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文档简介

四川省雅安市雨城区雅安中学2025年初三1月第一次诊断数学试题理试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数,则该几何体的左视图是()A. B.C. D.2.下列计算正确的是(

).A.(x+y)2=x2+y2 B.(-xy2)3=-x3y6C.x6÷x3=x2 D.=23.下列说法:①-102②数轴上的点与实数成一一对应关系;③﹣2是16的平方根;④任何实数不是有理数就是无理数;⑤两个无理数的和还是无理数;⑥无理数都是无限小数,其中正确的个数有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个4.﹣6的倒数是()A.﹣16 B.15.如图,△ABC中,若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是()A. B.C. D.6.若点P(﹣3,y1)和点Q(﹣1,y2)在正比例函数y=﹣k2x(k≠0)图象上,则y1与y2的大小关系为()A.y1>y2B.y1≥y2C.y1<y2D.y1≤y27.下列运算结果是无理数的是()A.3× B. C. D.8.如图直线y=mx与双曲线y=交于点A、B,过A作AM⊥x轴于M点,连接BM,若S△AMB=2,则k的值是()A.1 B.2 C.3 D.49.等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是()A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数10.已知,下列说法中,不正确的是()A. B.与方向相同C. D.11.如图,小明从A处出发沿北偏西30°方向行走至B处,又沿南偏西50°方向行走至C处,此时再沿与出发时一致的方向行走至D处,则∠BCD的度数为()A.100° B.80° C.50° D.20°12.中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《2022相约北京》的文艺表演,会后表演视频在网络上推出,即刻转发量就超过810000这个数用科学记数法表示为()A.8.1×106 B.8.1×105 C.81×105 D.81×104二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,数轴上不同三点对应的数分别为,其中,则点表示的数是__________.14.使有意义的x的取值范围是______.15.小芸一家计划去某城市旅行,需要做自由行的攻略,父母给她分配了一项任务:借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐.小芸根据家人的喜好,选择了甲、乙、丙三家餐厅,对每家餐厅随机选取了1000条网络评价,统计如下:评价条数等级餐厅五星四星三星二星一星合计甲53821096129271000乙460187154169301000丙4863888113321000(说明:网上对于餐厅的综合评价从高到低,依次为五星、四星、三星、二星和一星.)小芸选择在________(填"甲”、“乙"或“丙”)餐厅用餐,能获得良好用餐体验(即评价不低于四星)的可能性最大.16.关于x的一元二次方程有实数根,则a的取值范围是__________.17.若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解,则m的值为______.18.如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上,则∠AEB=__________.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(-1,0)和点B(4,5).(1)求该抛物线的函数表达式.(2)求直线AB关于x轴对称的直线的函数表达式.(3)点P是x轴上的动点,过点P作垂直于x轴的直线l,直线l与该抛物线交于点M,与直线AB交于点N.当PM<PN时,求点P的横坐标的取值范围.20.(6分)如图1,在等边三角形中,为中线,点在线段上运动,将线段绕点顺时针旋转,使得点的对应点落在射线上,连接,设(且).(1)当时,①在图1中依题意画出图形,并求(用含的式子表示);②探究线段,,之间的数量关系,并加以证明;(2)当时,直接写出线段,,之间的数量关系.21.(6分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.治理杨絮一一您选哪一项?(单选)A.减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量B.调整树种结构,逐渐更换现有杨树C.选育无絮杨品种,并推广种植D.对雌性杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮E.其他根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.22.(8分)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.求证:△ADE∽△ABC;若AD=3,AB=5,求的值.23.(8分)(1)计算:|﹣2|﹣(π﹣2015)0+()﹣2﹣2sin60°+;(2)先化简,再求值:÷(2+),其中a=.24.(10分)如图,已知反比例函数和一次函数的图象相交于第一象限内的点A,且点A的横坐标为1.过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为1.求反比例函数和一次函数的解析式.若一次函数的图象与x轴相交于点C,求∠ACO的度数.结合图象直接写出:当>>0时,x的取值范围.25.(10分)某校诗词知识竞赛培训活动中,在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验,他们的10次成绩如下(单位:分):整理、分析过程如下,请补充完整.(1)按如下分数段整理、描述这两组数据:成绩x学生70≤x≤7475≤x≤7980≤x≤8485≤x≤8990≤x≤9495≤x≤100甲____________________________________乙114211(2)两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示:学生极差平均数中位数众数方差甲______83.7______8613.21乙2483.782______46.21(3)若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛,你会选______(填“甲”或“乙),理由为______.26.(12分)如图所示,PB是⊙O的切线,B为切点,圆心O在PC上,∠P=30°,D为弧BC的中点.(1)求证:PB=BC;(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由.27.(12分)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,﹣4),B(3,﹣2),C(6,﹣3).画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1;以M点为位似中心,在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2,使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2:1.

