安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期3月阶段考数学试卷（人教A版）（B卷）（解析）

A10联盟2024级高一下学期3月阶段考数学（人教A版）试题B卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的补集运算和交集运算求解.【详解】由题，可得，所以.故选：B.2.已知角，向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到，即，再结合角的范围求解即可.【详解】若，则有，即，因为，所以.故选：D.3.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可.【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，，不等式等价于，则解集为，故选：D.4.下列说法正确的是（）A.向量与向量的模相等B.若，则C.共线向量是在同一条直线上的向量D.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同【答案】A【解析】【分析】根据向量的基本概念，包括向量的模、平行向量、共线向量等，逐一分析每个选项.【详解】对于A选项,对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反.根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以A选项正确.对于B选项，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，B选项错误.对于C选项，共线向量也叫平行向量，是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量共线.共线向量不一定在同一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，所以C选项错误.对于D选项，两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量不仅有大小还有方向，只有当两个向量的大小和方向都相同时，它们才相等.所以即使起点相同且长度相等，方向不同时，终点也不相同，D选项错误.故选：5.已知是的中线，在直线上，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为是的中线，所以.又因为，所以.所以.故选：C.6.若函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知结合诱导公式可得出关于的等式，即可得出结果.【详解】函数的图象向右平移个单位后得到，所以，，解得，又，令，得，所以的最小值为.故选：B.7.一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立直角坐标系，结合投影法找到数量积时点的位置，再去求解两向量的数量积的余弦值.【详解】以点为原点建立直角坐标系如图；又因为分米，分米，且两个正方形有共同的对称中心与对称轴，所以点，，则，，又因为，且因为，则当最大时，最大，由图象可知，当与点重合时最大，所以.故选：D.8.已知函数，则方程实数根的个数为（）A.10 B.8 C.6 D.5【答案】C【解析】【分析】设，先解出，再分别求解即可.详解】设，则，若，则，解得或，则或，当时，，不合题意，则，或，解得，此时方程仅一个根；若，则，解得或，即或，当时，或，方程即在仅一个根，方程，即，，且，，两根均为负，合题意，当时，，解得或，方程有两根，综上，方程的实根个数为6.故选：C.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.若向量，则下列说法正确的是（）A. B.与平行C.在上的投影向量为 D.【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据平面向量的模的坐标公式计算即可判断；对于B，根据平面向量的坐标判断即可；对于C，根据投影向量的定义计算即可；对于D，先根据平面向量夹角余弦的坐标公式计算，再利用平方关系求正弦值即可.【详解】A选项：，则，，则，所以，故A正确；B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误；C选项：，又，所以，，所以在上的投影向量为，故C正确；D选项：，又，所以，故D正确.故选：ACD.10.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若一个扇形所在圆的半径为2，圆心角为1弧度，则扇形的周长为6D.函数的最小值为2【答案】BC【解析】【分析】对于选项A，考虑，两种情况，即可做出判断；对于选项B，解不等式，即可做出判断；对于选项C，由扇形的弧长公式，求出弧长，即可做出判断；对于选项D，考虑，即可做出判断.【详解】对于选项A，当时，若，则；若，则，故A错误；对于选项B，若，则，所以，所以，故B正确；对于选项C，由扇形的弧长公式可知，所以扇形的周长为，故C正确；对于选项D，若，则，故D错误.故选：BC11.对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）A.函数，的图象关于原点对称B.设，，则有C.函数，的值域为D.不等式的解集为【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，取值验证判断A；利用，计算可判断B；由取整函数的定义得，进而判断C；解一元二次不等式，然后取整函数的定义求出解集判断D.【详解】对于A：当时，，当时，，即点，都在函数的图象上，它们关于原点不对称，则函数的图象关于原点不对称，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C：由取整函数的定义知，，则，因此函数，的值域为，故C正确；对于D：由，得，解得，而，则，因此，不等式的解集为，故D正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____.【答案】【解析】【分析】将三点共线转化为向量共线，再根据共线向量基本定理列方程，求解即可.【详解】由题意，，由三点共线，得，所以存在唯一实数，使得，即，又和不共线，所以，解得.故答案为：.13.若，且，则的最小值为______.【答案】5【解析】【分析】由，且，得到,进而有，利用基本不等式求解.【详解】解：因为，且，所以,则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为5，故答案为：514.若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式.【详解】令，由条件③可得，，且，所以函数在上单调递减，又偶函数，且，则，所以为奇函数，且，所以在上单调递减，，所以当时，，即，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以不等式的解集为.故答案为：.四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量.（1）若向量与共线，求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值；（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不同向共线，从而可得不等式组求解即可.【小问1详解】由题意得，，，由向量与共线，得，解得【小问2详解】由向量与的夹角为锐角，得，且与不共线，则，解得，即的取值范围为16.已知函数，且.（1）求的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有2个实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用方程求解的值，进而得函数解析式；（2）根据图象变换得的解析式，再画出函数在区间上的图象，将方程的解的个数转化为两个函数图象交点个数，即可根据图象求实数的取值范围.【小问1详解】.由，得，即或，则，解得，又因为，所以当时，；则.【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得函数.由，得，当时，函数单调递增，此时，当时，函数单调递减，此时，函数在上的图象，如图所示：因此，若关于的方程在区间上有2个实数解，则.17.已知为奇函数，为常数.（1）求的值；（2）若，不等式恒成立，求实数取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可求出a的值，验证后即可确定答案；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，结合判断函数单调性，求得函数最值，即可求得答案.【小问1详解】由于，函数为奇函数，故，即，则，即，则，当时，，不符合题意；当时，，令，则或，即函数定义域为，，即函数为奇函数，符合题意，故；【小问2详解】对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，即对于区间上每一个的值，不等式恒成立，所以，令，则在上单调递增，而在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递增，故在上单调递增，则的最小值为，故.18.在中，设，点是线段中点，点是线段靠近点的三等分点．（1）求的值；（2）请用来表示【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的线性分解与数量积运算律有，再分别求出模长，利用向量的夹角公式即可求得结果.（2）由三点共线，可设，利用向量相等列出等式即可求得结果.【小问1详解】，注意到，所以，，，所以；【小问2详解】由三点共线，可设，由于不共线，所以只能，所以.19.双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数）．（1）求的值；（2）证明：两角和的双曲余弦公式；（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）1；（2）证明见详解；（3）【解析】【分析】（1）根据函数定义直接代入即可求；（2）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性