DVD在线租赁问题PPT课件

1、主讲教师：董庆来 2012年8月9日,2012年数学建模竞赛暑期集训系列讲座之一 DVD在线租赁,CUMCM-2005B: DVD在线租赁,命题人：余刚先生（教授） 时任亚马逊公司全球供应链运营副总裁 曾任美国德州大学奥斯汀分校管理学院Jack G. Taylor讲席教授 获多项美国专利，1995年创建美国科莱科技公司(CALEB Technologies Corp.)并任董事长和总裁 航班管理：2001年为美国大陆航空公司所创造的价值超过6000万美元，获2002年运筹学与管理科学应用Franz Edelman奖(运筹学与管理科学应用的“世界杯”),CUMCM-2005B: DVD在线租赁,

2、网上DVD在线租赁业务（2005年时的背景） 亚马逊英国公司(amazon.co.uk) ；美国和等；欧洲等著名公司 租赁的DVD多达几万种，用户多达几十万几百万，有的包括多个配送中心 题目：会员每月最多可租赁两次，每次张DVD 第（1）、（2）问：分别考虑购买和分发子问题 第（3）问：同时考虑购买和分发 第（4）问：自己提出新问题，尝试建模和求解,二、问题分析与建模,问题一 网站购买DVD的最优数量,在现有会员中随机抽取1000个会员进行调查，以得知愿意观看不同DVD的人数（表1.1给出了其中5种DVD的数据）。从历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。现在我们

3、假设网站现有10万个会员，并已经知道会员对DVD的需求，以及会员每月订DVD的规律。问题是应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到呢？,表1.1 对1000个会员调查的部分结果,信息： 数据是随机抽取1000会员的调查数据 每个会员每月至多租2次 每次租赁可租3张（寄回可再租）； 40会员每月租1次，记作A类会员 60会员每月租2次，记作B类会员,问题： 至少要准备多少张DVD（上述5种），才能保证： 希望看到该DVD的会员中至少50能看到想看的DVD？（一个月内） 希望看到该DVD的会员中至少95能看到D

4、VD？（三个月内）,假设: 1、事先无法预测会员在本月订D v D 的次数 2、会员每次得到3 张D V D 3、假设60 % 的每月租赁D V D 两次的会员租赁的 D V D 一个月内可外借两次,而40% 的每月租赁D V D 一次的会员租赁的D V D 在一个月内只能外借一次,第j 种DVD 应准备数量（xj）每张光盘利用次数的期望（E） =愿观看人数（Pj）能看到该DVD 人数的比例（R）,即,假设: 光盘第一次被每月租两次的会员租的D V D 光盘一个月能利用两次, 即可被两个会员租到, 被只租一次的会员租的D V D 光盘一个月只能利用一次,每个光盘在一个月内能利用次数的期望,E=

5、2x60% + 1x 40% = 1.6,一个月的情况,能看到该D V D 人数的比例: R = 50 %,调查的人数只占全部会员的1%, 所以数据按100 倍扩大,将数值代入,三个月的情况,每个光盘在三个月内能利用的次数的期望,由于能看到该D V D 人数的比例: R = 95 % 将数值代入模型 求解并且把解向右取整,问题1:网站购买DVD的数量(x),假设：每种DVD独立考虑（联合考虑没有足够信息）,希望看到该DVD的会员数量：确定？随机！,保证一个月至少P%有需求的会员能得到满足?,会员希望看该DVD的概率为p 网站的会员总数为n,n比较大，可用正态分布N(np, npq) 近似（q=

6、1-p）,二项分布N(n, p),可近似认为1个月该DVD实际可用张数是1.6x张,一定置信水平下成立！,问题1:网站购买DVD的数量(x),置信水平,N(np, npq),问题1:网站购买DVD的数量(x),0.95; n=100000; P%=50%,推广到个月的模型,类似考虑：张DVD在三个月内可以用多少次？ 归还规律出借规律的探讨将变得复杂一些，一般需要在更多的假设下，才能得到（如还回网站的DVD是否一定能马上分给某个需要的会员？）,问题1:网站购买DVD的数量(x),其他模型：,数值模拟（仿真）：需交代详细过程 （归还规律？出借规律）,其他理解：例如认为表中给出的只是初始时段(一个月

7、或半个月)的需求，并进一步假设以后时段的需求持续不变或按某种规律变化 （排队论？随机决策？）,需求上限：一定置信水平下得到上限M （x = P% * M / 1.6）,问题二 网站分发DVD的数学模型,在现有一定数量DVD的前提下，如何分配以使会员总的满意度最大。这与“分配问题”或“指派问题（Assignment problem）”有很多相同点。 我们可以通过一些变化来使求解“分配问题”的模型能运用于该问题。 我们把问题二中“100个会员对DVD的需求” 理解为“需要完成的100项任务”，“20种DVD数量”理解为“有20个人可以承担这些任务”，“会员对于不同DVD的偏爱度”理解为“不同人去完

