第十二章函数论的新发展---复变与实变

1、第十二章,函数论的新发展复变函数论和实变函数论,序,由微积分拓宽、加深所成的数学分析是数学王国里的一个庞大家族，它包括有微积分、级数论、函数论、微分方程、积分方程、变分法、泛函分析等学科。函数论是这个家族中的主要成员，它的内容包括复变函数论和实变函数论。如果说微积分的直接扩展统治了18世纪的数学，那么复变函数论这最富饶的数学分支则称霸于19世纪的数学界，而作为积分学一场革命的产物实变函数论则轰动于20世纪初叶的数坛。,1、复变函数论,研究定义在复数平面上的函数的性质的数学分支称为复变函数论。 欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯、高斯、泊松都曾为复变函数论的创立作过一系列的准备工作。 促成复变函数论成为一

2、门独立数学分支的是哥西和黎曼 。,哥西（1789.8.21-1857.5.23）,生于巴黎。1805年进入多科工艺学校学习工程，1810年毕业后在瑟堡任工程师。由于自幼表现出的数学才能，且因身体条件不佳，他父亲的朋友拉哥朗日、拉普拉斯等数学名家劝他献身于数学。1816年起他先后担任多科工艺学校、巴黎大学和法兰西学院的教授。 政治上-保皇党员，1830年法国共和体制建立，被迫出走，1838年返回祖国。,哥西的数学成就（1）,哥西的研究涉及数学的各个领域。他写的论文达789篇，仅次于欧拉，他的全集近代版有二十六卷，包含数学的一切分支。 他的最大贡献是发展了复变函数论的原理，取得了一些重要研究成果，

3、如复变函数的几何概念、解析函数的积分表示法（哥西积分）以及残数理论等，都具有重要的意义。,哥西的数学成就（2）,哥西的第一篇重要论文是宣读于1814年、发表于1825年的关于定积分理论的报告，在这篇文章中，哥西证明了重要的“哥西定理”：单连通域内的解析函数沿任一闭路的积分为零；并由此建立了著名的“哥西公式”： 进而得到解析函数具有一切阶导数的结论。这样，哥西根据微分性质定义了解析复变函数。,哥西的数学成就（3）,1831年哥西得出了解析函数的幂级数收敛定理：f(z)在z0点所展成的幂级数的收敛半径,等于z0与f(z)的最近“奇点”的距离,1847年，他得到f(z)=P+Qi可导的条件是“哥西黎

4、曼方程” 成立。自1821年后，差不多25年中，哥西几乎一人发展了复变函数论，在创建复变函数论中立下了不朽的功勋。,黎曼(1826.9.17-1866.7.20),德国数学家。生于汉诺威。农村牧师之子。1846年到哥廷根大学学习神学，不久就转学数学。他是高斯的高才生，1851年的博士论文单复变函数一般理论基础就是在高斯指导下完成的。1856年，他成为哥廷根大学的讲师，1859年接替狄里赫利成为数学教授。他因肺结核去世，年仅40岁。,黎曼的数学成就（1）,黎曼引入三角级数的理论，从而指出了积分论的方向，并奠定了近世解析数论的基础； 他创立了黎曼几何和黎曼微分几何，极大地丰富了非欧几何的内容； 在

5、偏微分方程中他给出了解波动方程的一个重要方法； 他最早引入“黎曼面”这一概念，对拓扑学有重大影响； 他还有不少热、光、声、磁、气体理论及流体力学方面的论文。,黎曼的数学成就（2）,黎曼是复变函数论的主要创建者之一,1851年，在他的博士论文中同样得出哥西1847年的结论，还得到与此等价的结论：P和Q是一对所谓“共轭调和级数”，并以次作为研究解析函数理论的出发点。 他提出了共形映射原理 1857年,黎曼把单值解析函数推广到多值函数，建立了“黎曼面”的概念，并多值函数看作黎曼面上的单值函数。,维尔斯特拉斯,复变函数论的另一个奠基人是维尔斯特拉斯。简历第七章已做过一些介绍。 当过中学教师 1815年

6、生，1864年（50岁）才成为教授，可以说是“大器晚成”，直到1897年逝世。,维尔斯特拉斯的数学成就,维尔斯特拉斯不仅在微积分与复变函数论上，而且在代数、代数几何、变分法、算术基础上都有很多独特的发现。 他舍弃几何直观，以纯分析的观点研究复变函数论，他的解析函数论（1876年）一书，把复变函数论建立在幂级数的基础上。他把多项式与有理函数的理论推广到超越函数，用幂级数定义了超越整函数，并得到了整函数分解为无穷乘积和半纯函数可表为两个整函数之商等重要结果。 他还引进了解析开拓的概念，并用它定义了完全解析函数。,阿贝尔和雅可比的数学成就,在复变函数论上做出重要贡献的还有阿贝尔和雅可比，他们利用复变

