二次函数的存在性问题之菱形(含答案)

1、二次函数的存在性问题之菱形1. 如图，抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E（1）求抛物线解析式； （2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积； （3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由 2. 如图，直线 与 轴、轴分别交于 、两点，抛物线 经过 、两点，与 轴的另一个交点为 ，连接

2、 （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）点 在抛物线上，连接 ，当 时，求点 的坐标； （3）点 从点 出发，沿线段 由 向 运动，同时点 从点 出发，沿线段 由 向 运动， 、 的运动速度都是每秒 个单位长度，当 点到达 点时， 、 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 ，使 、 运动过程中的某一时刻，以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由 3. 如图所示，顶点为（，）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）（1）求抛物线的解析式； （2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（

3、处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值 4. 综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过点A，C （1）求抛物线的解析式 （2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由注：二次函数y=ax2+bx +c（a0）的顶点坐标为（ ， ） 5.

4、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x27x+12=0的两个根，且OAOB（1）求OA、OB的长（2）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）23与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0， ），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧 （1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当点P位于第二象限时，设PQ的中点

5、为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由7. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点（1）求直线AB和抛物线的解析式 （2）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 8. 如图，抛物线y=ax22x+c（a0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（2，0），点C（0，8），点D是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）如图2，设BC交抛物线的对称

6、轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标 9. 如图，抛物线 y=x2x2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求A、B、C三点的坐标； （2）连接MO、MC，并把MOC沿CO翻折，得到四边形MO MC，那么是否存在点M，使四边形MO MC为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由； 10. 抛物线y= x2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，

7、其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧（1）求D点坐标； （2）若PBA= OBC，求点P的坐标； （3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由 11. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）试求抛物线的解析式； （2）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点N坐标；若不存在，说明理由 12. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与X轴

8、交于点A、B两点B处的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的动点（1）求出二次函数的解析式； （2）连接PO、PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使得四边形POPC为菱形？若存在，求出点P的坐标，若存在，请说明理由； 13. 如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D直线y=2x1经过抛物线上一点B（2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F（1）求m的值及该抛物线对应的解析式； （2）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M

9、的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由 14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方（1）求这个二次函数的表达式 （2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 15. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与

10、y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E（1）求证：点E与点D关于x轴对称； （2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D，点A的对应点A，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将FBC沿BC翻折，使点F落在点F处，在平面内找一点G，若以F、G、D、A为顶点的四边形为菱形，求平移的距离 16. 如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上,且横坐标为1，点 与点 关于抛物线的对称轴对称，直线 与 轴交于点 ，点 为抛物线的顶点，点 的坐标为 （1）求线段 的长； （2）点 为线段 上方抛物线上的任意一点，过点 作 的垂线交 于点 ，点

11、为 轴上一点，当 的面积最大时，求 的最小值； （3）在（2）中， 取得最小值时，将 绕点 顺时针旋转 后得到 ,过点 作 的垂线与直线 交于点 ，点 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 ，使得点 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由. 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直

12、接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值 18. 已知，抛物线y=ax+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式； （2）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，A（2，0）在抛物线上

13、， ，解得： ，抛物线解析式为y= x2 x2；（2）解：令y= x2 x2=0，解得：x1=2，x2=4，当x=0时，y=2，B（4，0），C（0，2），设BC的解析式为y=kx+b，则 ，解得： ，y= x2，设D（m，0），DPy轴，E（m， m2），P（m， m2 m2），OD=4PE，m=4（ m2 m2 m+2），m=5，m=0（舍去），D（5，0），P（5， ），E（5， ），四边形POBE的面积=SOPDSEBD= 5 1 = ；（3）解：存在，设M（n， n2），以BD为对角线，如图1，四边形BNDM是菱形，MN垂直平分BD，n=4+ ，M（ ， ），M，N关于x轴对称，N（

14、 ， ）；以BD为边，如图2，四边形BNDM是菱形，MNBD，MN=BD=MD=1，过M作MHx轴于H，MH2+DH2=DM2 ， 即（ n2）2+（n5）2=12 ， n1=4（不合题意），n2=5.6，N（4.6， ），同理（ n2）2+（4n）2=1，n1=4+ （不合题意，舍去），n2=4 ，N（5 ， ），以BD为边，如图3，过M作MHx轴于H，MH2+BH2=BM2 ， 即（ n2）2+（n4）2=12 ， n1=4+ ，n2=4 （不合题意，舍去），N（5+ ， ），综上所述，当N（ ， ）或（4.6， ）或（5 ， ）或（5+ ， ），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形 【

