精算师历年真题答案2024

精算师历年真题答案汇总2024

寿险精算部分

1.已知生命表中$l_{x}=1000(1-\frac{x}{100})$，$0\leqx\leq100$，求$_{5}p_{30}$。

-首先明确$_{n}p_{x}=\frac{l_{x+n}}{l_{x}}$。

-已知$l_{x}=1000(1-\frac{x}{100})$，则$l_{30}=1000(1-\frac{30}{100})=700$，$l_{30+5}=l_{35}=1000(1-\frac{35}{100})=650$。

-所以$_{5}p_{30}=\frac{l_{35}}{l_{30}}=\frac{650}{700}=\frac{13}{14}\approx0.9286$。

2.设某险种的死亡力$\mu_{x}=\frac{1}{100-x}$，$0\leqx\lt100$，求$_{10}q_{30}$。

-先求$_{n}q_{x}=1-_{n}p_{x}$，而$_{n}p_{x}=e^{-\int_{x}^{x+n}\mu_{s}ds}$。

-计算$\int_{30}^{40}\mu_{s}ds=\int_{30}^{40}\frac{1}{100-s}ds$，令$u=100-s$，$du=-ds$。当$s=30$，$u=70$；当$s=40$，$u=60$。则$\int_{30}^{40}\frac{1}{100-s}ds=-\int_{70}^{60}\frac{1}{u}du=\int_{60}^{70}\frac{1}{u}du=\ln\frac{70}{60}$。

-所以$_{10}p_{30}=e^{-\ln\frac{70}{60}}=\frac{60}{70}$，$_{10}q_{30}=1-\frac{60}{70}=\frac{1}{7}\approx0.1429$。

3.对于保额为1的完全连续型终身寿险，已知$\mu_{x}=0.02$，$\delta=0.05$，求该寿险的趸缴纯保费$\overline{A}_{x}$。

-根据公式$\overline{A}_{x}=\frac{\mu}{\mu+\delta}$。

-已知$\mu=0.02$，$\delta=0.05$，则$\overline{A}_{x}=\frac{0.02}{0.02+0.05}=\frac{2}{7}\approx0.2857$。

4.对于保额为1的20年期定期寿险，$i=0.05$，$q_{x}=0.02$，$q_{x+1}=0.03$，$\cdots$，$q_{x+19}=0.21$，求趸缴纯保费$A_{x:\overline{20}|}^{1}$。

-根据公式$A_{x:\overline{n}|}^{1}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k+1}_{k}p_{x}q_{x+k}$，其中$v=\frac{1}{1+i}$。

-先计算$v=\frac{1}{1+0.05}\approx0.9524$。

-$_{0}p_{x}=1$，$A_{x:\overline{20}|}^{1}=vq_{x}+v^{2}_{1}p_{x}q_{x+1}+\cdots+v^{20}_{19}p_{x}q_{x+19}$。

-$_{1}p_{x}=(1-q_{x})$，$_{2}p_{x}=(1-q_{x})(1-q_{x+1})$，以此类推。

-具体计算：

-第1项：$vq_{x}=0.9524\times0.02=0.0190$。

-第2项：$v^{2}_{1}p_{x}q_{x+1}=0.9524^{2}\times(1-0.02)\times0.03\approx0.0262$。

-依次计算各项并求和可得$A_{x:\overline{20}|}^{1}$的值（计算过程较繁琐，可借助计算机辅助计算）。

5.对于完全连续型10年期两全保险，保额为1000，$\mu_{x}=0.03$，$\delta=0.04$，求趸缴纯保费。

-完全连续型10年期两全保险趸缴纯保费$\overline{A}_{x:\overline{10}|}=\overline{A}_{x:\overline{10}|}^{1}+_{10}E_{x}$。

-先求$\overline{A}_{x:\overline{10}|}^{1}=\int_{0}^{10}v^{t}_{t}p_{x}\mu_{x+t}dt$，其中$v^{t}=e^{-\deltat}$，$_{t}p_{x}=e^{-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds}=e^{-0.03t}$。

-则$\overline{A}_{x:\overline{10}|}^{1}=\int_{0}^{10}e^{-0.04t}e^{-0.03t}\times0.03dt=0.03\int_{0}^{10}e^{-0.07t}dt$。

