2025年山东省济宁学院附属中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年第二学期第二次阶段评测初四数学试题第I卷（选择题共30分）一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题只有一个正确选项）1.的相反数是（）A. B.2025 C. D.2.国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.根据计划，我国将在2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验等．地球与月球的距离大约为380000千米，用科学记数法可表示为（）千米．A. B. C. D.4.米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盈米斗，其示图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（）A. B. C. D.5.下列计算中，正确是（）A. B.C. D.6.某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是()A. B. C. D.7.如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为（）A. B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（）A. B. C. D.9.某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为，那么x满足的方程是（）A. B.C. D.10.如图1，在矩形中，，E，F分别为，中点，G是线段上一动点，设，的周长为y，图2是y关于x的函数关系图象，其中P是图象上的最低点，则a的值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）11.若，，则代数式的值是________．12.二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．13.若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是______．14.如图，个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，的面积为，则_________．15.如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是________．三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（1）计算：（2）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．17.年我国春晚上出现的扭秧歌机器人轰动世界，机器人与人们的生活联系越来越紧密、某校为了解七、八年级学生对机器人相关知识的了解情况，举办了关于机器人知识的竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：．，．，．，．，得分在分以上为优秀），下面给出了部分信息：七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，八年级名学生竞赛成绩在组的数据是：，，，，七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数七年级八年级根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中的________，________，________；（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的机器人知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）（3）若该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次机器人的知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？18.随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：单枪充电桩双枪充电桩花费：元花费：元单价：元/个单价：元/个（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．19.如图，、均为的直径．点E在上，连接，交于点F，连，，点G在的延长线上，．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点和点，与反比例函数的图象交于点，为线段的中点．（1）求的值；（2）直接写出的解集．（3）点为线段上的一个动点，过点作轴，交该反比例函数图象于点，连结，．若的面积为，求点的坐标．21.如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，相距千米．（参考数据：，，）（1）求的距离（结果保留根号）；（2）小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船速度为千米/小时，观光车的速度为千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，并说明理由．22.【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．【初步认识】（）如图①，折痕的端点与点重合．①当时，________；②若点恰好在线段上，求的长；【深入思考】（）点恰好落边上．如图②，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图②并证明四边形是菱形；【拓展提升】（）如图③，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．23.在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，顶点为的抛物线经过点，，且与轴交于点，（点在点的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线对称轴上存在一点，当的周长最小时，直接写出点坐标；（3）当时，，求的值；（4）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围．

2024-2025学年第二学期第二次阶段评测初四数学试题第I卷（选择题共30分）一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题只有一个正确选项）1.的相反数是（）A. B.2025 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．【详解】解：的相反数是，故选：B．2.国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意；B、不是轴对称图形，则此项不符合题意；C、是轴对称图形，则此项符合题意；D、不是轴对称图形，则此项不符合题意；故选：C．3.根据计划，我国将在2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验等．地球与月球的距离大约为380000千米，用科学记数法可表示为（）千米．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．【详解】解：地球与月球的距离大约为380000千米，用科学记数法可表示为千米，故选：B．4.米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盈米斗，其示图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．理解看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线是解题关键．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可．【详解】解：俯视图是在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，其图形为：故选：B．5.下列计算中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了整式的加减，同底数幂相除，积的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，积的乘方法则，幂的乘方法则逐项判断即可．【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；B．，故原计算错误；C．，故原计算错误；D．，故原计算正确；故选：D．6.某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：画树状图得：所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种，则P=．故选：C．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】考查切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周角定理及推论，如图所示，连接，首先由切线得到，然后求出，最后利用圆周角定理求解即可．【详解】如图所示，连接，是的切线，切点是在中，圆周角与圆心角所对的弧是，．故选：B．8.如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平行四边形的性质、旋转的性质，延长交轴于点，过点作轴于点，证明，得出，，即可得解．【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点，由题意可得，轴，，，由旋转的性质可得，，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴点的坐标为，故选：A．9.某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为，那么x满足的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键．设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为，根据图形，结合矩形面积为，列出关于的一元二次方程即可．【详解】解：设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为，根据题意，可得：，故选：C．10.如图1，在矩形中，，E，F分别为，的中点，G是线段上一动点，设，的周长为y，图2是y关于x的函数关系图象，其中P是图象上的最低点，则a的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由图象得，再由勾股定理得，由中位线的性质得，作点E关于的对称点P，连接交于G，连接交于Q，连接，此时，最小，即，根据对称的性质得，，再由已知得出，进而得，，再得，得，即，进而可得，最后由勾股定理得，即可得出结论．【详解】解：∵图象右端点的横坐标为，∴，∵为矩形，∴，∴在中，，∵E，F分别为，的中点，∴是的中位线，∴，的周长，∴取最小值时，y最小，即为a，如图，作点E关于的对称点P，连接交于G，连接交于Q，连接，此时，最小，即，∵点E，点P关于对称，∴，，∴，∵E，F分别为，的中点，∴，，，∴，，∴，∴，即，∴，∴，∴在中，，∴．故选：C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）11.若，，则代数式的值是________．【答案】2【解析】【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．