15、解析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，A（2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，2），求得BC的解析式为y= x2，设D（m，0），得到E（m， m2），P（m， m2 m2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5， ），E（5， ），根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设M（n， n2），以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+ ，于是得到N（ ， ）；以BD为边，根据菱形的性质得到MNBD，MN=BD=MD=1，过M作MHx轴于H，根据勾股定理列方

16、程即可得到结论2.【答案】（1）解：直线解析式 ，令 ，得 ；令 ，得 、 点 、 在抛物线 上， ，解得 ，抛物线解析式为： 令 ，解得： 或 ， （2）解： ，设 ，当 时，如答图 所示 ， ，故点 满足条件过点 作 轴于点 ，则 ， ， ， ，直线 的解析式为： 联立 与 ，得： ，解得： ， ， ， ， ；当 与 关于 轴对称时，如答图 所示 ， ， ，故点 满足条件过点 作 轴于点 ，则 ， ， ， ，直线 的解析式为： 联立 与 得： ，解得： ， ， ， ， 综上所述，满足条件的点 的坐标为： 或 （3）解：设 ，则 ， ， 假设存在满足条件的点 ，设菱形的对角线交于点 ，设运动

17、时间为 若以 为菱形对角线，如答图 此时 ，菱形边长 在 中， ，解得 过点 作 轴于点 ，则 ， ， 点 与点 横坐标相差 个单位， ；若以 为菱形对角线，如答图 此时 ，菱形边长 ， ，点 为 中点， 点 与点 横坐标相差 个单位， ；若以 为菱形对角线，如答图 此时 ，菱形边长 在 中， ，解得 ， 综上所述，存在满足条件的点 ，点 坐标为： 或 或 【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B两点的坐标，将A,B两点的坐标分别代入抛物线 y=x2+bx+c得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，从而得出抛物线的解析式，再根据抛物线与x轴交点的纵坐标是0，将y=0代

18、入抛物线的解析式，楸树对应的自变量的值，从而求出C点的坐标；（2）设 M ( x , y )当BMBC 时，如答图 2 1 所示根据等腰直角三角形的性质及垂直的定义得出MBA+CBO=45 ，故点 M 满足条件，过点 M1 作M1Ey轴于点E ，则M1E=x ， OE=y 进而表示出BE，根据同角的余角相等及等角的同名三角函数值相等得出 tanM1BE=tanBCO=， 根据正切函数的定义得出关于x,y的方程，变形即可得出直线BM1 的解析式，解联立直线BM 1 的解析式与抛物线的解析式组成的方程组，即可求出M1的坐标；当 BM与BC关于y轴对称时，如答图 2 2 所示根据根据角的和差及对称的

19、性质得出ABO=MBA+MBO=45 ， MBO=CBO ，故MBA+CBO=45 ，故点 M 满足条件过点 M2 作 M2Ey 轴于点 E ，则M2E=x ， OE=y 进而表示出BE，根据同角的余角相等及等角的同名三角函数值相等得出 tanM2BE=tanCBO=， 根据正切函数的定义得出关于x,y的方程，变形即可得出直线BM2 的解析式，解联立直线BM2 的解析式与抛物线的解析式组成的方程组，即可求出M2的坐标，综上所述即可得出M点的坐标；（3）设 BCO= ，则 tan=， sin=， cos= 假设存在满足条件的点 D ，设菱形的对角线交于点 E ，设运动时间为 t 若以 CQ为菱形

20、对角线，如答图 3 1 此时 BQ=t ，菱形边长=t ，根据菱形的对角线互相平分得出 CE=CQ=(5t) ，根据余弦函数的定义，由cos=,即可列出方程，求解得出t的值，进而得出CQ的值，过点Q作QFx 轴于点 F，则 QF=CQ sin， CF=CQ cos，分别计算出QF,CF的长，进而得出OF的长，从而得出Q点的坐标，根据点 D1与点Q横坐标相差 t 个单位即可得出D1的坐标；若以PQ为菱形对角线，如答图 3 2 此时 BQ=t ，菱形边长=t，根据线段中点坐标公式，由点 Q为BC中点得出Q点的坐标，根据点 D2与点Q横坐标相差 t 个单位即可得出D1的坐标；若以CP为菱形对角线，如

21、答图 3 3 此时BQ=t ，菱形边长=5t根据cos =列出方程，求解得出t的值，进而求出OE, 由 D3E=QE=CQ sin，从而得出D3的坐标，综上所述即可得出答案。3.【答案】（1）解：依题意可设抛物线方程为顶点式y=a（x ）2 （a0），将点M（2，0）代入可得：a（2 ）2 =0，解得a=1故抛物线的解析式为：y=（x ）2 （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x ）2 则对称轴为x= ，点A与点M（2，0）关于直线x= 对称，A（-1，0）令x=0，则y=2，B（0，2）在直角OAB中，OA=1，OB=2，则AB= 设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）直