-令$u=-0.07t$，$du=-0.07dt$，当$t=0$，$u=0$；当$t=10$，$u=-0.7$。

-$\overline{A}_{x:\overline{10}|}^{1}=\frac{0.03}{0.07}(1-e^{-0.7})\approx0.244$。

-再求$_{10}E_{x}=v^{10}_{10}p_{x}=e^{-0.04\times10}e^{-0.03\times10}=e^{-0.7}\approx0.497$。

-所以$\overline{A}_{x:\overline{10}|}=\overline{A}_{x:\overline{10}|}^{1}+_{10}E_{x}\approx0.244+0.497=0.741$，保额为1000时，趸缴纯保费为$1000\times0.741=741$。

6.已知某寿险保单每年初缴纳保费$P$，保额为10000，保险期限为20年，$i=0.06$，$_{20}E_{x}=0.2$，$A_{x:\overline{20}|}^{1}=0.15$，求$P$。

-根据收支平衡原理，$P\ddot{a}_{x:\overline{20}|}=10000A_{x:\overline{20}|}$。

-又因为$A_{x:\overline{20}|}=A_{x:\overline{20}|}^{1}+_{20}E_{x}=0.15+0.2=0.35$。

-且$\ddot{a}_{x:\overline{20}|}=\frac{1-A_{x:\overline{20}|}}{d}$，$d=\frac{i}{1+i}=\frac{0.06}{1+0.06}\approx0.0566$。

-则$\ddot{a}_{x:\overline{20}|}=\frac{1-0.35}{0.0566}\approx11.48$。

-所以$P=\frac{10000\times0.35}{11.48}\approx305$。

7.对于保额为1的3年期定期寿险，$q_{x}=0.01$，$q_{x+1}=0.02$，$q_{x+2}=0.03$，$i=0.05$，计算$A_{x:\overline{3}|}^{1}$。

-根据公式$A_{x:\overline{n}|}^{1}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k+1}_{k}p_{x}q_{x+k}$，$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}\approx0.9524$。

-$_{0}p_{x}=1$，第1项：$vq_{x}=0.9524\times0.01=0.0095$。

-$_{1}p_{x}=1-q_{x}=0.99$，第2项：$v^{2}_{1}p_{x}q_{x+1}=0.9524^{2}\times0.99\times0.02\approx0.0177$。

-$_{2}p_{x}=(1-q_{x})(1-q_{x+1})=0.99\times0.98=0.9702$，第3项：$v^{3}_{2}p_{x}q_{x+2}=0.9524^{3}\times0.9702\times0.03\approx0.0253$。

-$A_{x:\overline{3}|}^{1}=0.0095+0.0177+0.0253=0.0525$。

8.设$\mu_{x}=0.04$，$\delta=0.06$，求$\overline{a}_{x}$。

-根据公式$\overline{a}_{x}=\frac{1}{\mu+\delta}$。

-已知$\mu=0.04$，$\delta=0.06$，则$\overline{a}_{x}=\frac{1}{0.04+0.06}=10$。

9.对于保额为1的15年期生存保险，$_{15}E_{x}=0.3$，求趸缴纯保费。

-15年期生存保险趸缴纯保费就是$_{15}E_{x}$，所以趸缴纯保费为0.3。

10.已知某终身寿险，每年初缴保费$P$，保额为5000，$\ddot{a}_{x}=12$，$A_{x}=0.4$，求$P$。

-根据收支平衡原理$P\ddot{a}_{x}=5000A_{x}$。

-则$P=\frac{5000\times0.4}{12}\approx166.67$。

非寿险精算部分

11.已知某保险标的在过去5年的损失额分别为100，200，300，400，500，用算术平均数估计下一年的损失额。

-算术平均数$\bar{x}=\frac{100+200+300+400+500}{5}=\frac{1500}{5}=300$。所以估计下一年的损失额为300。

