湖南省常德市2023～2024学年高一数学下学期6月份月考试题含答案

湖南省常德市2023-2024学年高一数学下学期6月份月考试题考试范围：必修二第六章~第九章时间：120分钟满分：100分一、单选题(每个小题3分，共24分)1.某校为调查学生跑步锻炼的情况，从该校3000名学生中随机抽取300名学生，并统计这300名学生平均每周的跑步量（简称“周跑量”，单位：周），得到如图所示的频率分布直方图.称周跑量不少于周的学生为“跑步达人”，用频率分布直方图估计这3000名学生中“跑步达人”的人数为（）A.66 B.132 C.660 D.720【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图计算频率，即可求解人数.【详解】由频率分布直方图可知：周跑量在的频率为，所以3000名学生中“跑步达人”的人数为，故选：C2.已知向量满足，则与的夹角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】【分析】由题意，先求出，然后根据向量夹角公式即可求解.【详解】解：因为，所以，设与的夹角为，则，因为，所以，故选：B.3.长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是，体对角线长为，则这个长方体的表面积为（）A.12 B.22 C.32 D.44【答案】B【解析】【分析】设棱长为，然后根据对角线长为可求出，然后可得答案.【详解】因为长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是所以可设棱长为所以其体对角线长为，解得所以这个长方体的表面积为故选：B4.若圆锥轴截面是等边三角形且轴截面的面积为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圆锥的几何特征列方程可得圆锥底面圆的半径，再由圆锥的体积公式即可得解.【详解】设圆锥底面圆的半径为，则，解得，所以圆锥的体积.故选：D.【点睛】本题考查了圆锥几何特征应用及体积的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.5.已知向量，，，若与的夹角为，且⊥，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算得到，再由向量垂直得到方程，求出.【详解】，即，所以，因为⊥，所以，解得故选：A6.若虚数是方程的一个根，则实数，的值分别为（）A.1，2 B.，2 C.1， D.，【答案】B【解析】【分析】由实系数方程的虚数根成对出现的性质得另一根，然后由韦达定理求解．【详解】关于的方程有一个根为（，为虚数单位），则也是此方程的一个根．所以，，解得，．故选：B．7.2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学方式对学生视力影响情况，在学校抽取了名同学进行视力调查.如图为这名同学视力的频率分布直方图，其中前组的频率成等比数列，后组的频数成等差数列，设最大频率为，在4.6到5.0之间的数据个数为，则的值分别为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图，分别求得，，，，进而求得频率，在结合等差数列，求得，求得，，，，，进而求得的值，即可求解.【详解】这100名同学视力的频率分布直方图，其中前4组的频率成等比数列，因为的频率为；的频率为；的频率为；的频率为；的频率为，所以后6中的频数成等差数列，所以，解得，所以的频率为，的频率为，的频率为，的频率为，的频率为，所以的频率为，所以，在到之间的数据个数为.故选：A.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的频率、频数的求法，以及等差数列、等比数列的性质等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8.已知分别是三个内角的对边，下列关于的形状判断一定正确的为（）A.，则为直角三角形B.，则为等腰三角形C.，则为直角三角形D.，则为等腰三角形【答案】C【解析】【分析】将用正弦定理转化为，由的取值范围可判断的形状；由进行化简可得，由解方程，进而可判断可判断的形状.【详解】对于AB，当时，由正弦定理可得，即，因为，所以，所以，即，得，所以，则，于是为直角三角形或钝角三角形，故AB错误；对于CD，当时，由，得，整理得，由正弦定理，，（是外接圆的半径）由余弦定理，，即，解得或，即，解得或，故为直角三角形，故C正确，D错误；故选：C.二、多选题(每个小题5分，共15分，若只选对部分，给2分)9.为了了解参加运动会1000名运动员的年龄情况，从中抽取了10名运动员的年龄进行统计分析.下列说法中正确的有（）A.1000名运动员的年龄是总体 B.所抽取的10名运动员是一个样本C.样本容量为10 D.每个运动员被抽到的机会相等【答案】ACD【解析】【分析】根据抽样方法，利用总体、样本、样本容量的定义逐项判断作答.【详解】对于A，1000名运动员的年龄是总体，故A正确；对于B，所抽取的10名运动员的年龄是一个样本，故B错误；对于C，样本容量为10，故C正确；对于D，每个运动员被抽到的机会相等，故D正确.故选：ACD.10.