现各种各样的错误.为了 让学生更好地掌握三重积分的相关知识，本文系统的总结了三重积分的求解方法，以 便学生尽快掌握相关内容. 本文主要是将三重积分所有的求解方法系统的

11、进行归纳总结， 详尽介绍运用三重 积分求重心，转动惯量，及引力的方法，同时给出求解上述问题的公式，并列举了部 分例题，以便学生更好地掌握三重积分相关知识. 要想熟练地掌握三重积分，首先要了解三重积分的定义，理解三重积分的定义及 意义，熟练掌握三重积分的性质，为后面的求解方法打下坚实基础. （1）在直角坐标系下计算三重积分时，可以选用“先一后二”的坐标面投影法 和“先二后一”的坐标轴投影法，甚至可以利用对称性进行计算.但是，对于不同的 问题，应该选择哪种方法，责应当具体问题具体分析. （2）利用换元法求解三重积分时，要注意把uvw空间中的闭区域V一对一地映 成xyz空间中的V一般常用的是柱坐标变

12、换和球坐标变换 .当选择用换元法求解三重 积分时，还应该注意积分限的确定. 三重积分有着广泛的应用， 主要是在大型桥梁工程建设中用来计算不规则物体的 体积，重心，在物理学上求解转动惯量，及求质点对其他点的引力 .不管什么问题， 只要遇到三重积分问题，先看清题意，将实际问题抽象成数学问题，再套用公式，进 行计算. 2三重积分的定义与性质 2.1 三重积分的定义 设密度函数f (x, y,z)是定义在三维空间可求质量的有界区域V上的有界函数,现 用若干光滑曲面所组成的曲面网T来分割V,他把V分割成n个小区域V 1,V2.,Vn .记 V i的直径 .在每个V i 中任取一点( i , i , i

13、)，作积V i 的体积为V i (i 1,2,.n),T max 1in 分和 M lim f ( i , i , i )V i . T 0 i1 n 定义 1 设f (x, y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上V的函数，J是 一个确定的常数.若对任给的正数,总存在某一正数 ,使得对于任V的意分割T,只 要T ,属于分割的T所有积分和都有 f (, ii i1 n i )V i J . 则称f (x, y,z)在上V可积，数 J 称为函数f (x, y,z)在V上的三重积分，记作 J f (x, y,z)dV. V 其中f (x, y,z)称为被积函数，x, y,z称为积分变量，称V

14、为积分区域. 当f (x, y,z) 1时，dV在几何上表示的V体积. V 2.2 三重积分的性质 与为常数，性质1 若f (x, y,z)与g(x,y,z)在V上可积，则f (x, y,z) g(x, y,z) 在V上也可积，且 f (x, y,z) g(x, y,z)dV V f (x, y,z)dV g(x, y,z)dV. VV 性质 2 若f (x, y,z)在V 1 ,V 2 上可积，且V 1与V2 无公共内点，则f (x, y,z)在 - - 1 - - V V 1 V 2 上也可积，且 f (x, y,z)dV f (x, y,z)dV f (x, y,z)dV. VV1V2

15、性质 3 若f (x, y,z)与g(x, y,z)在V上可积，且 f (x, y,z) g(x, y,z)， 则 f (x, y,z)dV g(x, y,z)dV. VV 性质 4 若f (x, y,z)在V上可积，则f (x, y,z)在V上也可积，且 f (x, y,z)dV VV f (x, y,z)dV. - - 2 - - 3三重积分的计算 3.1 利用直角坐标计算三重积分 在直角坐标系下求解三重积分时，一般是先将三重积分化为累次积分.但是，将 三重积分化为累次积分时，可以“先一后二”也可以“先二后一”.不同的题目，适 合化为哪一种累次积分，还得具体问题具体分析. 3.3.1 坐标

16、面投影法 如图 2.5，在xoy面上闭区域V的投影为闭区域S xy . 2 S 1 : z z 1 (x, y),S 2 : z z 2 (x, y)，(x, y)S xy 过(x, y)作一条与Z轴平行且穿过闭区域V的直线，这时，该直线和闭区域的V边界 曲面S 1,S2 分别相交于两点z 1,z2 . 首先，我们将x, y看作定值，则f (x, y,z)就可以看成只关于z的函数.令 F(x, y) 在S xy 面上，我们可知 z2(x,y) z1(x,y) f (x, y,z)dz. S (x, y) y 1 (x) y y 2 (x),a x b. 因此，F(x, y)在S xy 上的二重

