中学数学史杭州演讲

1、数学史与中学数学教学,余志成江西科技师大数学与计算机科学学院2013-3-4,数学史与中学数学教学,一座宝藏一条进路一缕书香一种视角一个领域,数学史与中学数学教学,全日制义务教育数学课程标准：在教学活动中，教师要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材。,案例1相似三角形的应用,案例1相似三角形的应用,案例1相似三角形的应用,案例1相似三角形的应用,案例1相似三角形的应用,案例1相似三角形的应用,隧道全长1036米，宽1.8米，高1.8米。设计者：欧帕里诺斯,案例1相似三角形的应用,萨莫斯岛上的穿山隧道(前530年),案例1相似三角形的应用,泰勒斯是如何测量金

2、字塔高度的？,Thales(about624BC-about547BC),案例1相似三角形的应用,泰勒斯是如何测量轮船离海岸距离的？,案例1相似三角形的应用,周髀算经卷上：取竹空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径一寸。故以勾为首，以髀为股。从髀之日下六万里而髀无影，从此以上至日则八万里。若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。从髀所旁至日所十万里。以率率之，八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。故曰日晷径千二百五十里。,案例1相似三角形的应用,刘徽九章算术序：以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为勾

3、率，日去人之数为大股，大股之勾即日径也。,案例1相似三角形的应用,周髀算经测日径法,案例1相似三角形的应用,九章算术勾股章：今有句五步、股十二步，问：句中容方几何？,案例1相似三角形的应用,九章算术勾股章（17）：今有邑方二百步，各开中门。出东门一十五步有木。问：出南门几何步而见木？,案例1相似三角形的应用,九章算术勾股章（18）：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门。出东门一十五里有木。问：出南门几何步而见木？,案例1相似三角形的应用,九章算术勾股章（19）：今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？,案例1相似三角形的应用,九章算术勾股章（22）：今

4、有木去人不知远近。立四表，相去各一丈。另左两表与所望参相直。从后右表望之，入前右表三寸。问：木去人几何？,案例1相似三角形的应用,九章算术勾股章（23）：今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺，问：山高几何？,案例1相似三角形的应用,九章算术勾股章（24）：今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问：井深几何？,案例1相似三角形的应用,巴比伦泥版文献（巴格达博物馆藏）：已知直角三角形ABC中，AB=75，BC=60，CA=45。S(ACD)=8,6；S(CDE)=5,11;2,24；S(DEF)=3,19;3,

5、56,9,36；S(EFB)=5,53;53,39,50,24。求AD、CD、BD、CE、DE、EF、DF、BE、BF。答案：AD=27；CD=36；BD=48；CE=21;36。,案例1相似三角形的应用,案例1相似三角形的应用,16世纪的测量方法,案例2全等三角形的应用,古代的水准仪在古代埃及和巴比伦，一些测量工具和基本的几何图形，往往被看作神圣的符号而被用作护身符。下图是埃及古墓中出土的测量工具形状的护身符，其中第二种显然是测水准的工具。,案例2全等三角形的应用,古代的水准仪由一个等腰三角形以及悬挂在顶点处的铅垂线组成。测量时，调整底边的位置，如果铅垂线经过底边中点，就表明底边垂直于铅垂线

6、，即底边是水平的。这就是“边边边”定理的应用。,案例2全等三角形的应用,我们有理由相信，埃及人在建造金字塔时必用到这种测量工具。,案例2全等三角形的应用,在古罗马土地丈量员的墓碑上，我们也看到了这种水平仪。中世纪和文艺复兴时代，这种工具仍被广泛使用。,案例2全等三角形的应用,17世纪意大利数学家Pomodoro的实用几何一书中给出的利用水准仪测量山坡高度的方法,案例2全等三角形的应用,角边角希腊几何学的鼻祖泰勒斯（Thales,前6世纪）发现了角边角定理。普罗克拉斯（Proclus,5世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其几何史中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，

7、其方法中必须用到该定理。”,案例2全等三角形的应用,坦纳里（P.Tannery,18431904）认为，泰勒斯应该是用右图所示的方法来求船到海岸的距离的：设A为海岸上的观察点，作线段AC垂直于AB，取AC的中点D，过C作AC的垂线，在垂线上取点E，使得B、D和E三点共线。利用角边角定理，CE的长度即为所求的距离。这种方法为后来的罗马土地丈量员所普遍采用。,案例2全等三角形的应用,希思（T.L.Heath,1861-1940）提出了另一种猜测：如图，泰勒斯在海边的塔或高丘上利用一种简单的工具进行测量。直竿EF垂直于地面，在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕A转动，但可以固定在任一位置上。将该细竿

8、调准到指向船的位置，然后转动EF（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一点C。则根据角边角定理，DC=DB。,案例2全等三角形的应用,上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。右图是16世纪意大利数学家贝里（S.Belli,?1575）出版于1565年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。,有一个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。,案例3三角比,日晷（古埃及、巴比伦、古希腊Anaximander）,案例3三角比,Aristarchus（310B

