北京市西城区北京师范大学附属实验中22024-2025学年学高一下学期阶段测试一（3月）数学试题【含答案】

北京师范大学附属实验中学2027届高一下学期数学阶段测试一班级_____姓名_____学号_____一、选择题（每小题4分，共32分）1.的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式计算可得.【详解】.故选：A2.下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性、周期性逐一判断得解.【详解】对于AC，函数，都是奇函数，A不是，C不是；对于B，函数是偶函数，周期为，B不是；对于D，函数是偶函数，周期为，D是.故选：D3.已知扇形的圆心角为2弧度，弧长为，则该扇形的面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出扇形的半径，利用扇形面积公式求出答案.【详解】设扇形的半径为cm，则，则该扇形的面积为.故选：C4.要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（）A.先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B.先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）C.先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D.先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【答案】C【解析】【分析】利用平移变换和伸缩变换得到相应的图象.【详解】A：向右平移个单位长度得，横坐标伸长到原来的2倍得，故A错误；B：向右平移个单位长度得，横坐标缩短到原来的得，故B错误；C：向右平移个单位长度得，横坐标伸长到原来的2倍得，故C正确；D：向右平移个单位长度得，横坐标缩短到原来的得，故D错误.故选：C.5.如图是函数的部分图象，则该函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出各参数即可.【详解】观察图象知，，函数的周期，则，由，得，而，则，所以.故选：B6.在中，，则“”是“是钝角三角形”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先判断如果能不能推出是钝角三角形，再判断如果是钝角三角形，是否一定有即可.【详解】如果，由于B是三角形的内角，并且,则，，是钝角三角形，所以是充分条件；如果是钝角三角形，不妨设，则，所以不是必要条件；故选：A.7.已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求．【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，，所以时，函数单调递增，,所以的解集,,，的解集，当时，的解集,,，时的解集,,，则不等式可转化为或，解得或或．故选：C．8.已知函数，若关于的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，则正数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用换元法求出的取值范围，再根据三角函数的图象得到的不等式，即可得答案；【详解】令，∵，∴，设，若关于x的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，则在上有且仅有4个不相等的实数根，∴，故选：D.二、填空题（每小题4分，共24分）9.已知，，则角是第_____象限角.【答案】三【解析】【分析】根据三角函数在各个象限符号求解即可.【详解】由，则角是第一、三象限角，又，则角是第三象限角.故答案：三.10.函数定义域为_____.【答案】【解析】【分析】由题干可知要满足根号下非负，再结合正弦函数的性质可解得定义域.【详解】由题意知，即，由正弦函数的性质可解得，即的定义域为.故答案.11.如图，单位圆被点分为12等份，其中.角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则__________；若，则角的终边与单位圆交于点__________.（从中选择，写出所有满足要求的点）【答案】①.②.【解析】【分析】求出终边经过则对应的角和的关系.【详解】，所以终边经过则角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则，所以，即或即或经过点故答案为：；12.已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________，_________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为在上单调递增，若，则，取，则，即，令，则，因为，则，即，则.不妨取，即满足题意.故答案为：.13.已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】根据函数的对称性求出，即可求出函数解析式，再根据的取值范围，求出的取值范围，根据余弦函数的性质得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，所以，，即，，又，所以，从而.因为，所以，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，故的最大值为.故答案为：14.已知函数，给出下列四个结论：①存在无数个零点；②区间是的单调递增区间；③若，则；④在上无最大值.其中所有正确结论的序号为_____.【答案】①③【解析】【分析】解方程，可判断①；利用特值法可判断②；推导出，可判断③；分析函数在区间上的最大值点在区间内，再根据最值定理可判断④.【详解】对于①，由，解得函数的定义域为，令，可得，则，故，所以函数有无数个零点，①正确；对于②，，，因为，所以，故函数在上不可能单调递增，故②错误；对于③，对任意的，，，所以当时，有，故③正确；对于④，当时，，令，可得，，解得，，假设函数在上的最大值点为，则，设，因为，则，所以，则，所以在上存在最大值点，则，又因为在上是一条连续不断的曲线，所以函数在上存在最大值，故函数在上存在最大值，④错误；综上，①③正确.故答案为：①③.三、解答题（共44分）15.已知函数，.（1）填写下表，用“五点法”作函数在一个周期内的图象；

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0（2）函数的最小正周期_____；（3）求函数的单调增区间和对称中心.【答案】（1）见解析（2）（3）单调递增区间：，；对称中心：.【解析】【分析】(1)利用给定的角依次求出对应的三角函数值，进而填表，结合“五点法”画出图象即可；(2)根据正弦函数的周期公式计算即可；(3)利用整体代入法结合正弦函数的周期性和对称性求解即可.【小问1详解】x00200函数图象如图所示，【小问2详解】由，可知；【小问3详解】令，，得，.所以函数的单调递增区间：，.令，得，即的对称中心为：.16.已知和是关于x的方程的两实根，且．（1）求m的值；（2）求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式化简即得；（2）由题可得，然后根据同角关系式将弦化切，计算即可求得.【小问1详解】由题可知，又，得．【小问2详解】因为且，则且，而，解得（舍）或．综上，．17.已知某地某一天4点~16点的温度变化近似满足函，.（1）求该地区这一天这一段时间内的最大温差；（2）直接写出当天这段时间内，16点的温度与哪些时刻的温度相等？（3）某种细菌能在温度不低于条件下生存，在4点～16点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间?【答案】（1）（2）点（3）小时【解析】【分析】（1）利用正弦型函数来求指定区间内的最值即可求解；（2）利用正弦函数值在指定区间内有两解来求另一个解即可；（3）利用正弦型函数满足的不等式，结合指定区间，即可求解.【小问1详解】当时，有，则，此时函数在时取到最大值为，在时取到最小值为，所以该地区这一天这一段时间内的最大温差为；【小问2详解】当时，，则，根据，可知，所以16点的温度与12点的温度相等；【小问3详解】由题意可得：，因为，所以可得：，解得：，所以该细菌能生存的最长时间为小时.18.设，，再从下面三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定..（1）求的解析式；（2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.条件①：对任意的，都有；条件②：最小正周期为；条件③：在上为增函数.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选择②③，结合三角函数的图象与性质，求得的值，即可求得函数的解析式；但选择①②或①③无法确定的值.（2）由，再由，求得，根据题意，转化为恒成立，令，结合为单调递增函数，求得，即可求解.【小问1详解】若选择①②：由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由对任意的，都有，可得关于对称，即，即，因为，可得或者，则无法确定；若选择①③：由对任意的，都有，可得关于对称，即，即，又由函数在为单调递增函数，可得，解得，又由，可得，因为函数在为增函数，则满足，解得，所以，即，解得，综上，则无法确定，则无法确定.若选择②③：由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由，可得，因为函数在为单调递增函数，则满足，解得，所以，所以；【小问2详解】由，因为，可得，所以，即，又由对任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，令，即恒成立，令在上为单调递增函数，则，所以，即实数的取值范围为.19.设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质.（1）判断函数和具有性质？(结论不要求证明)（2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值；（3）若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.【答案】（1）函数不具有性质，具有性质，（2）在上有最大值，（3）证明见解析【解析】分析】（1）直接利用性质判断；（2）由性质，可求出的函数解析式，利用三角函数的性质可求出其最大值；（3）由直线为图像的一条对称轴，可得，由性质可求得，再由直线为图像的一条对称轴，得，从而可得结论【详解】解：（1）因为函数是单调递增函数，所以函数不具有性质，当时，函数对于任意，成立，所以具有性质，（2）设，则，则题意