17、积分有 F(x, y)d SS z2(x,y) z1(x,y) f (x, y,z)d. - - 3 - - z S2 z z 2x, y z 2 V S 1 z 1 z zx, y 1 a o S x, y y y2x y b x,y y yx 1 图 2.5 所以三重积分可以化为 V f (x, y,z)dV S z2(x,y) z1(x,y) f (x, y,z)d dx a by2(x) y1(x) dyz2 (x,y) z1(x,y) f (x, y,z)dz. 这种方法称为坐标面投影法，即先一后二法坐标面投影法，即先一后二法. V (x, y,z) z 1 (x, y) z z 2

18、 (x, y),(x, y)S xy . 3 闭区域V称为xy型空间区域型空间区域. . 同理同理，我们可以得到yz,zx型空间区域型空间区域. . 例 1若使V由曲面z x2 y2和平面z 1所围成的立体，将三重积分 f (x, y,z)dxdydz化为三次累次积分. V - - 4 - - z z 1 z x2 y2 y x 图 2.2 从图 2.2 中可知 x2 y2 z 1，(1 x2) y (1 x2)，1 x 1. f (x, y,z)dxdydz V dx 1 V 11x2 1x2 dy 2 1 x y2 f (x, y,z)dz. 例 2求xy2z3dV，其中V是由曲面z xy

19、，与平面y x,x 1和 z 0所围成的闭区域. 解由题意可知 V (x, y,z)0 x 1,0 y x,0 z xy. xy z dV 0 dx 0 dy 0 23 1y V xy xy2z3dz dx 0 1x 0 1 56x y dy 4 1 12x dx 028 1 . 364 1 例 3一立体是由曲面z x2 y2, z 2(x2 y2),y x,y x2.围成， 求该立体的 体积. 解由题意可知 V (x, y,z) x2 y2 z 2(x2 y2),x y x2,0 x 1. 因此 - - 5 - - 1x22(x2y2) dV dx V 0 x dy 2 x y2 dz 3

20、. 35 3.3.2 坐标轴投影法 z q z p V D z y p x 图 2.3 如图 2.2，把积分区域V向Z轴投影，得投影区间p,q用过(0,0,z)，zp,q且 平行于xoy面的平面截V，得截面D z .在截面D z 上，可以计算二重积分 F(z) f (x, y,z)dxdy. D z 此时F(z)是关于z的函数，只需计算单积分F(z)dz的值就可以得到三重积分的值. p q 由分析可知，三重积分可以化为 f (x, y,z) F(z)dz f (x, y,z)dxdydz . V pp Dz qq 这种方法被称为坐标轴投影法，即先二后一法坐标轴投影法，即先二后一法 4. .闭区

21、域 V (x, y,z)(x, y)Dz, p z q. 这样的闭区域V被称为Z- -型空间区域型空间区域. . 同理同理，可以得到X- -型，型，Y- -型空间区域型空间区域. . 例 4计算三重积分zdxdydz，其中V为三个坐标面及平面x y z 1所围成 V - - 6 - - 的闭区域. 解由题意可知 V 0 z 1,0 x 1 z,0 y 1 x z. zdxdydz zdz V 0 11z 0 dx1xz 0 dy 1 0 z(1 z)2 dz 2 1 . 24 例 5计算xzdV，其中V是曲面z 0，z y，y 1以及抛物柱面y x2所 V 围成的闭区域. 解由题意可知 0 z

22、 y 2 x y 1 1 x 1 xzdV dx 2dy (xz)dz V 1x0 11y 1 dx 2 (xy2)dy 1x 2 3 1 (x x7)dx 2 1 0. 11 3.3.3利用对称性5化简三重积分计算 若是V三维空间中关于xoy面对称的有界闭区域，f (x, y,z)为 V 上的连续函数， 则有 当f (x, y,z)关于Z为奇函数时， f (x, y,z)dV 0. V 当f (x, y,z)关于Z为偶函数时， f (x, y,z)dV 2f (x, y,z)dV VV1 1 . 其中V1为V在xoy面上方的部分. - - 7 - - 3.2 利用换元法6计算三重积分 V是三

23、维空间中的有界闭区域，函数f (x, y,z)在上V连续.设变换T 7 x x(u,v,w) y y(u,v,w),(u,v,w)V . z z(u,v,w) 把uvw空间中的闭区域V一对一地映成xyz空间中的V，并设x x(u,v,w)， y y(u,v,w)，z z(u,v,w)及它们的一阶偏导数在V内连续且行列式 J(u,v,w)8 x x x , u v w y y y , 0， (u,v,w)V. u v w z z z , u v w 则 f (x, y,z)dV V f (x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w) J(u,v,w)dudvdw. V 例 6利用适当的