9、.C.-230B.C.）,案例4从巴比伦祭司到达芬奇,古代两河流域的陶碗（图1）以及中国仰韶文化陶盆（图2）上的花瓣纹则表明，新石器时代的人们已经知道用圆弧来构造若干对称图形了。,案例4从巴比伦祭司到达芬奇,大英博物馆所藏古巴比伦时期（公元前1800年-公元前1600年）的数学泥版BM15285（残缺不全）上，我们看到很多圆弧或圆弧与线段所围图形的面积问题，这些问题很可能是当时祭司编制的学校数学练习题。,案例4从巴比伦祭司到达芬奇,案例4从巴比伦祭司到达芬奇,案例4从巴比伦祭司到达芬奇,公元前5世纪，希波克拉底在研究化圆为方问题时，求得了某些特殊弓月形的面积。在图17中，希波克拉底发现，等腰直

10、角三角形斜边上的半圆与以直角顶点为圆心、直角边为半径的四分之一圆弧所围成的弓月形面积与等腰直角三角形的面积相等。在图18中，希波克拉底发现，大圆内接正六边形相邻三边上的小半圆与大圆所围成的三个弓月形连同其中一个小半圆的面积与等腰梯形面积相等。,案例4从巴比伦祭司到达芬奇,“盐窖”形,“鞋匠刀”形,阿基米德发现，鞋匠刀形的面积恰好等于以图中大圆的半弦为直径的圆面积。盐窖形的面积恰好等于以大半圆直径中垂线介于大半圆和中间小半圆之间的线段为直径的圆面积。,案例4从巴比伦祭司到达芬奇,达芬奇笔记本中的数学问题,案例4从巴比伦祭司到达芬奇,达芬奇笔记本中的数学问题,案例4从巴比伦祭司到达芬奇,拿破仑远征

11、埃及途中提出的数学问题用圆将一个圆四等分,案例4从巴比伦祭司到达芬奇,Reuleaux三角形,“海豚形”,案例4从巴比伦祭司到达芬奇,“蘑菇”形,“海豚形”,Reuleaux三角形,案例5一元二次方程求根公式,巴比论：泥版数学文献泥版数学文献中含有三种类型的一元二次方程：x2+bx=c；x2=bx+c；x2+c=bx巴比伦人已经分别知道求根公式,案例5一元二次方程求根公式,巴比伦泥版问题1：“【正方形】面积与边长之和为3/4，【求边长。】”解法：“置投影（projection）1，半之，得1/2。1/2和1/2相乘，得1/4。将1/4与3/4相加，得1，从中减去1/2，即得边长为1/2。”,案

12、例5一元二次方程求根公式,Hyrup之解释：,案例5一元二次方程求根公式,巴比伦泥版问题：一个正方形面积减去它的边长，差为870。求边长。相当于求解。解法：“取1的一半，得1/2，以1/2乘1/2，得1/4；将1/4加到870，得8701/4。这是291/2的平方。把1/2加到291/2，结果得30，即为正方形的边长。”,案例5一元二次方程求根公式,几何原本在长度为b的线段AB的延长线上求一点D，使AD（b+x）与BD（x）构成的矩形面积为c。,欧几里得的作图法,b/2,b/2,b/2,x,x,案例5一元二次方程求根公式,释律佗罗(Sridhara,10世纪)方程ax2+bx=c的解法：方程两

13、边乘以4倍的二次项系数，再加上一次项系数的平方。(然后开方。),案例5一元二次方程求根公式,Al-Kitbal-mukhtaJarfHisbal-jabrwa-l-muqbala,Al-Khwarizmi(780?-850?),案例5一元二次方程求根公式,花拉子米代数学,案例5一元二次方程求根公式,韦达x2+ax=b(令x=u+z)u2+(2z+a)u+(z2+az+b)=0(令2z+a=0)u2-1/4(a2-4b)=0,F.Vite（1540-1603）,案例6等比数列求和公式,泥版MS1844（约公元前2050年）上记载如下问题的解法：七兄弟分财产，最小的得2，后一个比前一个多得1/6，

14、问所分财产共有多少？七兄弟所得构成一个首项为2、公比为7/6、项数为6的等比数列。,案例6等比数列求和公式,泥版M7857（古巴比伦时期）上，人们发现了一个等比数列问题。正面是一个首项为99、公比为9的等比数列：99，891，8019，72171，649539。反面是：649539大麦72171麦穗8019蚂蚁891鸟99人,案例6等比数列求和公式,莱因得纸草书（约公元前1650年）,莱因得纸草上的等比数列问题,案例6等比数列求和公式,埃及乘法127,案例6等比数列求和公式,几何原本第9卷命题35,案例6等比数列求和公式,References1T.L.Heath(1921).AHistoryo