12.某保险公司承保了100个独立的风险单位，每个风险单位在一年内发生损失的概率为0.1，若用泊松分布近似二项分布计算至少有2个风险单位发生损失的概率。

-二项分布$X\simB(n,p)$，这里$n=100$，$p=0.1$，则$\lambda=np=100\times0.1=10$。

-泊松分布$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}$。

-$P(X\geq2)=1-P(X=0)-P(X=1)$。

-$P(X=0)=\frac{e^{-10}\times10^{0}}{0!}=e^{-10}\approx0.000045$。

-$P(X=1)=\frac{e^{-10}\times10^{1}}{1!}=10e^{-10}\approx0.00045$。

-所以$P(X\geq2)=1-(0.000045+0.00045)=0.999505$。

13.已知损失额$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}2e^{-2x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}$，求$E(X)$和$Var(X)$。

-期望$E(X)=\int_{0}^{\infty}x\cdotf(x)dx=\int_{0}^{\infty}x\cdot2e^{-2x}dx$。

-利用分部积分法，令$u=x$，$dv=2e^{-2x}dx$，则$du=dx$，$v=-e^{-2x}$。

-$E(X)=\left[-xe^{-2x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-2x}dx$。

-$\lim_{x\rightarrow\infty}-xe^{-2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}-\frac{x}{e^{2x}}$，使用洛必达法则，$\lim_{x\rightarrow\infty}-\frac{x}{e^{2x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}-\frac{1}{2e^{2x}}=0$。

-$\int_{0}^{\infty}e^{-2x}dx=\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{2}$，所以$E(X)=\frac{1}{2}$。

-先求$E(X^{2})=\int_{0}^{\infty}x^{2}\cdot2e^{-2x}dx$，再用分部积分法，令$u=x^{2}$，$dv=2e^{-2x}dx$，$du=2xdx$，$v=-e^{-2x}$。

-$E(X^{2})=\left[-x^{2}e^{-2x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}2xe^{-2x}dx$。

-$\lim_{x\rightarrow\infty}-x^{2}e^{-2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}-\frac{x^{2}}{e^{2x}}$，使用洛必达法则两次可得极限为0，而$\int_{0}^{\infty}2xe^{-2x}dx=E(X)=\frac{1}{2}$，所以$E(X^{2})=\frac{1}{2}$。

-方差$Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$。

14.某保险公司的索赔次数$N$服从参数为$\lambda=5$的泊松分布，每次索赔额$X$服从均值为200的指数分布，且索赔次数与索赔额相互独立，求总索赔额$S$的期望和方差。

-根据复合泊松分布的性质，$E(S)=E(N)E(X)$，$Var(S)=E(N)E(X^{2})$。

-已知$E(N)=\lambda=5$，对于指数分布$X$，$E(X)=200$，$E(X^{2})=2\times(200)^{2}=80000$。

-所以$E(S)=5\times200=1000$，$Var(S)=5\times80000=400000$。

15.已知某保险业务的纯保费为100，费用率为20%，求毛保费。

-毛保费=纯保费÷(1-费用率)。

-则毛保费$=\frac{100}{1-0.2}=125$。

16.某保险标的的损失额$X$服从正态分布$N(500,100^{2})$，求损失额超过600的概率。

-令$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$，其中$\mu=500$，$\sigma=100$。

-则$P(X\gt600)=P\left(Z\gt\frac{600-500}{100}\right)=P(Z\gt1)$。

-因为$P(Z\gt1)=1-P(Z\leq1)$，查标准正态分布表得$P(Z\leq1)=0.8413$，所以$P(X\gt600)=1-0.8413=0.1587$。

17.已知某险种的索赔次数$N$服从二项分布$B(100,0.05)$，用正态分布近似计算索赔次数在4到6之间（包括4和6）的概率。

-二项分布$X\simB(n,p)$，$E(N)=np=100\times0.05=5$，$Var(N)=np(1-p)=100\times0.05\times(1-0.05)=4.75$。

-用正态近似$N\approxN(np,np(1-p))=N(5,4.75)$。

-$P(4\leqN\leq6)=P\left(\frac{4-5}{\sqrt{4.75}}\leq\frac{N-5}{\sqrt{4.75}}\leq\frac{6-5}{\sqrt{4.75}}\right)=P\left(-0.46\leqZ\leq0.46\right)$。

-$P\left(-0.46\leqZ\leq0.46\right)=\Phi(0.46)-\Phi(-0.46)=2\Phi(0.46)-1$，查标准正态分布表得$\Phi(0.46)=0.6772$，所以$P(4\leqN\leq6)=2\times0.6772-1=0.3544$。