24、坐标变换，计算以下曲面所围成的体积. x y z 1 ，(x 0, y 0,z 0,a 0,b 0,c 0). a b c 解令 x y a(u v)x a b u 2 b(u v) x y . v,即y ab2 z z cw c w 22 且u,v,w满足 u 2 w21 u v 0 u v 0 w 0 - - 8 - - 因此 dV dudv V 0u 1u1u2 0 ( abc )dw 2 abc . 3 3.2.1 柱坐标变换 设M(x, y,z)为空间中的一点，M(x, y,z)在xoy面上的投影为M(x, y,0) z Mx, y,z r Mx, y,0 y x 图 2.4 由图

25、2.4 可知，x rcos，y rsin，因此M 在xoy面上的的极坐标为(r,)，我 们称(r,z)为M的柱坐标9. 因此，我们得到柱坐标变换10 x rcos y rsin,0 2,0 r , z . z z 而相对应的雅克比行列式 cos J(r,z) sin 0 rsin rcos 0 0 0 r. 1 所以 f (x, y,z)dxdydz f (rcos,rsin,z)rdrddz. VV - - 9 - - 例 7计算I x2 y2dV其中V由z x2 y2与z 1所围的立体. V 解r x2 y2,r z 1, 0 r 1,0 2. I x2 y2dV V ddrr d z 0

26、0r . 3 例 8求(x2 y2)dV，其中V是锥面x2 y2 z2与平面z a所围成的立体. V 211 解柱坐标变化T x rcos 0 2， 0 r a，r z a. y rsin， z z (x V 2 y )dV ddrr3dz 00r 2 2aa dr3(a r)dr 00 2a 2 0 a5 ()d 20 a5 10 . 3.2.2 球坐标变换 - - 10 - - z Px, y,z r y p x 图 2.5 P(x, y,z)在xoy面内的投影为P(x, y,z)，如图 2.4，x轴正半轴与op的夹角为， z轴正半轴与op的夹角为，op r，则(r,)为P的球坐标11.

27、因此，我们得到球坐标变换 x rsincos y rsinsin,0 r ,0 ,0 2. z rcos 而对应的雅克比行列式 sincos J(r,) sinsin cos rcoscos rcossin rsin rsinsin rsincos 0 r2sin. 所以，三重积分的球坐标变换12公式为 f (x, y,z)dV V f (rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd. V 例 9计算V (x2 y2 z2)dxdydz，其中V是由锥面z x2 y2和球面 V x2 y2 z2 R2围成. 解x rsincos，y rsinsinz rcos, - - 11 -

28、 - V 0 2,0 ,0 r R. 4 V (x V 2 0 2 y2 z2)dxdydz 0 R dr4drd4s i n 0 5 R5(2 2). - - 12 - - 4三重积分的应用 4.1 利用三重积分求重心 设物体占有空间闭区域V，该区域在点(x, y,z)处的密度函数为(x, y,z)，假定 (x, y,z)在V上连续，则该物体的重心13 为 x x(x, y,z)dV V (x, y,z)dV V , y y(x, y,z)dV V (x, y,z)dV V . z z(x, y,z)dV V (x, y,z)dV V . x2y2z2 例 10已知椭球体的方程为 2 2 2

29、 1,求椭球体的体积dV. abc V 解做变换T x arcos y brsin z z 其中 z2 c z c,0 2,0 r 1 2 . c acos J bsin 0 arsin brcos 0 0 0 abr. 1 因此 dV JdV VV 1 z2 c2 0 dzd c0 c2 abrdr 2abc . 3 x2y2z2 例 11求I zdxdydz,其中V是由 2 2 2 1,与z 0,所围成的区域. abc V - - 13 - - 解V做变换T使V映射到V x arsincos y brsinsin. z crcos 由题意可知 V (r,)0 r 1,0 雅克比行列式 as

30、incos J(r,) bsinsin ccos 2 ,0 2. arcoscos brcossin crsin arsinsin brsincos 0 abcr2sin. 所以 23zdxdydz abcr sincosdV VV drda b2cr3s i nc os 000 122 abc2 2 2 0 sincosd abc2 4 . 例 12求密度均匀的上半椭球体的重心. x2y2z2 解设椭球体由不等式 2 2 2 1表示，由对称性可知x 0, y 0. abc 密度均匀，所以为常数.因此 z zdVzdxdydz V dV V V dxdydz V . 由例 10 和例 11 可

31、知 abc2 z 4 3c . 2abc 8 3 - - 14 - - 4.2 利用三重积分求转动惯量 设物体占有空间闭区域V ，在点(x, y,z)处的密度为(x, y,z)，假定(x, y,z)在V 上连续，则该物体对坐标面转动惯量14为 J xy z2(x, y,z)dV, J yz x2(x, y,z)dV, J zx y2(x, y,z)dV. VVV 该物体对坐标轴的惯量为 J x (y2 z2)(x, y,z)dV, J y (x2 z2)(x, y,z)dV. VV J z (x2 y2)(x, y,z)dV. V 例 13设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动