8、成不同工作的效率”，通过类比就能把分配问题的模型运用到问题二中了。,0-1规划（最常见）,分配问题最常用的方法是0-1型整数规划。在具体使用前，还需要将每个会员对不同DVD的偏爱度转化为满意度。因为我们的目标是总体满意度最大。,从表1.2中可以看到：会员的在线订单用数字1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。通过观察我们用一个大于9的固定数值来减偏爱数,把这个差值作为满意度。,1、设矩阵B为偏爱度矩阵，矩阵中的元素bij为表1.2中的偏爱数，表示第i个会员对DVDj的偏爱数。bij越小表示会员的满意程度越高，bij为1时最高，bij为0时表

9、示客户没有下订单。于是就得到了偏爱度矩阵,2、设矩阵A为满意度矩阵，矩阵中的元素aij为满意度，表示第i个会员对第DVDj 的满意度。 可通过如下算法获得：,3、用0-1变量xij表示DVDj是否分配给第i个会员,4、用wj表示DVDj的现有数量,5、用0-1变量yi表示第i个用户是否得到DVD,由以上分析可得问题二的模型：,用LINGO 数学软件实现对此题0-1规划模型的求解,答卷中的问题： 目标定义不合理 约束不完整 软件使用不当 (LINGO求解容易,Why?),问题二 网站分发DVD的数学模型,贪婪算法( 求近似解),Step1: 对于库存的100 种光盘, 首先满足所有对它偏爱顺序为

10、1的会员的需要, 即将每种光盘分配给所有对其偏爱顺序为1 会员, 如果该光盘的数目偏少无法完成此次分配, 则先分配给其中编号较小的那些会员;,Step2: 对于剩余光盘, 再优先满足对它偏爱顺序为2 的会员需要, 同样地, 如果该光盘的数目偏少无法完成此次分配, 则先分配给其中编号较小的那些会员;,Step 3 : 依此类推分配下去, 在Step 3 以后分配时,己经拥有3 张光盘的会员不参加分配,Step 11 : 如果还有剩下的光盘, 随机分配给尚未分满的会员, 分配结束,这种贪婪算法计算量较小, 速度很快。由于上述步骤尽量保证了偏爱程度较高的匹配, 可以保证结果的近似最优,模型二：网络优

11、化模型 最小费用最大流,会员 DVD,aij=aij (aij 0) aij=M (aij =0) (或没有弧),存在多项式时间算法 两个模型等价吗?,上海交大,问题二 网站分发DVD的数学模型,构造加权有向图G V,E : 点集 V=source，C1,C2 ,C1000,D1,D2,D100,terminal， 其中， Ci (1i1000)代表第i个会员，Dj(1j100)代表第j张DVD盘，source为网络流的源点，terminal为网络流的汇点。,在source与所有的 Ci之间添加有向边(source，Ci )， (1i1000) ，该边具有容量3，单位流量费用为0；,在所有Dj

12、与terminal之间添加有向边( Dj，terminal)，(1 j100) ，该边的容量为第j种DVD的现有数量，单位流量费用为0,根据题目中订单，若第i个会员预订了第j种DVD，则添加有向边(Ci ，Dj)，该边的容量为1，单位流量费用为该会员对该种DVD 的偏爱值,考虑到现实中，DVD 的个数为整数，我们规定图1中G所有边的流量为整数。因此，图1中G是一个整数流量的最小费用最大流模型。,建立的图论模型，其最小费用最大流恰好表示了满足上述最大满意度定义的分配方案，而最小费用恰恰代表着最大满意度,王成, 文野, 俞寅涛, DVD租赁问题的模型设计及求解,工程数学学报, 2005, 7(22

13、): 92-100,在一定的假设下，把问题近似分解成前面考虑过的购买和分发两个子问题。例如，有的论文先根据会员订单统计DVD的需求情况，确定DVD购买量，然后用前一问中建立的模型进行第一次分发，再对网站是否知道哪些会员租赁两次作出一定假设，进行第二次分发。 有的论文对前一问中建立的模型进行一定修改，建立购买和分发统一的多目标数学规划模型，且同时考虑两次分发和服务水平约束，不过往往在二次分配和服务水平约束方面考虑有些缺陷。 考虑到一个月内可能一个会员要发货两次，这又是一个多阶段的决策问题，建立随机决策模型并寻找最优决策是可能的（例如采用马氏决策方法），但由于后一阶段决策时需要考虑前一阶段哪些会员归还了哪些DVD，因此这样建立模型的难度较大，评委们在评阅中几乎没有见到非常成功的论文。 采用数值模拟（仿真）建模和求解，或检验其他模型。,问题三 购买和分发同时考虑,问题三有两个目标：最少的购买量和最大的满意度， 建立双目标规划模型,并将其通过加权组合转化为单目标的混合整数规划模型,总的满意度,总的购买量,多目标规划模型,目标函数为,约束条件为,黄梅, 半忠, 门海军, DVD租赁问题的模型设计及求解,工程数学学报, 2005, 7(22): 108-112,网站应充分利