上海市上海中学2024-2025学年高一下学期4月期中测试数学试题（B卷）（原卷版+解析版）VIP

2024~2025学年上海市上海中学高一下学期期中测试卷（B卷）数学试卷（考试时间120分钟满分150分）考生注意：1．带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具.2．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟3．请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）1.1小时内秒针转过了______．（用弧度制表示）2已知，则___________3.函数的图象的一部分如图所示，则的初相为______．4.函数的图象的对称中心的坐标是___________.5.已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____.6.已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是________．7.已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为________．8.已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是_______.9.设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______.10.定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为________．11.已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________．12.设集合有______个真子集．二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）13.函数的最大值为（）A1 B. C.2 D.314.已知函数，则函数的部分图象可以为（）A. B. C. D.15.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（）①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.416.已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②在区间上是增函数；③若，则；④函数在区间上有且仅有1个零点．则上述结论中正确的序号为（）A.① B.①③ C.①②③ D.②③④三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）17.记的内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求外接圆面积的最小值．18.幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数.（1）求f（x）的表达式；（2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t取值范围.19.如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．（1）求索道的长；（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？20已知函数（1）求函数的最小正周期（2）当时，求函数的最大值和最小值（3）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围21.已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数.（1）分别判断和是否为“”函数；（2）若函数是“”函数，求取值范围；（3）若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：.

2024~2025学年上海市上海中学高一下学期期中测试卷（B卷）数学试卷（考试时间120分钟满分150分）考生注意：1．带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具.2．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟3．请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）1.1小时内秒针转过了______．（用弧度制表示）【答案】【解析】【分析】利用任意角的定义结合弧度制的性质求解即可.【详解】因为1小时内分针转过了，所以1小时内秒针转过了.故答案为：2.已知，则___________【答案】##【解析】【分析】由，根据二倍角公式即可求解.【详解】由，所以，故答案为：.3.函数的图象的一部分如图所示，则的初相为______．【答案】##【解析】【分析】由图象利用“五点法”求出函数的解析式，从而可求出初相.【详解】由图可知，周期，所以，所以，因为点在函数图象上，所以，所以，所以，因，所以，所以，所以初相为，故答案为：4.函数的图象的对称中心的坐标是___________.【答案】，【解析】【分析】方法一：根据正弦函数的性质，利用图象变换方法；方法二：根据正弦函数的性质，利用整体代入方法求解.【详解】方法一：图象变换法：函数的对称中心是形如的点，其中为整数.变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的.对称中心变换：横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为向左平移个单位后，横坐标变为

.向上平移1个单位后，纵坐标变为1.函数

的图像的对称中心的坐标为：,.方法二：利用正弦函数的性质直接求解法:求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程