【详解】解：∵，，，故答案为：2．12.二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．利用二次根式有意义的条件列不等式，再求解即可．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴，解得：，故答案为：．13.若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是______．【答案】8【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案．【详解】解：由题意得：，，，，，．故答案为：．14.如图，个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，的面积为，则_________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，图形类的规律探索，应用相似三角形的面积比等于相似比的平方把难求的三角形转化为求易求三角形的面积是解题的关键．首先根据题意求得的面积，又由，即可得，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得，然后代数求解即可．【详解】解：个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点分别为边，，，，的中点，，，，，，，，即，∴当时，故答案为：．15.如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出取最大值时B、P、M三点的位置关系．取的中点M，连接、，利用解三角形求出，利用三角形中位线定理推出，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值．【详解】解：取的中点M，连接、．∵，，，∴，∴，∴，∵P、M分别是的中点，∴．如图，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值，最大值为，故答案为：．三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（1）计算：（2）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．【答案】（1）4；（2），不等式组的解集在数轴上表示见解析【解析】【分析】先根据零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值的性质分别求出各式的值，再进行计算即可；分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．本题考查的是实数的运算，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，熟知以上知识是解题的关键．【详解】解：；，由①得，；由②得，，故不等式组的解集为：，在数轴上表示为：．17.年我国春晚上出现的扭秧歌机器人轰动世界，机器人与人们的生活联系越来越紧密、某校为了解七、八年级学生对机器人相关知识的了解情况，举办了关于机器人知识的竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：．，．，．，．，得分在分以上为优秀），下面给出了部分信息：七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，八年级名学生竞赛成绩在组的数据是：，，，，七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数七年级八年级根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中的________，________，________；（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的机器人知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）（3）若该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次机器人的知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？【答案】（1），，；（2）七年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；（3）估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有人．【解析】【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键．（）根据表格及题意可直接进行求解；（）根据平均分、中位数，众数，优秀人数分析即可得出结果；（）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解．【小问1详解】解：∵七年级名学生的竞赛成绩中出现次数最多，∴，由八年级组占，人数为（人），八年级组占，人数为（人），∴八年级中位数为组的第个同学竞赛成绩的平均数即，∴八年级组人数为（人），则，∴，故答案为：，，；【小问2详解】解：七年级学生竞赛成绩较好，理由：七、八年级的平均分均为分，七年级的中位数，众数优秀人数均高于八年级的中位数，整体上看七年级学生竞赛成绩较好；【小问3详解】解：估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有，（人），答：估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有人．18.随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：单枪充电桩双枪充电桩花费：元花费：元单价：元/个单价：元/个（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个（2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键；（1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解；（2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解．【小问1详解】解：根据题意可得解得：经检验，是原方程的解，且符合题意，（元/个）答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个；【小问2详解】解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个)设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为元∵此次加购小区预备支出不超过元∴解得∴的最小值为答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．19.如图，、均为的直径．点E在上，连接，交于点F，连，，点G在的延长线上，．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，结合已知可得，再根据等腰三角形的性质得出，求出即可得出结论；（2）连接，根据等腰三角形的性质求出，进而可得，的长，然后根据三角函数的定义和勾股定理求出，再在中，根据三角函数的定义和勾股定理求出，进而可得的长．【小问1详解】证明：，，，，即，为的直径，，，，，，，为的直径，与相切；小问2详解】解：连接，如图，，，，．在中，，，∴，，，，为的直径，．∴在中，，∴，由勾股定理得．，，．，∴在中，，∴，∴，．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线的判定等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点和点，与反比例函数的图象交于点，为线段的中点．（1）求的值；（2）直接写出的解集．（3）点为线段上的一个动点，过点作轴，交该反比例函数图象于点，连结，．若的面积为，求点的坐标．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程，求出C的坐标是解题的关键．（1）先分别求出点的坐标为，点的坐标为，利用为线段的中点，得出，将代入即可求解；（2）由图可知的解集即为反比例函数的图象在直线上方及相交时对应的自变量的取值范围，即可求解；（3）设点的坐标为，则可得点的坐标为，利用三角形面积公式列方程求解即可．【小问1详解】解：令，得，解得：，∴点的坐标为，令，则，∴点的坐标为，∵为线段的中点，∴，，即，，解得：，，∴，将代入，得；小问2详解】解：由题意得反比例函数的解析式为，由图可知的解集即为反比例函数的图象在直线上方及相交时对应的自变量的取值范围，∴的解集为；【小问3详解】解：由（2）知反比例函数的解析式为，∵轴，设点的坐标为，则，代入直线，得：，∴点的坐标为，由题意得：，整理得：，解得：或，经检验，或是方程的解，但不符合题意，舍去，∴，，∴点坐标为．21.如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，相距千米．（参考数据：，，）（1）求的距离（结果保留根号）；（2）小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船速度为千米/小时，观光车的速度为千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，并说明理由．【答案】（1）千米（2）小明先到达点，理由见解析【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．（1）过点作，交延长线于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据计算即可得；（2）过点作，交延长线于点，交于点，过点作于点，先根据平行线的性质、三角形的内角和定理可得，再在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得，的长，然后根据两条路线的长度和速度计算时间，由此即可得．【小问1详解】解：如图，过点作，交延长线于点，由题意得：，，千米，在中，千米，千米，在中，千米，则千米，答：的距离为千米；【小问2详解】解：如图，设交于点，过点作于点，由题意得：，，，∴，∴，由（1）可知，，∴，在中，千米，千米，在中，千米，千米，∴千米，在中，千米，∴小聪选择路线一所需时间为（小时），小明选择路线二所需时间为（小时），因为，所以小明先到达点．22.【问题背景】在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．【初步认识】（）如图①，折痕的端点与点重合．①当时，________；②若点恰好在线段上，求的长；【深入思考】（）点恰好落在边上．如图②，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图②并证明四边形是菱形；【拓展提升】（）如图③，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．【答案】（）①；②；（）补图见解析，证明见解析；（）或【解析】【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解；（）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证；（）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解．【详解】解：（）①∵，∴，由折叠可得，，∴，故答案为：；②当点恰好在线段上时，如图所示，∵四边形是矩形，∴，，，由折叠可得，，，，∴，∴，设，则，，在中，，∴，解得，∴的长；（）补图如下：证明：∵，∴，由折叠可知，，，∴，