7、函数论的基本理论发展了一种特殊函数椭圆函数。,阿贝尔(1802.8.51829.4.6),生于挪威的一个小镇芬多。父亲是村里的基督教牧师，家境贫困。15岁时，他幸运地遇到一位优秀的教师洪堡，获其教导和资助。1821年入大学。 克列尔杂志前3卷登载阿贝尔22篇论文，为此而享有永恒的声誉。 他死后两天，克列尔通知他已被柏林大学任命为数学教授。“耽搁了的信”,挪威奥斯陆国家公园中的阿贝尔塑像,阿贝尔是椭圆函数论的 创始人之一。他的工作生 前未受到重视。大学毕业 后长期找不到工作。直至 病逝后两天，才有柏林大 学聘任函寄到。,雅可比（1804.12.10-1851.2.18）,生于德国波茨坦一个富裕的

8、犹太人家庭,从小过着安静的生活,曾受教于柏林大学,1825年在那里获得博士学位。1827年就成为数学教授。 在世时声誉就很高,他的学生把他的思想传播到各个地方,1851年去世。,雅可比的数学成就,他的最著名的数学研究是他和阿贝尔同时独立地建立了椭圆函数理论； 雅可比是继哥西之后，在行列式理论方面最多产的作家，“determinant”(行列式 )这个词是由他认可的。他最早使用函数行列式 ，因而，西尔维斯特后来称之为雅可比式；这就是学函数论的学生们都遇到的。 他还在数论、常微分方程和偏微分方程的理论，变分法，三体问题和其他动力学问题等方面有贡献。,雅可比的研究观,一个杰出的数学工作者同时又是一个

9、杰出的数学教师是十分难得的。但雅可比就是一个例外，无疑，他是那个时代最伟大的数学教师，激励并影响众多有才干的学生。 大多数学生认为：在进行研究之前，他们首先应该熟悉已有的成就。为了消除这种想法，并鼓励他们早些做独立研究工作，雅可比作了这么个比喻：“如果你主张，在和一个女子结婚之前先要认识世界上所有未婚女子的话，你父亲就一辈子不会结婚，你也就生不出来。” 在为纯研究辩护并抵制应用研究上，他谈道：“科学的真实目的是发扬人类精神的光荣。”,复变函数论的发展,20世纪以来，复变函数论又有很大发展，其中作出重要贡献的有：哈尔托格斯（Har-toges，德国，多元复变函数理论），埃.嘉当(多元复变函数理论

10、),韦尔（黎曼面及复流形研究），此外，还有格罗许（Grosch,德国）等人提出的共形映射理论。 150年来，它以其完美的理论和精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。曾推动过一些学科的发展。并常常被作为一个有力的工具被应用到实际问题中去。 当今，复变函数论的基本内容已成为理工科很多专业的必修课程的内容。发展前景美好！,2、实变函数论,以实数作为自变量的函数，称为实变函数。实变函数是在点集论的基础上研究分析数学中一些最基本的概念与性质。其内容包括实变函数的连续性质、微分性质、积分理论及测度论。 微积分从它诞生起，就专门处理光滑曲线和可导函数。我们通常接触的初等函数，在其定义域内可导，且无限次可导。

11、复变函数所考虑的函数不仅无限次可导，而且能展开成由各阶导数组成的泰勒级数。,问题“病态函数”的出现,1829年狄里赫利给出了在无理点上取0、在有理点取1的“狄里赫利函数”； 1872年维尔斯特拉斯给出了一个处处连续但处处不可导的函数； 1875年达布证明了不连续函数也可以求定积分，而且不连续点可以有无限多个，只要它们包含在长度可以任意小的的有限个区间之内就行； 还有连续但不分段单调的函数，函数的有限导数并不黎曼可积，可积函数列的极限是不可积函数，充满一个正方形的连续曲线等等。,实变函数论的产生,“病态函数”出现使人们深感不安。 “这是一种变态的不健康的函数”；“它是无秩序和混乱的标志”；“一种

12、学究式的数学游戏”。庞加莱甚至说：“逻辑有时候产生怪物，半个世纪以来我们已经看到一大堆离奇古怪的函数，它们被弄得愈来愈不象那些能解决问题的真正的函数。” 但是，数学并没有停止发展，这些“病态函数”既然出现，就迫使数学家去作认真的思考，于是以勒贝格积分论为核心的实变函数论就由此而产生了。,勒贝格之前的工作,斯蒂吉斯（1856-1894，荷兰）1894年发表了连分数的概念，提出了“斯蒂吉斯”积分，这是对积分概念的第一次扩充； 皮亚诺1887年发表无穷小计算的几何应用一文，引进了比较完满的容量、内容量、外容量概念； 约当在1893年进一步改善了皮亚诺的结果; 波雷尔在1898年的函数论讲义中，提出了

