数学概念及其逻辑结构PPT课件

1、.1，高中数学的逻辑基础，数学概念，数学命题，数学推理，数学证明，2，“初等数学，即常数数学，是指形式逻辑范围内的活动，至少在一般情况下是这样的。”(恩格斯)高中数学的逻辑基础主要指形式逻辑，部分涉及辩证逻辑。形式逻辑是一门关于思维形式及其规律的科学。概念、判断和推理是思维的三种基本形式。辩证逻辑是关于思维辩证发展规律和唯物辩证法在思维领域应用的科学。目的：了解概念的内涵和外延以及概念之间的关系。掌握概念定义和概念划分的方法。主题1数学概念及其逻辑结构，4，1。概念和数学概念的意义和发展路径(1)意义概念是反映事物本质属性的一种思维形式。所谓的“本质属性”是指可以用来区分这种事物和其他事物的特

2、征属性。它构成了某一事物的基本特征，只有被这样的事物所拥有，并且是区分一个事物和另一个事物的基本基础。数学概念是以空间形式、数量关系及其模式反映思维对象本质属性的思维形式。(2)生成和发展路径的概念是通过与泛化密切相关的泛化和抽象形成的。产生和发展数学概念有多种方法：1)它们可以直接从真实模型中反映出来，如点、线、平面、物体、自然数等。数学。2)它是在原有数学概念的基础上，通过多层次的抽象和概括形成的，如现代数学中的群、环、域和空间。例如，为了将正整数幂的运算规则扩展到有理数幂、无理数幂和实数幂，产生了零指数、负整数指数、分数指数和无理数指数等概念。为了使所有的代数方程都有解，产生了虚数和复数

3、的概念。4)根据理论存在的可能性提出，如自然数集、无穷远点、无穷小、等。5)由某个数学对象结构生成，如顶点、对角线、内角、外角等。多边形。注：1。数学概念区别于其他领域概念的一个重要特征是理想化和多层次抽象；2.人类意识中概念的形成离不开用来表达它们的语言、文字和符号。表达数学概念的词被称为数学概念的名称或术语。、6、概念是思维的最基本形式。任何学科都是由一系列概念及其体系组成的。如果一个人把自己的思维比作一个有机体，那么概念就是这个有机体的细胞。每个概念都是以下两者的统一：1)一组对象或关系的概念的扩展。2)特征属性的概念的内涵固有于该集合，并且仅由该集合所拥有。概念的逻辑思维要求概念必须清

4、晰，即概念的内涵和外延是什么。从质和量两个方面阐明概念所反映的对象。概念的内涵和外延(1)概念的内涵和外延概念的内涵是概念所反映的事物本质属性的总和，概念的外延是概念所反映的事物的总和(或范围)。反过来，概念的外延完全决定了概念的内涵。因此，概念内涵的变化必然导致概念外延的变化。具体来说，这两个方面是相互联系、相互制约的。当概念的内涵扩大时，概念的外延就缩小了。当概念的内涵缩小时，概念的外延就扩大了。反之亦然。内涵与外延之间的关系称为逆关系。例如，平行四边形的概念是通过在四边形的内涵中增加“两组对边分别平行”的性质而得到的，平行四边形的外延小于四边形。三角形的概念可以通过减少等腰三角形内涵中的

5、“等边”性质来得到，三角形的外延大于等腰三角形。请注意，只有当一个概念的外延是另一个概念外延的子集时，在内涵改变的过程中，概念的内涵和外延之间才会有相反的关系。内涵和外延的发展变化不是一成不变的。随着事物的发展变化和人类实践的深化，这一概念的内涵和外延也将不断发展变化。例如，角度、三角函数、数字等概念。在数学教学中，理解概念的内涵和外延必须纳入教材和一定的数学学科体系。例如，角度(平面几何/平面三角形)，11，3，概念之间的关系我们只研究可比概念之间的关系。所谓可比概念是指在外延上具有某种可比关系的概念。例如，“正数”和“整数”是可比较的概念，“正数”和“多边形”是不可比较的概念。在可比较的概

