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文档简介

1、第五章相似矩阵与二次型,5.1向量组的正交规范化,一.向量的内积,二.正交向量组,三.向量组规范正交化方法,四.正交矩阵与正交变换,1.定义1：,一、向量的内积,说明,2 向量的内积是几何中向量数量积的推广，但是n(n3)维向量内积没有直观的几何意义,向量的数量积：,利用这些性质可证明施瓦茨（Schwarz）不等式：,2内积有以下性质：,3.定义2,向量长度具有下述性质 ：,证,由施瓦茨不等式, 有,4.于是有定义：,由施瓦茨不等式, 有,解,1. 向量正交的定义:,2.正交向量组的概念,两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组,3.定理1：正交向量组必定线性无关,二.正交向量组,证,即,

2、(由上可知 构成三维空间的一个基.),则有,解,例1,4.定义3,例,称为 正交基,即,这就是向量在规范正交基下的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量的坐标, 因此,我们在给向量空间取基时常常取规范正交基 .,三.向量组规范正交化方法：,是本节主要内容,（1）正交化，取,（2）单位化，取,施密特正交化过程,解 先正交化，,取,再单位化，,得规范正交向量组如下,施密特正交化几何解释,例3,解,它的基础解系为,把基础解系正交化 , 即为所求 , 亦即取,四、正交矩阵与正交变换,1.定义4,那么称A为正交矩阵 , 简称正交阵 .,注： A为正交阵 ,用列向量表示即,说明 : 方阵 A 为正交阵的充要条件是 A 的列向量都是单位向量 , 且两两正交 . 即有下面定理,2.定理,A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都 是单位向量且两两正交,所以上述结论对 A 的行向量亦成立 .,例4,验证矩阵,是正交矩阵 .,证,P 的每个列向量 都是单位向量 ,且两两正交 ,所以 P 是正交阵,3.正交矩阵有以下的性质 :,例5 已知正交单位向量组,(从而三角

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