山东省临沂市2023−2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（含解析）

山东省临沂市2023−2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知，则（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（

）A． B． C． D．4．向量，则（

）A．19 B．18 C．17 D．165．的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（

）A． B． C． D．6．已知中，，点O为的内心，则（

）A． B． C． D．7．某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至处，测得灯塔顶端的仰角为30°，则该灯塔顶端高于海面（

）A．50米 B．100米 C．米 D．1003米8．已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（

）A．7 B．9 C．11 D．13二、多选题（本大题共4小题）9．已知复数（其中为虚数单位），则（

）A． B． C． D．10．在中，角的对边分别为，则下列命题中为真命题的是（

）A．若，则为直角三角形B．若，则C．若，则为锐角三角形D．若，则为直角三角形11．已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（

）A．的解析式为B．的图象关于直线对称C．在区间上是减函数D．将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象12．已知函数，则（

）A．的周期是B．的值域是C．若在区间上有最大值，没有最小值，则的取值范围是D．若方程在区间上有3个不同的实根，则的取值范围是三、填空题（本大题共4小题）13．已知平面向量满足，则．14．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为．15．如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域，两个凉亭分别座落在点及点处，花园里有一条平行于的小路；已知某人从凉亭沿小路走到点用了3分钟，从点沿走到凉亭用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径的长为米（精确到1米）．16．在中，已知的角平分线，则的正弦值为．四、解答题（本大题共6小题）17．已知向量．(1)若向量与共线，求实数的值；(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．18．已知复数，其中为虚数单位，并且，求实数的取值范围．19．已知向量满足．(1)求向量与的夹角；(2)若向量在方向上的投影向量为，求的值．20．设的内角所对的边分别为，若，．(1)求的值；(2)若，求的面积．21．已知在锐角中，三边的对角分别为，且(1)求角的值；(2)若，求的周长的取值范围．22．已知函数的定义域为R，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当时函数取得最小值为．(1)求函数的解析式；(2)若将函数的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图象向左平移个单位得到函数hx，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值；(3)是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数的范围（或值），若不存在，请说明理由．

参考答案1．【答案】C【详解】将两边平方可得，即，可得.故选：C2．【答案】D【详解】，故选：D3．【答案】C【详解】根据可得，所以，所以的虚部是.故选：C4．【答案】A【详解】由可得；所以.故选：A5．【答案】A【详解】由可得，即可得，所以，因此，又，所以.故选：A6．【答案】B【详解】根据题意可知，所以是以为直角的直角三角形；以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：可得，因此不妨设的内切圆半径为，易知，解得；即可得；所以；设，可得，解得；所以.故选：B7．【答案】A【详解】根据题意作出示意图，如图所示，设灯塔顶端高于海面的距离为米，由题意得，，所以米，米，在中，，，由余弦定理得，即，整理，解得不符合题意，舍去）．综上所述，灯塔顶端高于海面的距离为50米．故选：．8．【答案】C【详解】根据图象关于直线对称可得，解得;又关于点对称可得，解得；经检验当时，符合题意.故选：C9．【答案】BC【详解】对于A，由可得，可得，可知A错误；对于B，易知，因此，即可得B正确；对于C，，因此可得，即C正确；对于D，，即可得D错误.故选：BC10．【答案】ABD【详解】中，因为，由正弦定理可得，即，在三角形中，，所以，因为，所以，即为直角三角形，所以正确；中，三角形中，，则，由大边对大角，可得，再由正弦定理可得，所以正确；中，若，只能得出角为锐角，不能说明角，角为锐角，所以不能判断该三角形为锐角三角形，所以不正确；中，因为，即，可得，由正弦定理可得，所以，又因为，所以，而，所以，即为直角三角形，所以正确．故选：．11．【答案】AC【详解】根据函数的部分图象知，，且，所以；又，，解得，，故正确；时，，不是最值，故错误；时，，单调递减，故正确；将的图象向左平移个单位长度，得得图象，故错误；故选：.12．【答案】ABC【详解】，所以函数的周期是，故选项正确；因为函数的周期是，所以只需要看一个周期内函数值的范围，当时，，，，，所以的值域是，故选项正确；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，，则，故选项正确；因为，，，则所以轴和均为的对称轴，则，和，关于轴对称，，和，关于直线对称，结合B选项画出函数在的草图.

所以，，，所以，故选项错误．故选：．13．【答案】【详解】，，，所以，故答案为：14．【答案】【详解】由题意得，解得，故答案为：15．【答案】267【详解】设该扇形的半径为米，连接.由题意，得(米)，（米），在中，即解得（米).故答案为：267.16．【答案】【详解】因为，，的角平分线，由等面积可得，即，即，，因为，所以，，所以．故答案为：．17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得，，若向量与共线可得，解得；（2）若向量与的夹角为钝角可得，且；即可得，解得；即实数的取值范围为.18．【答案】【详解】因为,可得,所以,可得,即,当,所以.19．【答案】(1)(2)【详解】（1），，即，，，又，与的夹角为；（2），．20．【答案】(1)0(2)【详解】（1）由正弦定理得为的外接圆半径），可得：，将其代入得，即，又由题意知，所以，解得，所以，在中由余弦定理得：，所以，所以，所以，，由题意可知，所以，所以，所以；（2）因为，由（1）知，所以．21．【答案】(1)(2)【详解】（1）设的外接圆的半径为，由正弦定理得，可得，将其代入，可得，根据余弦定理得，由此可得，在锐角中，；（2）由（1）正弦定理，，，又因为为锐角三角形，所以，又，，，即，所以，又，，即，故锐角的周长的取值范围为.22．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），，，又，，，，