6、念之间，有相容和不相容的关系。12.(1)相容性关系两个有共同部分的概念之间的关系称为相容性关系，这两个概念称为相容性概念。在相容关系中，它分为相同关系、交叉关系和从属关系。1.同一个恒等式的两个概念A和B的指称完全一致，这两个概念之间的关系称为同一个关系。例如，“直线”和“一次函数的象”这两个概念，虽然它们从不同的角度说明了问题，但它们的指称是完全一致的，指的是同一个类对象。另一个例子是“等腰三角形底边的中线”和“等腰三角形底边的高度”。“等边矩形”和“直角菱形”；同一个圆的“直径”和“最大弦”的关系是一样的。在同一思维过程中，两个具有相同关系的概念可以相互替代。14、2。两个概念A和B之间

7、的关系，其交集的外延只是部分重合，称为交叉关系。这两个概念被称为交叉概念。例如，“等腰三角形”和“直角三角形”、“负数”和“整数”、“菱形”和“矩形”等概念之间的关系都是交叉关系。这两个具有交叉关系的概念可以互相解释，但必须用“一些”这个词来限制它，否则就错了。例如，我们可以说“一些整数是负数”或“一些负数是整数”。然而，我们不能说“整数是负数”或“负数是整数”。如果概念的延伸包含概念的延伸，这两个概念之间的关系称为依赖。其中，概念甲被称为概念乙的从属概念(或上位概念)，概念乙被称为概念甲的那种概念(或下位概念)。例如，“复数”、“实数”、“有理数”和“整数”之间的关系就是依存关系。“复数”、

8、“实数”和“有理数”都是“整数”的属性概念。在“整数”的三个属性概念中，其内涵与整数概念差别最小的是“有理数”。我们称“有理数”为“整数”最接近的属性概念。注1:属和种的概念是相对的。例如，“整数”、“有理数”是一个属性概念，而“实数”是一个概念。注2:有必要区分从属关系和整体与部分之间的关系。有些概念既有从属关系，又有整体与局部的关系。有些不是。例如，“对数”与其“首数”和“尾数”之间的关系是整体与部分之间的关系，而不是从属关系。相互排斥的两个概念(没有共同的部分)之间的关系称为不相容关系，这两个概念称为不相容概念。不相容的关系分为对立和矛盾。1.矛盾关系(矛盾关系)如果一个概念的两个概念的

9、外延是相互排斥的，并且两个概念的外延之和小于它们最近的从属概念的外延，那么这两个概念之间的关系称为对立关系，这两个概念称为对立概念。例如，“正数”和“负数”是两个相反的概念，因为它们的外延是互斥的，并且它们的外延之和小于它们最近的区域概念“实数”的外延。另一个例子是，诸如“大于”和“小于”、“锐角三角形”和“钝角三角形”、“质数”和“复合数”、“等腰梯形”和“直角梯形”等概念之间的关系是对立的。19，2。矛盾关系如果某一概念的两个概念的外延是相互排斥的，并且两个概念的外延之和等于它们最近的领土概念的外延，那么这两个概念之间的关系就叫做矛盾关系。这两个概念被称为矛盾概念。例如，“负数”和“非负数

10、”、“实数”和“虚数”、“有理数”和“无理数”、“直角三角形”和“非直角三角形”、“相等”和“不相等”等概念之间的关系就是矛盾关系。掌握概念之间的关系有助于加深对概念的理解，正确使用概念，避免概念或判断中的逻辑错误。例如，“因为数字a不是正的，所以数字a必须是负的，”这个断言是错误的。因为“正数”和“负数”是对立的概念，不是矛盾的概念。除了正数和负数，实数的扩展中也有零。又如，“a不大于b，即a b”是错误的。因为“不多于”和“少于”不是矛盾的关系。概念的定义(1)什么是定义是揭示概念内涵的逻辑方法，即列出一个概念的充分和必要的属性，并将其归纳成一个连贯的句子(用符号表达的句子或句子)。定义中

11、的每个属性对于某个概念都是必需的，所有属性加在一起就足够了。定义应该揭示概念的基本内涵。它不应该有多余的词语或遗漏。例如，“正方形是”，“直角四角平行四边形”/“直角一角菱形”/“等边四角平行四边形”是在定义一个概念的过程中获得的一系列概念。从第二个概念开始，每一个概念都是前一个概念的一个概念，因此跟随着最初的概念：没有概念被定义。(2)成分和形式1的定义。概念的定义概念的定义概念的定义是其内涵被揭示的概念，而概念的定义是用来揭示被定义概念的内涵的概念，联系词一般用“是”和“被叫”来表示被定义的概念和被定义的概念之间的内在联系，其功能是联系或组织被定义的概念和被定义的概念。例如，“相邻边相等的