13、测度论，这是对皮亚诺、约当容量理论的改进，但这不是最终形式，而且还没有应用到积分中去。,积分论的革命,积分论的一场革命的火炬是由法国青年数学家勒贝格点燃的，这场革命的丰硕成果是产生了实变函数论。 使勒贝格成名的两本专著是1903年的论三角级数和1904年的关于积分法和原函数研究的讲义。,勒贝格（Henry Lebesgue,1875.6.28-1941.7.26）,生于法国的博韦，1894-1897年就读于巴黎高等师范学校，深受他的老师波雷尔的思想的影响。1902年，勒贝格发表积分.长度与面积一文，改进了波雷尔的测度理论，建立了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念，第一次系统地阐述他关于测度与

14、面积之间的思想。同年他获巴黎大学理学院博士学位。但由于人们对“病态函数”的“厌恶”，1910年前他始终没有在巴黎获得职务。1910年才进入巴黎大学理学院。1921年在法兰西学院任教授，1922年进入巴黎科学院，这时他已经47岁。,勒贝格积分（1）,勒贝格的积分革命首先从长度概念入手； “测度”概念是长度概念的推广； 勒贝格定理：1、区间a,b 内的单调函数,在此区间内几乎处处有导数。定义在 a,b上有长度的连续曲线，几乎处处有一定的切线。 勒贝格引入了“可测函数”的概念，即定义在一个可测集E上的函数f(x)，若对于任意实数a，使得函数值f(x) a的集合也可测时,便称f(x)为可测函数。,勒贝

15、格积分（2）,与黎曼积分不同的是，勒贝格将包含函数值的区间分段（而不是将积分区间分段），考察使f(x)的值介于yi与yi+1之间的点集Ei，以yi乘Ei的测度作积分和，则当 时，定义此积分和的极限为函数f(x)的勒贝格积分。 容易证明，任何有界的可测函数，都是勒贝格可积的，而在同样条件下，黎曼积分却可能不存在。,微积分学的延续学科实变函数论,勒贝格积分不仅具有普通积分一样的性质，而且可以在不强的限制下，在积分号内取极限，这就使它在三角级数论、函数空间论等许多数学分支中得到广泛的应用。紧接着导数的概念也得到了推广，微积分中的牛顿莱布尼茨公式也得到了相应的新结论。一门微积分学的延续学科实变函数论就

16、在勒贝格手中诞生了。,实变函数论的发展,勒贝格可测函数类加上贝尔（1874-1932）的函数类大大扩张了实变函数研究的范围。 勒贝格在积分与原函数的研究中证明了有界函数黎曼可积的充要条件是不连续点构成一个零测度集。这完全解决了黎曼可集性的问题 积分的概念后来海令哲(1907)、拉同（1913）、当日瓦（1912）、彼龙（1914）、辛钦（1916）等又作了种种推广和探索。 实变函数另一个领域是函数构造论。1885年维尔斯特拉斯证明连续函数必可表示为一致收敛的多项式级数。这一卓越的结果和切比雪夫的最佳逼近理论是函数构造论的开端。近年来的研究十分活跃。,莫斯科学派,实变函数论后来在苏联莫斯科学派中

17、得到迅速发展，使实变函数论成为数学的一个系统分支。叶果洛夫、鲁金等人作出了出色的工作。 叶果洛夫（ ，1869-1931）是莫斯科学派的创始人之一，他1911年证明了关于可测函数的收敛定理，是俄国实变函数论的开端。他的学生鲁金（ ，1883-1950）是莫斯科学派中最有影响的人物。,鲁金简介（）,1905年冬1906年春，曾去巴黎访问，在巴黎大学和法兰西学院听过E.波雷尔、H.庞加莱、J.阿达玛、G.达布等著名数学家的讲课。 1906年鲁金在莫斯科大学毕业，留校培养。 1910年他通过硕士考试后，就被派往哥廷根和巴黎进修，在游学期间（1911-1913）,他参加了阿达玛的讨论班,深受勒贝格的影响,有近10篇论文分别发表在莫斯科的数学文集和巴黎科学院的报告上 ，发表后立即引起了科学界的注意。 1914年春，鲁金回到莫斯科大学任副教授，讲授基础课和实变函数论选修课，并开始指导科研讨论班。,鲁金简介（）,1915年，鲁金发表可测函数的结构定理，现称为鲁金定理，被列入任何一本实变函数论教科书。 同年，他完成了一篇题为积分与三角级数的论文，应考纯粹数学的硕士学位，该论文成为后来莫斯科数学家继续发展