22、角AOG是等腰直角三角形，AGO=45点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k0，所以反比例函数y= （k0）图象位于点一、三象限故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，过点D作DNy轴于点N，在直角BDN中，DBN=AGO=45，DN=BN= = ，D（ ， 2），点D在反比例函数y= （k0）图象上，k= （ 2）= + ；此菱形以AB为对角线，如图2，作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C，交反比例函数y= （k0）的图象于点D再分别过点D、B作DEx轴于点F，BEy轴，DE与BE相较于点E在直角BDE中，同

23、可证AGO=DBO=BDE=45，BE=DE可设点D的坐标为（x，x2）BE2+DE2=BD2 ， BD= BE= x四边形ABCD是菱形，AD=BD= x在直角ADF中，AD2=AF2+DF2 ， 即（ x）=（x+1）2+（x2）2 ， 解得x= ，点D的坐标是（ ， ）点D在反比例函数y= （k0）图象上，k= = ，综上所述，k的值是 + 或 【解析】【分析】（1）设抛物线方程为顶点式y=a（x ）2 ，将点M的坐标代入求a的值即可；（2）设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）则直角AOG是等腰直角三角形AGO=45点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k0，所以反比

24、例函数y= （k0）图象位于点一、三象限故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：此菱形以AB为边且AC也为边，此菱形以AB为对角线，利用点的坐标与图形的性质，勾股定理，菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得k的值即可4.【答案】（1）解：将A（4，0）代入y=x+cc=4将A（4，0）和c=4代入y=x2+bx+cb=3抛物线解析式为y=x23x+4（3）解：存在设M坐标为（a，0）则N为（a，a23a+4）则P点坐标为（a， ）把点P坐标代入y=x+4解得a1=4（舍去），a2=1当PF=FM时，点D在MN垂直平分线上，则D（ ）当PM=PF时，由菱形性质点D坐

25、标为（1+ ，）（1，）当MP=MF时，M、D关于直线y=x+4对称，点D坐标为（4，3） 5.【答案】（1）解：方程x27x+12=0，分解因式得：（x3）（x4）=0，可得：x3=0，x4=0，解得：x1=3，x2=4，OAOB，OA=4，OB=3（2）解：AOBC，AO平分BAC，分四种情况考虑：AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，点F与B重合，即F（3，0）；AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，此时点F坐标为（3，8）；AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y= x+4，直线L过（ ，2），且k值为 （平面内互相垂直的

26、两条直线k值乘积为1），L解析式为y= x+ ，联立直线L与直线AB，得： ，解得：x= ，y= ，F（ ， ）；AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，SABC= BCOA= ABCN=12，CN= = ，在BCN中，BC=6，CN= ，根据勾股定理得BN= = ，即AN=ABBN=5 = ，做A关于N的对称点，记为F，AF=2AN= ，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=AFsinBAO= = ，F（ ， ），综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，0）；F2（3，8）；F3（ ， ）；F4（ ， ）【解析】【分析】（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度即可；（2）先根据三角形的面积求出点

27、E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算6.【答案】（1）解：抛物线与y轴交于点C（0， ）a3= ，解得：a= ，y= （x+1）23当y=0时，有 （x+1）23=0，x1=2，x2=4，A（4，0），B（2，0）（2）解：设P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）且过点H（1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，k+b=0，b=

28、k，y=kx+k由 ， +（ k）x k=0，x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2 ， 点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式的点M（ k1， k2）假设存在这样的N点如图，直线DNPQ，设直线DN的解析式为y=kx+k3由 ，解得：x1=1，x2=3k1，N（3k1，3k23）四边形DMPN是菱形，DN=DM，（3k）2+（3k2）2=（ ）2+（ ）2 ， 整理得：3k4k24=0，k2+10，3k24=0，解得k= ，k0，k= ，P（3 1，6），M（ 1，2），N（2 1，1）PM=DN=2 ，PMDN，四边形DMPN是平行四边形，DM=DN，四边形DMPN

29、为菱形，以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（2 1，1）7.【答案】（1）答案解：设直线的解析式为y=kx+b将A（4，0），B（0，4）代入得： ，解得k=1，b=4，直线AB的解析式为y=x+4设物线的解析式为y=ax2+4将A（4，0）代入得：16a+4=0，解得a= ，抛物线的解析式为y= x2+4（2）解：如图2所示：延长MN交x轴与点CMNOB，OBOC，MNOCOA=OB，AOB=90，BA0=45ONAB，NOC=45OC=ON =4 =2 ，NC=ON =4 =2 点N的坐标为（2 ，2 ）如图3所示：过点N作NCy轴，垂足为COA=OB，AOB=90