12、矩形是正方形”就是正方形的定义。在这个定义中，“正方形”是一个定义好的概念，“相邻边相等的矩形”是一个定义好的概念，“是”是一个联系词。除了上面提到的“动力定位叫动力定位”，其他如：“动力定位是动力定位”、“动力定位等于动力定位”、“动力定位是当且仅当动力定位时”、“动力定位叫动力定位”、“动力定位叫动力定位”等。例如，平行四边形是两个相对的边彼此平行的四边形。(2)定义数学概念的方法1。“属种差异”公式定义了数学概念下常用的“属(类)种差异”方法，即实质性定义。公式是：属(类)种差异=定义的术语，例如“平行四边形”与“相等的相邻边”被称为“菱形”；按一定顺序排列的“一列数字”称为“数字序列”

13、；“无限非循环”的“小数”叫做“无理数”；由此，我们可以看出，要定义同属加种的区别，我们需要做好两件事：一是找到定义概念的最近属；第二是确定物种差异，即找出定义的概念与同一属中其他物种之间的差异。出现类型定义为“一个点的轨迹，该点与平面上的一个固定点的距离等于一个固定长度，称为圆”。我们画两个互相垂直的轴，并在一个平面上与原点重合，形成一个平面直角坐标系。生成定义通过描述被定义概念所反映的对象的生成或形成过程的特征，揭示了被定义概念的本质属性的定义方法。事物之间的关系被视为种子差异。关系定义的“可被2整除的数称为偶数”；穿过三角形每个顶点的圆称为三角形的外接圆。把事物的本质结构看成是物种的差异

14、。形式上定义“一个形状像y=ax2bxc的函数”(其中a，b，c是常数，a不等于0)被称为二次函数。“，26，5。广泛定义“有理数和无理数统称为实数”圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。6.约定定义“对于非零实数A和正整数N，a0=1，a-n=1an，a0，a-n分别称为零幂和负整数指数幂”。7.递归定义“对于所有自然数n，an=an-1 d(d是常数)成立。这个序列叫做算术级数”。8.公理定义9。通过抽象(或描述性定义)，27、对于科学体系中定义的每一个概念，一些已知的概念被用来定义新的概念，从而形成一系列的概念。然而，概念的数量是有限的，因此在这个序列中总有一些概念不能通过引用其他概念

15、来定义。这些概念在这个科学体系中被称为原始概念。例如，在数学中，数字、数量、点、线、平面、集合、对应，在科学中，最初的概念没有被定义，它们的本质属性是由公理定义的。然而，在这门学科中，为了让学习者理解并留下清晰的印象，最初的概念常常用视觉描述的方法来解释。例如，通过使用拉紧的线和从小孔入射的光线来创建直线图像。将由特定事物组成的整体称为集合不是一个定义，而是一个直观的描述，以帮助学习者理解。这种描述对逻辑推理没有影响。定义1的基本要求。定义应该是相称的。所谓的相称性定义意味着定义的概念的延伸和定义的概念的延伸必须相等。例如：“包含未知数的方程称为方程”；()“带根号的数字是无理数。”定义过宽意

16、味着一个已定义概念的外延大于一个已定义概念的外延。例如， 有一组平行四边形，其对边称为梯形；“两条不相交的直线叫做平行线”。如果定义太窄，则定义的概念的外延小于定义的概念的外延。例如，的平方根“被称为无理数”；“正数的平方根叫做算术根”。“，29，2。该定义不能是循环的。也就是说，定义的概念不能直接或间接地包含定义的概念。循环的定义通常有以下两种情况：恶性循环。在一个科学体系中，如果用概念A作为一个已知的概念来定义概念B，而用概念B来定义概念A，这种逻辑错误就叫做定义一个恶性循环。例如，“功率操作的结果被称为功率，而寻找功率的操作被称为功率”。单词被重复。简单地重复已定义的概念来定义已定义的概念，即定义你自己。例如，“互质数是彼此互为质数的数”两条直线形成的角度称为两条直线之间的夹角”。30、3。定义必须简明扼要例如：“一个角为直角，另两个角为锐角的三角形称为直角三角形”；“对边平行且相等的平面四边形是平行四边形”；“两组等边平行四边形是平行四边形”；“无穷小是一个非常小的数”；像满月这样的图形叫做圆.(4)一般来说，该定义不使用否定形式定义