上海市延安中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

上海市延安中学2024学年第二学期期中考试高一年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：100分）一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对3分，否则一律得零分．1.已知角的终边经过点，则_____．2.3弧度是第_____象限角．3.函数的最小正周期为______．4.已知是第四象限角，且，则_____．5.已知，则______．6.的单调递增区间为________________．7.已知，且，，则_____．8.在中，，则_____．9.如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．10.函数，的值域是______．11.直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____．12.已知、满足，则_____．二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．13.下列函数中是奇函数的是（）A. B. C. D.14.为了得到函数图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位15.在中，“”是“是锐角三角形”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件16.三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（）A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．17.求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值．18.在中，角，，所对边分别为，，，若．（1）求的大小；（2）若，，求的面积．19.（1）证明三倍角公式；（2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式．20.如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．（1）求值；（2）若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米）21.对于函数，，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，则称函数是“类周期函数”，这个非零常数叫做函数的一个“类周期”．（1）证明函数“类周期函数”；（2）证明函数不是“类周期函数”；（3）已知函数（其中，）是“类周期函数”，证明：“”是“是的一个‘类周期’”的必要非充分条件．

上海市延安中学2024学年第二学期期中考试高一年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：100分）一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对3分，否则一律得零分．1.已知角的终边经过点，则_____．【答案】##【解析】【分析】利用三角函数的定义可求出的值.【详解】因为角的终边经过点，则.故答案为：.2.3弧度是第_____象限角．【答案】二【解析】【分析】判断角的终边在第几象限即可.【详解】1弧度，3弧度，3弧度的角的终边在第二象限，3弧度是第二象限角.故答案为：二.3.函数的最小正周期为______．【答案】【解析】【分析】利用求出最小正周期.【详解】的最小正周期为.故答案为：4.已知是第四象限角，且，则_____．【答案】##-0.8【解析】【分析】根据所在的象限，及平方关系计算即可.【详解】因为是第四象限角，且，所以，故答案为：.5.已知，则______．【答案】【解析】【分析】由，利用诱导公式求解.【详解】．故答案为：.6.的单调递增区间为________________．【答案】【解析】【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间即得.【详解】由，解得，所以的单调递增区间为.故答案为：7.已知，且，，则_____．【答案】【解析】【分析】先由同角三角函数关系求得，再通过“配角”利用两角和的余弦公式求解即得.【详解】∵，，∴又∵，，∴，，∴.故答案为：.8.在中，，则_____．【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得到三边的关系，再由余弦定理求出角，再利用分式的性质求解即可.【详解】因为，由正弦定理，可得，设，由余弦定理可得，因为，所以，由，可得，因为，所以，故答案为：.9.如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．【答案】【解析】【分析】中，可得，，，结合正弦定理，即可求解【详解】如图所示，由题意得，在中，可得，，，所以由正弦定理得．因此，点与灯塔的距离为是.故答案为：.10.函数，的值域是______．【答案】【解析】【分析】设，则，可得出，由此得出，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】因为，设，则，且，所以，则，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，取最大值，即，当时，；当时，，所以.因此，函数的值域为.故答案为：.11.直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____．【答案】2【解析】【分析】利用正弦函数的周期性得到，再利用整体代入法求出对称轴，进而求出的横坐标，再代入解析式中结合诱导公式求解参数即可.【详解】由正弦函数性质得的周期为，如图，由题意得直线与函数图像的相邻的三个交点，从左自右依次为、、，则，因为，所以，解得，令，解得，由正弦函数性质得、关于对称，且设的横坐标为，则，而的纵坐标为，代入解析式中得到，.故答案为：12.已知、满足，则_____．【答案】【解析】【分析】根据题意整理可得，结合正、余弦函数的有界性可得，即可得结果.【详解】因，则，整理可得，因为，可得，即，可得，所以.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．13.下列函数中是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出各个函数的定义域，再根据与的关系即可做出判断.【详解】对于A，函数的定义域为，且，所以是偶函数，故A错误；对于B，函数的定义域为且，所以是偶函数，故B错误；对于C，函数的定义域为，且，所以是奇函数，故C正确；对于D，函数的定义域为，且，，，所以是非奇非偶函数，故D错误.故选：C14.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由图象平移变换，把化为后可得．【详解】∵，因此把函数的图象上所有的点向左平移个单位即得．故选：B．15.在中，“”是“是锐角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】举反例说明充分性不成立即可，必要性由，且为锐角，则成立．【详解】当，时，有，但是钝角三角形；当是锐角三角形时，，且为锐角，则故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件故选：B16.三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（）A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确【答案】C【解析】【分析】利用函数周期定义判断①②即可.【详解】对于①，设，该函数的定义域为，因为，故函数是周期函数，①对；对于②，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，若函数是周期函数，设为该函数的一个周期，则存在非零整数、，使得，，可得，所以，，因为为无理数，而为有理数，故等式不成立，所以函数不是周期函数，②错.故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．17.求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值．【答案】最小正周期，最大值为3，当，时取得最大值【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用正弦函数的性质求解.【详解】依题意，，函数的最小正周期，函数的最大值为3，当，即，时取得最大值．18.在中，角，，所对的边分别为，，，若．（1）求的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用正弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可得到；（2）运用余弦定理，结合完全平方公式求出，再运用三角形的面积公式即可得所求．【小问1详解】因为，由正弦定理，得，即，所以，即因为所以，因，所以.【小问2详解】由（1）知，，由余弦定理，得，∵，，∴，得，所以的面积.19.（1）证明三倍角公式；（2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）将表示成，再根据和角的正弦公式及二倍角正余弦公式展开即可得证；（2）将代入公式的表达式，再根据诱导公式，即可得到的表达式.【详解】（1）；（2）将代入公式，可得，因为，，所以.20.如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．（1）求的值；（2）若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米）【答案】（1）（2）当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大【解析】【分析】（1）先在直角三角形中和直角三角形中，求出,，再利用两角差的正切公式求出；（2）点距离底线米，过点作，垂足为，计算出和，，求出，利用基本等式求出最大值.【小问1详解】，，，，，，【小问2详解】设点距离底线米，过点作，垂足为，，则，，，，，当时，即时，等号成立，此时取得最大值，又因为函数在上严格增，所以对应取得最大值,所以当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大.21.对于函数，，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，则称函数是“类周期函数”，这个非零常数叫做函数的一个“类周期”．（1）证明函数是“类周期函数”；（2）证明函数不是“类周期函数”；（3）已知函数（其中，）是“类周期函数”，证明：“”是“是的一个‘类周期’”的必要非充分条件．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】(1)利用“类周期函数”的定义，找到函数的一个“类周期”，即可证明函数是“类周期函数”；(2)利用反证法可以证明函数不是“类周期函数”；(3)利用函数是“类周期函数”将函数化简，再进行充分必要性的证明.【小问1详解】取，，，，函数是“类周期函数”，是其一个“类周期”；【小问2详解】假设函数是“类周期函数”，则存在非零常数，使得对任意都成立，取，则可得，所以，与矛盾，所以假设不成立，故函数不是“类周期函