根据国家统计局数据显示，我国2010~2019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法正确的是（）A.2010~2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加B.可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万C.2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数D.2019年我国研究生在校总人数不超过285万【答案】ABC【解析】【分析】根据统计图表依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，从2010-2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故A正确；对选项B，由于2010-2019年，我国研究生在校女生人数逐年增加，且2019年人数为144.8万，故B正确；对选项C，2017年我国研究生在校女生人数所占比重为48.4%，不足一半，故C正确；对选项D，，故2019年我国研究生在校总人数超过285万，故D项错误.故选：ABC11.已知某圆锥的母线长为1，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（）A.圆锥的体积为B.圆锥的表面积为C.圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形D.圆锥的内切球表面积为【答案】ABC【解析】【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A、B；根据圆锥侧面展开图与圆锥的数量关系，可得扇形的半径以及弧长，即可求得圆心角，即可判断C项；根据圆锥的轴截面，可知圆锥内切球的半径即等于内切圆的半径.根据等面积法即可求得外切圆的半径（即外切球的半径），代入球的表面积公式可判断D.【详解】如图1为圆锥的轴截面，圆锥母线，且.则，所以底面半径，圆锥的高.对于A项，圆锥的体积，故A正确；对于B项，圆锥的表面积，故B正确；对于C项，圆锥的侧面展开图的半径，弧长为，则圆心角，故C正确；对于D项，如图2，作出圆锥及其内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为，易知，圆锥内切球的半径即等于内切圆的半径.，又，所以，所以.圆锥的内切球表面积，故D错误.故选：ABC.三、填空题(每小题3分，共9分)12.设的内角的对边分别为，，．若，，，则_____________【答案】或【解析】【详解】试题分析：由，则可运用同角三角函数的平方关系：，已知两边及其对角，求角．用正弦定理；，则；可得．考点：运用正弦定理解三角形．（注意多解的情况判断）13.某城市有学校1000所，其中大学20所，中学400所，小学580所，现在取50所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样进行抽样，应该选取小学__________所．【答案】29【解析】【分析】根据分层抽样的定义，求出小学的数量在总体样本中所占的比例即可得出答案.【详解】因为总体样本是1000所，小学580所，小学在总体样本中所占的比例为，所以在小学中抽取的样本为：所.故答案为：29.14.在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为___________．【答案】.【解析】【分析】先证明平面，求出三角形外接圆半径，进而求出球体的半径，在求出球的体积.【详解】如图所示，由，，得,由是的中点，，解得，又，所以，得，又，平面，所以平面.设球心为，点到底面的距离为，由正弦定理得的外接圆半径，在三角形中，球的半径，所以三棱锥的外接球的体积为.故答案为：15.已知非零向量满足，且，求与的夹角.【答案】【解析】【分析】根据题意，设与的夹角为，由，整理变形可得，由，由数量积的计算公式可得，结合，即可求解.【详解】设与的夹角为，，若，则，展开可得：，即，又因为，所以，因为，所以.【点睛】关键点点睛：将两边平方整理变形可得，结合，结合数量积的计算公式即可求解.16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角A的大小；（2）设，，求b．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理边角关系可得，应用余弦定理求得，即可得A的大小；（2）由题设有，根据二倍角正弦公式求得，再应用正弦定理求b.【小问1详解】由题设，即，所以，又，故.【小问2详解】由（1）知：，则，而，故，所以，而，故.17.某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲，乙两名学生的历次模拟测试成绩．场次12345678910甲98949797959393959395乙92949394959496979798甲，乙两名学生测试成绩的平均数分别记作，方差分别记作．（1）求，；（2）以这10次模拟测试成绩及（1）中的结果为参考，请你从甲，乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛，并说明你作出选择的理由．【答案】（1），，，；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）直接利用平均数公式和方差公式计算即可，