，解得

,纵坐标恒为1.最终，函数

的图象的对称中心的坐标为：：,.故答案为：,.5.已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】求出的范围，利用正弦函数图像的性质计算即可；【详解】函数，其中，在区间上恰有2个零点，，.求得，则的取值范围为.故答案为：.6.已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数图象及相关性质列不等式求参数范围.【详解】由，则，由题意在上单调递增，且，所以，则，故，综上，，则，故.故答案为：7.已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为________．【答案】【解析】【详解】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得,且,所以考点:本题主要考查三角函数的性质.8.已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】根据对称性求得，结合对数函数的性质求得正确答案.【详解】不妨设，画出的图象如下图所示，，所以.令，解得，所以，所以.故答案为：9.设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______.【答案】##0.5【解析】【分析】作出正弦型三角函数的图象，利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算即可.【详解】作出函数，的大致图象，如图，令，，解得，，则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度）即，关于直线，对称，，由于，故，而，关于直线，对称，故点横坐标为，将点横坐标代入，得．故答案为：.10.定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由三角函数新定义，将已知不等式等价转化成，利用同角的三角函数基本关系式化简右式，借助于基本不等式即可求得其最值即可.【详解】由已知可得，即，因为，所以，则，因，当且仅当时等号成立，此时，故.故答案为：.11.已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________．【答案】##【解析】【分析】根据题意作图，通过图象可知，等腰直角三角形的斜边的长度为三角函数的一个周期，利用等腰直角三角形的性质求出边长，再由三角函数的周期公式求得的值.【详解】如图所示（根据对称性，其它情况与此本质相同），在函数与的交点中，，令，又，所以，因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形，故等腰直角三角形斜边上的高为，即，所以，则.故答案为：.12.设集合有______个真子集．【答案】##【解析】【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得集合的元素个数为1013，继而得到真子集个数.【详解】由题意，当时，，此时，，因是奇数，是偶数，且中的任意两组角都不关于对称，所以的取值各不相同，因此当时，集合中的取值会随着的增大而增大，所以当时，集合中共有个元素；当时，易知又因，故，即时的取值与时的取值相同，根据集合元素的互异性可知，时，并没有增加集合中的元素个数，当，易得：，可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0，故可得集合的元素个数为1013个，故集合的真子集有个.故答案为：.二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）13.函数的最大值为（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】运用拆角变换，逆用差角的正弦公式，化简函数式，即可求得其最值.【详解】因，故其最大值为1.故选：A.14.已知函数，则函数的部分图象可以为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性可排除BD，再取特殊值可判断AC，从而得解【详解】因为的定义域为，且，所以为奇函数，故BD错误；当时，令，易得，解得，故易知的图象在轴右侧的第一个交点为，又，故C错误，A正确；故选：A15.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（）①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可.【详解】①由正弦定理，，则，即，故或，即或，故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误；②，则，即，故.因为，故或，即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误；③，则，即，故，即，即，故.因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确；④，则，即，故，故，即，故.因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确.综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件.故选：B16.已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②在区间上是增函数；③若，则；④函数在区间上有且仅有1个零点．则上述结论中正确序号为（）A.① B.①③ C.①②③ D.②③④【答案】B【解析】【分析】先求出解析式，再对①②③④一一验证：对于①：利用周期的定义验证；对于②：取特殊数值排除；对于③：利用三角函数的有界性进行计算，即可判断；对于④：可以求出零点，进行判断.【详解】函数，对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确；对于②：由于，，，，故函数在上不是单调增函数，故②错误；对于③：函数的最大值为1，若，则，所以，，，故；故③正确；对于④：当时，，由于，即，解得或，所以函数有两个零点，故④错误．故选：B.三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）17.记的内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求外接圆面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，运用和角公式化简求得，即得；（2）由余弦定理，结合基本不等式和条件可得，再由正弦定理求得外接圆半径的最小值即可.【小问1详解】由整理得：，由正弦定理，可得即，因为，所以，即，又因为，所以．【小问2详解】由正弦定理，外接圆的半径，要使外接圆的半径最小，只需最小，由余弦定理，，当且仅当时取等号，此时，则．故外接圆面积的最小值为．18.幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数.（1）求f（x）的表达式；（2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由幂函数的单调性及得m的可能值，再验证奇偶性，得的解析式；（2）将条件转化为在上恒成立，求在上的最大值即可.【小问1详解】因为幂函数为偶函数，在区间上是严格增函数，则在区间上单调递减，所以，解得，又因为，所以或2，当或2时，不是偶函数，舍去；当时，是偶函数，合题意，所以.【小问2详解】对任意实数，不等式恒成立，即在上恒成立，设，，因为在上单调递减，所以，所以，即.19.如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．（1）求索道的长；（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）m（2）（3）（单位：m/min）【解析】【详解】（1）在中，因为，，所以，，从而．由正弦定理，得（）．（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得，由于，即，故当时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得（）．乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达．设乙步行的速度为，由题意得，解得，所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内．考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.20.已知函数（1）求函数的最小正周期（2）当时，求函数的最大值和最小值（3）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）最大值为，最小值为（3）【解析】【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可；（2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可；（3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可.【小问1详解】，则最小正周期为.【小问2详解】；则函数的最大值为，最小值为.【小问3详解