参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、D【解析】根据俯视图中每列正方形的个数,再画出从正面的,左面看得到的图形:几何体的左视图是:

.故选D.2、D【解析】分析:根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义计算,判断即可.详解:(x+y)2=x2+2xy+y2,A错误;(-xy2)3=-x3y6,B错误;x6÷x3=x3,C错误;==2,D正确;故选D.点睛:本题考查的是完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及算术平方根的计算,掌握完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义是解题的关键.3、C【解析】

根据平方根,数轴,有理数的分类逐一分析即可.【详解】①∵-102=10,∴②数轴上的点与实数成一一对应关系,故说法正确;③∵16=4,故-2是16的平方根,故说法正确;④任何实数不是有理数就是无理数,故说法正确;⑤两个无理数的和还是无理数,如2和-2⑥无理数都是无限小数,故说法正确;故正确的是②③④⑥共4个;故选C.本题考查了有理数的分类,数轴及平方根的概念,有理数都可以化为小数,其中整数可以看作小数点后面是零的小数,分数可以化为有限小数或无限循环小数;无理数是无限不循环小数,其中有开方开不尽的数,如2,4、A【解析】解:﹣6的倒数是﹣165、C【解析】

根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系,对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解:∵DE∥BC,∴=,BD≠BC,∴≠,选项A不正确;∵DE∥BC,EF∥AB,∴=,EF=BD,=,∵≠,∴≠,选项B不正确;∵EF∥AB,∴=,选项C正确;∵DE∥BC,EF∥AB,∴=,=,CE≠AE,∴≠,选项D不正确;故选C.本题考查了平行线分线段成比例定理;熟练掌握平行线分线段成比例定理,在解答时寻找对应线段是关健.6、A【解析】

分别将点P(﹣3,y1)和点Q(﹣1,y2)代入正比例函数y=﹣k2x,求出y1与y2的值比较大小即可.【详解】∵点P(﹣3,y1)和点Q(﹣1,y2)在正比例函数y=﹣k2x(k≠0)图象上,∴y1=﹣k2×(-3)=3k2,y2=﹣k2×(-1)=k2,∵k≠0,∴y1>y2.故答案选A.本题考查了正比例函数,解题的关键是熟练的掌握正比例函数的知识点.7、B【解析】

根据二次根式的运算法则即可求出答案.【详解】A选项:原式=3×2=6,故A不是无理数;B选项:原式=,故B是无理数;C选项:原式==6,故C不是无理数;D选项:原式==12,故D不是无理数故选B.考查二次根式的运算,解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则,本题属于基础题型.8、B【解析】

此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称,再由S△ABM=1S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值.【详解】根据双曲线的对称性可得:OA=OB,则S△ABM=1S△AOM=1,S△AOM=|k|=1,则k=±1.又由于反比例函数图象位于一三象限,k>0,所以k=1.故选B.本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点.9、B【解析】

根据一次函数的定义,可得答案.【详解】设等腰三角形的底角为y,顶角为x,由题意,得x+2y=180,所以,y=﹣x+90°,即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系,故选B.本题考查了实际问题与一次函数,根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.10、A【解析】