18.某保险公司有1000个独立的风险单位，每个风险单位在一年内发生损失的概率为0.01，用正态分布近似计算一年内发生损失的风险单位数不超过15个的概率。

-设发生损失的风险单位数为$X$，$X\simB(1000,0.01)$，$E(X)=np=1000\times0.01=10$，$Var(X)=np(1-p)=1000\times0.01\times(1-0.01)=9.9$。

-用正态近似$X\approxN(10,9.9)$。

-$P(X\leq15)=P\left(Z\leq\frac{15-10}{\sqrt{9.9}}\right)=P(Z\leq1.59)$。

-查标准正态分布表得$P(Z\leq1.59)=0.9441$。

19.已知损失额$X$的分布函数为$F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\\frac{x^{2}}{100},&0\leqx\lt10\\1,&x\geq10\end{cases}$，求$E(X)$。

-概率密度函数$f(x)=F^\prime(x)=\begin{cases}\frac{x}{50},&0\leqx\lt10\\0,&\text{其他}\end{cases}$。

-$E(X)=\int_{0}^{10}x\cdot\frac{x}{50}dx=\frac{1}{50}\int_{0}^{10}x^{2}dx=\frac{1}{50}\times\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{10}=\frac{1000}{150}=\frac{20}{3}\approx6.67$。

20.某保险业务的费率厘定采用纯保费法，已知过去3年的纯保费分别为80，90，100，若权重分别为0.2，0.3，0.5，求加权平均纯保费。

-加权平均纯保费$=80\times0.2+90\times0.3+100\times0.5=16+27+50=93$。

金融数学部分

21.已知年利率$i=0.06$，按半年复利计息，求实际利率$i_{eff}$。

-根据公式$i_{eff}=\left(1+\frac{i}{m}\right)^{m}-1$，这里$m=2$，$i=0.06$。

-则$i_{eff}=\left(1+\frac{0.06}{2}\right)^{2}-1=(1+0.03)^{2}-1=0.0609$。

22.某人在年初存入银行1000元，年利率为5%，按连续复利计息，求5年后的本利和。

-连续复利公式$A=Pe^{\deltat}$，其中$P=1000$，$\delta=\ln(1+i)=\ln(1+0.05)\approx0.0488$，$t=5$。

-则$A=1000e^{0.0488\times5}=1000e^{0.244}\approx1276.28$。

23.已知年金每年末支付100元，共支付10年，年利率为6%，求该年金的终值$S_{\overline{10}|}$。

-根据普通年金终值公式$S_{\overline{n}|}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$。

-这里$i=0.06$，$n=10$，$S_{\overline{10}|}=\frac{(1+0.06)^{10}-1}{0.06}\approx13.1808$。

-年金终值为$100\times13.1808=1318.08$元。

24.已知年金每年初支付200元，共支付8年，年利率为4%，求该年金的现值$\ddot{a}_{\overline{8}|}$。

-先求$\ddot{a}_{\overline{n}|}=\frac{1-v^{n}}{d}$，其中$v=\frac{1}{1+i}$，$d=\frac{i}{1+i}$。

-$v=\frac{1}{1+0.04}\approx0.9615$，$d=\frac{0.04}{1+0.04}\approx0.0385$。

-$\ddot{a}_{\overline{8}|}=\frac{1-0.9615^{8}}{0.0385}\approx6.7327$。

-年金现值为$200\times6.7327=1346.54$元。

25.某人贷款10000元，年利率为8%，分5年等额年末偿还，求每年的还款额$R$。

-根据等额年金还款公式$P=R\timesa_{\overline{n}|}$，$a_{\overline{n}|}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$。

-这里$P=10000$，$i=0.08$，$n=5$，$a_{\overline{5}|}=\frac{1-(1+0.08)^{-5}}{0.08}\approx3.9927$。

-则$R=\frac{10000}{3.9927}\approx2504.56$元。

26.已知债券面值为1000元，票面利率为5%，期限为3年，每年末付息一次，市场利率为6%，求该债券的价格。

-债券价格$P=C\timesr\timesa_{\overline{n}|}+C\timesv^{n}$，其中$C=1000$，$r=0.05$，$i=0.06$，$n=3$。

-$a_{\overline{3}|}=\frac{1-(1+0.06)