32、惯量. 解设球体由不等式x2 y2 z2 R.表示，密度函数为kx2 y2 z2. 其中k是比例系数.切平面方程为x R. 则球体相对于平面x R的转动惯量为 J kx2 y2 z2(R x)2dV V kdd(R rsincos)2r3sindr 000 2R kR22 0 2dr drs i nd2kRc osdr drs i nd 00000 2R R 3 2R 4 kcos2dr5drsin3d 000 11kR6 . 9 例 14求边长为a密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量. z o y x 图 2.6 - - 15 - - 解如图 2.6 所示,正方体的棱长为a,密度为，我们

33、求正方体关于在x轴上的那 一棱边的转动惯量，有公式 J x (y2 z2)dV V dxdy(y2 z2)dz 000 aaa 2 5a . 3 4.3 利用三重积分求引力 设物体的密度函数为(x, y,z),该物体对立体外质量为1的质点A(,)的引力 F 15在三个坐标轴上的投影为 F x k V x y (x, y,z)dV, F k(x, y,z)dV. y 33 rr V F z k V z (x, y,z)dV. 3r 其中k为引力系数， r (x )2 (y )2 (z )2. 例 15设球体V有均匀的密度，求V对球外一点A（质量为1）的引力（引力 系数为k）. 解设球体为x2 y

34、2 z2 R2,球外一点A的坐标为(00a),(R a). 有对称性显然可知 F x 0,F y 0. 因此我们只需计算Fz，而 F z k V z a dV. 3r 其中 r2 x2 y2z a. 2 所以 - - 16 - - F z k V z a ( x y (z a) ) z a ( x y (z a) ) 222 2223 dV k V 3 dV. 令 I V z a ( x y (z a) ) 2223 dV. 对V做柱坐标变换 x rcoa y rsin z z 得到V，由此可知 V (r,z) R z R,0 2,0 r R2 z2. 因此 I V R (z a)r drdd

35、z r2(z a)23 2R2z2 dzd R0 (z a)r 0 r 2 2 (z a) 3 2 2 dr 2 (1 R R z a R 2az a2 )dz 4 3R. 23a 所以 4R3 F z k. 3a2 因此，该球体对A的引力为：(00 4R3 k). 23a 例 16密度均匀柱体：x2 y2 a2,0 z h，单位质量的点P(0,0,c),(c h)， 求该柱体对质点P的引力. 解由例题 15 可知 - - 17 - - F x 0,F y 0. F z k V z c x y (z c) 2a 2 222 32 dV kdzd 00 h h (z a)r r (z c) 2

36、32 0 dr 2k( 0 11 )dz 22 z c a (z c) 2k(h a2 (h c)2a2 c2). 所以，该柱体对质点P的引力为：(0,0,2k(h a2 (h c)2a2 c2). - - 18 - - 5结论 经过分析，我们总结出了面对不同问题，选择合适的方法来计算三重积分，并给 出了三重积分在计算重心，转动惯量及引力中的应用. 在直角坐标系分一下三种情况给出了计算 （1） 当平行于Z轴切穿过闭域V内部的直线与闭域V的边界曲面相S交不多于两 点的时候，应该选用“先一后二”化为累次积分的方法，即选用坐标面投影法. （2） 当积分区域V是xy型， 恰好是Z-型或X-型，Y-型的

37、； 被积函数与xy无关， 且D z 的面积容易表达为z的函数时，f (x, y,z)dxdy易于计算；应当选用“先二后 D z 一”化为累次积分的方法，即坐标轴投影法. （3）积分区域关于坐标面具有对称性；被积函数在积分区域上关于坐标轴有奇偶 性时应选择利用对称性求解三重积分. 然后又给出了用换元法计算三重积分，主要用 （1）柱坐标变换 V的 若V的投影区域D是圆或为圆域的一部分； 被积函数是f (x y )或f (x y )的形式； 2222 边界曲面为圆柱面或旋转抛物面. （2）球坐标变换法 积分区域由球面或圆锥面围成的立体；被积函数是f (x2 y2 z2)的形式. 最后给出了三重积分在计算重心，转动惯量，引力等方面的应用. - - 19 - - 参 考 文 献 1华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社, 2001(8):152-153 2林谦,在直角坐标系下三重积分计算法的探讨J.云南师范大学学报 (自然科学版 ),1999, (5) :86-88 3王浚岭.三重积分先一后二求围定顶的计算方法J.高等数学研究,2006,(5):32-3 4董培建.“截面法”在三重积分计算中的应用J.高等数学研究,1994,(1):112-113 5董艳梅 ,林谦.在柱坐标系下三重积分计算法的探讨J.云南师范大学学报 (自然科学 版),20