30、，OBA=45ONAB，NOC=45OC=ON =4 =2 ，NC=ON =4 =2 点N的坐标为（2 ，2 ）如图4所示：连接MN交y轴与点C四边形BNOM为菱形，OB=4，BC=OC=2，MC=CN，MNOB点的纵坐标为2将y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=2，点M的坐标为（2，2）点N的坐标为（2，2）如图5所示：四边形OBNM为菱形，NBM=ABO=45四边形OBNM为正方形点N的坐标为（4，4）综上所述点N的坐标为 或 或（4，4）或（2，2） 【解析】【分析】（1）设直线的解析式为y=kx+b，将A（4，0），B（0，4）代入得到关于k、b的方程组，然后解得k、b的值即

31、可；设抛物线的解析式为y=ax2+4，然后将点A的坐标代入求得a的值即可；（2）先根据题意画出图形，需要注意本题共有4种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及特殊锐角三角函数值求解即可8.【答案】（1）解：将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得：a=1，c=8抛物线的解析式为y=x22x8y=（x1）29，D（1，9）（2）解：设CD的解析式为y=kx8，将点D的坐标代入得：k8=9，解得k=1，直线CD的解析式为y=x8设直线CB的解析式为y=k2x8，将点B的坐标代入得：4k28=0，解得：k2=2直线BC的解析式为y=2x8将x=1代入直线BC的解析式得：y=6，F

32、（1，6）设点M的坐标为（a，a8）当MF=MB时，（a4）2+（a+8）2=（a1）2+（a+2）2 ， 整理得：6a=75，解得：a= 点M的坐标为（ ， ）当FM=FB时，（a1）2+（a+2）2=（41）2+（60）2 ， 整理得：a2+a20=0，解得：a=4或a=5点M的坐标为（4，12）或（5，3）综上所述，点M的坐标为（ ， ）或（4，12）或（5，3） 9.【答案】（1）解：令y=0，则x2x2=0，解得：x1=4，x2=1，点A在点B的左侧，A（1，0），B（4，0），令x=0，则y=2，C（0，2）（2）解：存在点M，使四边形MO MC是菱形，如图1所示：设M点坐标为（x

33、，x2x2）若四边形MO MC是菱形，则M M垂直平分OC，OC=2，M点的纵坐标为1，x2x2=1，解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），M点的坐标为（，1）10.【答案】（1）解：y= x2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0）两点，y= （x+4）（x2）= （x2+2x8）= （x+1）23D（1，3）（2）解：在x轴上点E（2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FGx轴，垂足为G点E与点B关于y轴对称，OBC=OECOBC=GEFPBA= OBC，PBA=EFBEF=EB=4OE=2，OC= ，EC= GFOC，FGECOE = = ，即 = = ，解得：FG=

34、，EG= ，F（ ， ）设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得： ，解得：k= ，b=1，直线BP的解析式为y= x+1将y= x+1与y= x2+ x 联立，解得：x= ，x=2（舍去），y= P（ ， ）；（3）解：设P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）且过点H（1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由 得： x2+（ k） k=0x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2 ， 解得：x1=1，x2=3k1，点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式的点M（ k1， k2）假设存在这样的N点如图2，直线DNPQ，设直

35、线DN的解析式为y=kx+k3由 ，解得：x1=1，x2=3k1，N（3k1，3k23）四边形DMPN是菱形，DN=DM，（3k）2+（3k2）2=（ ）2+ k2+3）2 ， 整理得：3k4k24=0，k2+10，3k24=0，解得k= ，k0，k= ，P（3 1，6），M（ 1，2），N（2 1，1）PM=DN=2 ，PMDN，四边形DMPN是平行四边形，DM=DN，四边形DMPN为菱形，以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（2 1，1）【解析】【分析】（1）抛物线的解析式为y= （x+4）（x2），然后利用配方法可求得点D的坐标；（2）在x轴上点E（2，0），连接C

36、E，并延长CE交PB与点F，过点F作FGx轴，垂足为G首先证明EF=EB=4，然后证明FGECOE，依据相似三角形的性质可得到FG= ，EG= ，故可得到点F的坐标，然后可求得BP的解析式，最后可求得直线与抛物线的交点坐标即可；（3）设P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）且过点H（1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题11.【答案】（1）解：抛物线y=ax2+bx+c过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点， ，解得 ，抛物线的解析式为y=x2+2x+3；（2）解：存在