根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案,注意掌握排除法在选择题中的应用.【详解】A、,故该选项说法错误B、因为,所以与的方向相同,故该选项说法正确,C、因为,所以,故该选项说法正确,D、因为,所以;故该选项说法正确,故选:A.本题考查了平面向量,注意,平面向量既有大小,又由方向,平行向量,也叫共线向量,是指方向相同或相反的非零向量.零向量和任何向量平行.11、B【解析】解:如图所示:由题意可得:∠1=30°,∠3=50°,则∠2=30°,故由DC∥AB,则∠4=30°+50°=80°.故选B.点睛:此题主要考查了方向角的定义,正确把握定义得出∠3的度数是解题关键.12、B【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】810000=8.1×1.

故选B.本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、1【解析】

根据两点间的距离公式可求B点坐标,再根据绝对值的性质即可求解.【详解】∵数轴上不同三点A、B、C对应的数分别为a、b、c,a=-4,AB=3,∴b=3+(-4)=-1,∵|b|=|c|,∴c=1.故答案为1.考查了实数与数轴,绝对值,关键是根据两点间的距离公式求得B点坐标.14、【解析】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使在实数范围内有意义,必须.15、丙【解析】

不低于四星,即四星与五星的和居多为符合题意的餐厅.【详解】不低于四星,即比较四星和五星的和,丙最多.故答案是:丙.考查了可能性的大小和统计表.解题的关键是将问题转化为比较四星和五星的和的多少.16、a≤1且a≠0【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根,∴,解得:,∴a的取值范围为:且.点睛:解本题时,需注意两点:(1)这是一道关于“x”的一元二次方程,因此;(2)这道一元二次方程有实数根,因此;这个条件缺一不可,尤其是第一个条件解题时很容易忽略.17、1【解析】试题分析:将x=﹣1代入方程得:1﹣3+m+1=0,解得:m=1.考点:一元二次方程的解.18、75【解析】因为△AEF是等边三角形,所以∠EAF=60°,AE=AF,因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD,∠B=∠D=∠BAD=90°.所以Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),所以∠BAE=∠DAF.所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°,所以∠BAE=15°,所以∠AEB=90°-15°=75°.故答案为75.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)(2)(3)【解析】

(1)根据待定系数法,可得二次函数的解析式;(2)根据待定系数法,可得AB的解析式,根据关于x轴对称的横坐标相等,纵坐标互为相反数,可得答案;(3)根据PM<PN,可得不等式,利用绝对值的性质化简解不等式,可得答案.【详解】(1)将A(﹣1,1),B(2,5)代入函数解析式,得:,解得:,抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;(2)设AB的解析式为y=kx+b,将A(﹣1,1),B(2,5)代入函数解析式,得:,解得:,直线AB的解析式为y=x+1,直线AB关于x轴的对称直线的表达式y=﹣(x+1),化简,得:y=﹣x﹣1;(3)设M(n,n2﹣2n﹣3),N(n,n+1),PM<PN,即|n2﹣2n﹣3|<|n+1|.∴|(n+1)(n-3)|-|n+1|<1,∴|n+1|(|n-3|-1)<1.∵|n+1|≥1,∴|n-3|-1<1,∴|n-3|<1,∴-1<n-3<1,解得:2<n<2.故当PM<PN时,求点P的横坐标xP的取值范围是2<xP<2.本题考查了二次函数综合题.解(1)的关键是待定系数法,解(2)的关键是利用关于x轴对称的横坐标相等,纵坐标互为相反数;解(3)的关键是利用绝对值的性质化简解不等式.20、(1)①;②;(2)【解析】