15、fGreekMathematics.London:OxfordUniversityPress.2C.S.Roero(1994).EgyptianMathematics.InI.Grattan-Guinessed.,EncyclopaediaoftheHistoryandPhilosophyofMathematicalSciences.London:Rourledge.30-453汪晓勤,韩祥临(2002).中学数学中的数学史,北京:科学出版社4汪晓勤等(2003).HPM视角下的等比数列教学，中学教研（数学）,(7)5汪晓勤(2006).几何视角下的等比数列求和公式.中学数学教学参考,(2),

16、案例7椭圆的方程,N.Guisne代数在几何上的应用(1705年),案例7椭圆的方程,圆锥曲线解析(1707),M.deLHospital1661-1704,案例7椭圆的方程,斯蒂尔圆锥曲线论(1745),案例7椭圆的方程,赖特（J.M.F.Wright）圆锥曲线之代数体系（1836）,，,案例7椭圆的方程,罗宾逊（H.N.Robinson,1806-1867）圆锥曲线与解析几何（1862）,案例7椭圆的方程,查尔斯戴维斯（C.Davies,1798-1876）解析几何基础（1867）,，,案例7椭圆的方程,查理斯密（C.Smith,1844-1916）圆锥曲线初论（1890）,，,案例7椭圆

17、的方程,References1Guisne,N.ApplicationdelAlgebrelaGeometrie.J.BoudotetJ.Quillau,1705.71-722LHospital,M.de.TraitAnalytiquedesSectionsConiques.Paris:Montalant,1720.22-253Robinson,H.N.ConicSectionsB、否;C、不知道解释你的答案。,案例5实无穷概念,两个集合A和B都满足：(1)A和B都是无穷集合；(2)B是A的真子集；(3)A和B的元素之间存在一一对应关系。,案例5实无穷概念,案例5实无穷概念,研究发现：学生比较

18、无穷集合所用的策略类型1集合A与集合B中的元素个数均为无穷，所以元素一样多。类型2集合A与集合B的元素都是无穷多，无法比较。类型3集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。类型4集合A与B之间存在一一对应关系，两个集合中的元素一样多。,案例5实无穷概念,历史相似性古希腊G.Galilei(1638)：Dialoguesconcerningtwonewsciences：两条不相等的线段AB和CD上的点可以构成一一对应；正整数集和正整数平方所构成的集合之间可以建立一一对应关系。伽利略没能解决部分与整体“相等”的矛盾。他认为无穷大量都是一样的，不能比较大小，即不能将“大于”、“小于”

19、和“等于”这样的词用于无穷大量。,案例5实无穷概念,19世纪，高斯（C.F.Gauss,1777-1855）、柯西（A.L.Cauchy,1789-1857）、魏尔斯特拉斯（K.Wierestrass,1815-1897）等都无法接受无穷集合，因为它们和伽利略一样，无法解决“部分等于整体”这个矛盾。波尔察诺（B.Bolzano,1781-1848）ParadoxesoftheInfinite：包含关系准则“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素。”,案例6中学生对古典概率的理解,研究问题：中学生在解决概率论早期历史上的古典概率问题时是否重复了历史上数学家的解决

20、方法？研究方法：测试、访谈被试：浙江省某一级重点中学、普通中学和综合高中高一（16-17岁）、高二（17-18岁）两个年级共16个班级652名学生。,案例6中学生对古典概率的理解,研究工具1.在古代机会游戏中，一方掷两个骰子，让另一方猜点数和。显然，有些点数出现的可能性要小一些。比如，要掷得12点，只有一种方式，即两个骰子必须同为6点，亦即。但要掷出8点，就不止一种方式了，因为，等等。其他点数相类似。,案例6中学生对古典概率的理解,(1)A认为，最佳选择是7点，因为它是可能性最大的点数；(2)B认为，最佳选择是6点或8点，因为它们都是可能性最大的点数；(3)C认为，最佳选择是6点、7点或8点，

21、因为它们都是可能性最大的点数；(4)D认为，最佳选择是3、4、5、6、7、8、9、10或11点（除了2点和12点以外的所有点数），因为它们都是可能性最大的点数。你认为A、B、C、D四人中谁的看法是正确的？为什么？,案例6中学生对古典概率的理解,案例6中学生对古典概率的理解,16世纪贵族们以及数学家卡丹、帕西沃里等人都出了错，把有序当作了无序，直到伽俐略解决了它。而本测试结果看，总共有204人选C，占了31.3%。而选C的被试中有57.8%的学生所给出的理由重复了历史上贵族与数学家们长达3个世纪的错误，,案例6中学生对古典概率的理解,2.赌技相当的甲、乙两人各出资赌金96金币，规定必须要赢三场者才能赢得全部赌金共192金币，但比赛中途因故终止，且此时甲乙胜局数为2:1。若你是仲裁者，请问此时应如何分配赌金，并说明理由。,案例6中学生对古典