37、若AM为菱形对角线，则AM与CN互相垂直平分，N（0，3）；若CM为菱形对角线，则 ， 或 ；若AC为菱形对角线，则CN=AM=CM，设M（m，0），由CM2=AM2 ， 得m2+32=（m+1）2 ， 解得m=4，CN=AM=CM=5，N（5，3）综上可知存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个：N1（0，3）， ， ，N4（5，3） 12.【答案】（1）解：把B（3，0）、C（0，3）代入y=x2+bx+c，得，解得 ，这个二次函数的表达式为y=x22x3（2）解：存在理由如下：如图1中，作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E则PO=P

38、C，POC沿CO翻折，得到四边形POPC，OP=OP，CP=CP，OP=OP=CP=CP，四边形POPC为菱形，C点坐标为（0，3），E点坐标为（0， ），点P的纵坐标为 ，把y= 代入y=x22x3得x22x3= ，解得x= ，点P在直线BC下方的抛物线上，x= ，满足条件的点P的坐标为（ ， ）13.【答案】（1）解：点B（2，m）在直线y=2x1上m=2（2）1=41=3，所以，点B（2，3），又抛物线经过原点O，设抛物线的解析式为y=ax2+bx，点B（2，3），A（4，0）在抛物线上， ，解得： 抛物线的解析式为y= x2x（2）解：结论：存在抛物线的解析式为y= x2x，顶点E（2

39、，1），对称轴为x=2；点F是直线y=2x1与对称轴x=2的交点，F（2，5），DF=5又A（4，0），AE= 如下图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形AEM1Q1 此时EM1=AE= ，M1F=DFDEDM1=4 ，t1=4 ；菱形AEOM2 此时DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形AEM3Q3 此时EM3=AE= ，DM3=EM3DE= 1，M3F=DM3+DF=（ 1）+5=4+ ，t3=4+ ；菱形AM4EQ4 此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AEM4Q4 ， 易知AEDM4EH， = ，即 = ，得M4E=2.5，DM4=

40、M4EDE=2.51=1.5，M4F=DM4+DF=1.5+5=6.5，t4=6.5综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4 ，t2=6，t3=4+ ，t4=6.5 14.【答案】（1）解：将B、C两点的坐标代入得 ，解得 ，所以二次函数的表达式为y=x2+2x+3（2）解：如图，存在点P，使四边形POPC为菱形设P点坐标为（x，x2+2x+3），PP交CO于E，若四边形POPC是菱形，则有PC=PO，连接PP则PECO于E，OE=CE= ，y= ，-x2+2x+3= ，解得x1= ，x2= （不合题意，舍去），P点的坐标为（ ， ）；15

41、.【答案】（1）证明：如图1中，令y=0，得到 x2 x3=0，解得x= 或3 ，A（ ，0），B（3 ，0），令x=0，可得y=3，C（0，3），y= x2 x3= （x ）24，顶点D（ ，4），设对称轴与x轴交于F，则BF=2 ，EFBBOC， = ， = ，EF=4，E（ ，4），E、D关于x轴对称（2）F（ ， ），A（ + t，2t），D（ ，4），设平移距离为 t，则A（ + t，2t），D（ + t，42t），AF2=6t224t+ ，DF2=6t2+ ，AD2=24，当AF2=DF2时，6t224t+ =6t2+ ，解得t=1当AF2=AD2时，6t224t+ =24，解得t

42、= 当DF2=AD2时，24=6t2+ ，解得t= 或 （舍弃），平移的距离 t= ， ， 16.【答案】（1）解：由题意得 (1，3)，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点D(2，4)， (0，3)，由点 与点 关于抛物线的对称轴对称，则 (3，3），则 （2）解：延长 ，交 于点 ，(3，3)， (1，1)，直线 的解析式为： ，设 ( ， )， ，则 (m，m)，则SPBE= =PN，当 取最大值时， 取最大值，当 ，PN取最大值， ( ， )， ( ， )，构造与 轴夹角为 的直线OM，如图所示，则 ，即 ，当 时， ，（3）解：OM的解析式为 ，HMOM，且HM过点H，HM的解析式为: ， (0，3- ），又 (0，3)，在 中， =30，(-1，3)，以 为边，此时 (-1，3- )； (5，3)； (-1，3+ )；以 为对角线， 此时 (-1，8).【解析】【分析】（1）根据A点的横坐标为1及A点在抛物线上，得出A点的坐标，又点 B 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，且抛物线的对称轴为直线x=2，从而