(1)①先根据等边三角形的性质的,进而得出,最后用三角形的内角和定理即可得出结论;②先判断出,得出,再判断出是底角为30度的等腰三角形,再构造出直角三角形即可得出结论;(2)同②的方法即可得出结论.【详解】(1)当时,①画出的图形如图1所示,∵为等边三角形,∴.∵为等边三角形的中线∴是的垂直平分线,∵为线段上的点,∴.∵,∴,.∵线段为线段绕点顺时针旋转所得,∴.∴.∴,∴;②;如图2,延长到点,使得,连接,作于点.∵,点在上,∴.∵点在的延长线上,,∴.∴.又∵,,∴.∴.∵于点,∴,.∵在等边三角形中,为中线,点在上,∴,即为底角为的等腰三角形.∴.∴.(2)如图3,当时,在上取一点使,∵为等边三角形,∴.∵为等边三角形的中线,∵为线段上的点,∴是的垂直平分线,∴.∵,∴,.∵线段为线段绕点顺时针旋转所得,∴.∴.∴,又∵,,∴.∴.∵于点,∴,.∵在等边三角形中,为中线,点在上,∴,∴.∴.此题是几何变换综合题,主要考查了等边三角形的性质,三角形的内角和定理,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数,作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键.21、(1)2000;(2)28.8°;(3)补图见解析;(4)36万人.【解析】分析:(1)将A选项人数除以总人数即可得;(2)用360°乘以E选项人数所占比例可得;(3)用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数,据此补全图形即可得;(4)用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得.详解:(1)本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人,(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°,(3)D选项的人数为2000×25%=500,补全条形图如下:(4)估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数为90×40%=36(万人).点睛:本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.22、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)由于AG⊥BC,AF⊥DE,所以∠AFE=∠AGC=90°,从而可证明∠AED=∠ACB,进而可证明△ADE∽△ABC;(2)△ADE∽△ABC,,又易证△EAF∽△CAG,所以,从而可求解.【详解】(1)∵AG⊥BC,AF⊥DE,∴∠AFE=∠AGC=90°,∵∠EAF=∠GAC,∴∠AED=∠ACB,∵∠EAD=∠BAC,∴△ADE∽△ABC,(2)由(1)可知:△ADE∽△ABC,∴由(1)可知:∠AFE=∠AGC=90°,∴∠EAF=∠GAC,∴△EAF∽△CAG,∴,∴=考点:相似三角形的判定23、(1)5+;(2)【解析】试题分析:(1)先分别进行绝对值化简,0指数幂、负指数幂的计算,特殊三角函数值、二次根式的化简,然后再按运算顺序进行计算即可;(2)括号内先通分进行加法运算,然后再进行分式除法运算,最后代入数值进行计算即可.试题解析:(1)原式=2﹣1+4﹣2×+2=2﹣1+4﹣+2=5+;(2)原式==,当a=时,原式==.24、(1)y=;y=x+1;(2)∠ACO=45°;(3)0<x<1.【解析】

(1)根据△AOB的面积可求AB,得A点坐标.从而易求两个函数的解析式;(2)求出C点坐标,在△ABC中运用三角函数可求∠ACO的度数;(3)观察第一象限内的图形,反比例函数的图象在一次函数的图象的上面部分对应的x的值即为取值范围.【详解】(1)∵△AOB的面积为1,并且点A在第一象限,∴k=2,∴y=;∵点A的横坐标为1,∴A(1,2).把A(1,2)代入y=ax+1得,a=1.∴y=x+1.(2)令y=0,0=x+1,∴x=−1,∴C(−1,0).∴OC=1,BC=OB+OC=2.∴AB=CB,∴∠ACO=45°.(3)由图象可知,在第一象限,当y>y>0时,0<x<1.在第三象限,当y>y>0时,−1<x<0(舍去).此题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题关键在于结合函数图象进行解答.25、(1)0,1,4,5,0,0;(2)14,84.5,1;(3)甲,理由见解析【解析】

(1)根据折线统计图数字进行填表即可;(2)根据稽查,中位数,众数的计算方法,求得甲成绩的极差,中位数,乙成绩的极差,众数即可;(3)可分别从平均数、方差、极差三方面进行比较.【详解】(1)由图可知:甲的成绩为:75,84,89,82,86,1,86,83,85,86,∴70⩽x⩽74无,共0个;75⩽x⩽79之间有75,共1个;8

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