2020年高考数学 考点分析与突破性讲练 专题23 基本不等式及不等式应用 理（通用）

1、专题23 基本不等式及不等式应用一、 考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题二、概念掌握及解题上的注意点： 1.利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 2.求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关

2、于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.三、高考考题题例分析： 例1.（2020天津卷） 已知a，bR，且a3b+6=0，则2a+的最小值为【答案】例2.（2020江苏卷）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC=120，ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为【答案】9【解析】：由题意得acsin120=asin60+csin60，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=+52+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9例3.(2020山东卷)若，且，则下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B例4.(2

3、020天津卷)若，则的最小值为_.【答案】4 【解析】: ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.例5.( 2020江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .【答案】30【解析】:总费用，当且仅当，即时等号成立.例6.(2020高考陕西卷)设，若，则下列关系式中正确的是（ ）A B C D【答案】C例7.( 2020高考四川卷)如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B【解析】:时，抛物

4、线的对称轴为.据题意，当时，即.由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即.由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B.基本不等式练习一、选择题1“x1”是“x2”的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】:x2x0，所以“x1”是“x2”的充分不必要条件，故选A2设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为 ()A80B77C81D82【答案】C【解析】:x0，y0，即xy81，当且仅当xy9时，(xy)max81.3已知f(x)x2(x0)，则f(x)有 ()A最大值0B最小值0C最大值4D最小值4【答案】C4若函数

5、f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于 ()A1B1C3D4【答案】C【解析】:当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，选C5已知x，y0且x4y1，则的最小值为 ()A8B9C10D11【答案】B【解析】:x4y1(x，y0)，552549.6已知a0，b0，则的最小值为 ()AB1C2D4【答案】D7已知x1，y1，且lg x,2，lg y成等差数列，则xy有 ()A最小值20B最小值200C最大值20D最大值200【答案】B【解析】:由题意得22lg xlg ylg(xy)，所以xy10 000，则x

6、y2200，当且仅当xy100时，等号成立，所以xy的有最小值200，故选B.8设a0，若关于x的不等式x5在(1，)上恒成立，则a的最小值为 () A16B9C4D2【答案】C【解析】:在(1，)上，x(x1)12121(当且仅当x1时取等号)，由题意知215.所以24，2，a4.9.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ()A80元B120元C160元D240元【答案】C【解析】：设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy14xy4.T420(2x2y)1108020(

7、xy)8020280204160(当且仅当xy时取等号)故该容器的最低总造价是160元10某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ()A60件B80件C100件 D120件【答案】B11.若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是 ()AaBaCaDa【答案】A【解析】:对任意x0，a恒成立，对x(0，)，amax，而对x(0，)，当且仅当x时等号成立，a.12正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是 ()A

8、3，)B(，3C(，6D6，)【答案】D二、填空题13正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_【答案】9，)【解析】:a，b是正数，abab323，ab230，(1)(3)0，1(舍去)或3.即ab9.14.已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_. 【答案】2【解析】:依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值为2.又，因此有2，即的最小值为2.15某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的

9、最大值是_万元. 【答案】8【解析】:年平均利润为x1818，x210，1818108，当且仅当x，即x5时，取等号16已知点P(a，b)在函数y上，且a1，b1，则aln b的最大值为_【答案】e【解析】:由点P(a，b)在函数y上，得abe2，则ln aln b2，又a1，b1，则ln a0，ln b0.令aln bt，t1，则ln tln aln b1，当且仅当abe时，取等号，所以1te，所以aln b的最大值为e. 三、解答题17(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值【答案】(1) ， (2) (2)0x0，y，当且仅当x2x，即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值为.18已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值【答案】(1) 64， (2)18【解析】:(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16且y4时，等号成立所以xy的最小值为64.19经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值. 【答案】(1)