精算师必考题含答案2024

精算师必考题含答案2024选择题

1.已知随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda=2\)的泊松分布，则\(P(X=3)\)的值为（）

A.\(\frac{2^3e^{-2}}{3!}\)

B.\(\frac{3^2e^{-3}}{2!}\)

C.\(\frac{2^3e^{-3}}{3!}\)

D.\(\frac{3^2e^{-2}}{2!}\)

答案：A。根据泊松分布的概率质量函数\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，当\(\lambda=2\)，\(k=3\)时，\(P(X=3)=\frac{2^3e^{-2}}{3!}\)。

2.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的简单随机样本，\(\overline{X}\)是样本均值，\(S^2\)是样本方差，则下面结论正确的是（）

A.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)

B.\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)

C.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simN(0,1)\)

D.\(\frac{S^2}{\sigma^2}\simF(n-1,n-1)\)

答案：B。由抽样分布的知识可知，若\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的简单随机样本，则\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)。

3.某保险公司承保的某类风险的损失额\(X\)服从指数分布，其概率密度函数为\(f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x\gt0\)，已知\(E(X)=5\)，则\(P(X\gt10)\)的值为（）

A.\(e^{-2}\)

B.\(1-e^{-2}\)

C.\(e^{-0.5}\)

D.\(1-e^{-0.5}\)

答案：A。因为指数分布的期望\(E(X)=\theta\)，已知\(E(X)=5\)，所以\(\theta=5\)。\(P(X\gt10)=\int_{10}^{+\infty}\frac{1}{5}e^{-\frac{x}{5}}dx=-e^{-\frac{x}{5}}\big|_{10}^{+\infty}=e^{-2}\)。

4.若利率\(i=0.05\)，则\(10\)年末的\(1000\)元在第\(5\)年末的现值为（）

A.\(1000(1+0.05)^{-5}\)

B.\(1000(1+0.05)^{5}\)

C.\(1000(1+0.05)^{-10}\)

D.\(1000(1+0.05)^{10}\)

答案：A。根据现值公式\(PV=FV(1+i)^{-n}\)，其中\(FV=1000\)，\(i=0.05\)，\(n=5\)，所以\(10\)年末的\(1000\)元在第\(5\)年末的现值为\(1000(1+0.05)^{-5}\)。

5.已知一组数据\(2,4,6,8,10\)，则这组数据的标准差为（）

A.\(\sqrt{8}\)

B.\(\sqrt{10}\)

C.\(\sqrt{12}\)

D.\(\sqrt{14}\)

答案：A。首先求均值\(\overline{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6\)，然后根据标准差公式\(s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n}}\)，\((2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=16+4+0+4+16=40\)，\(s=\sqrt{\frac{40}{5}}=\sqrt{8}\)。

6.某保险产品的赔付额\(X\)满足：当损失小于等于\(100\)时，赔付损失的\(80\%\)；当损失大于\(100\)时，赔付\(80\)。若损失额\(Y\)服从\([0,200]\)上的均匀分布，则该保险产品的赔付额\(X\)的期望为（）

A.\(32\)

B.\(40\)

C.\(48\)

D.\(56\)

答案：C。

当\(0\leqY\leq100\)时，\(X=0.8Y\)；当\(100\ltY\leq200\)时，\(X=80\)。

\(E(X)=\int_{0}^{100}0.8y\times\frac{1}{200}dy+\int_{100}^{200}80\times\frac{1}{200}dy\)

\(\int_{0}^{100}0.8y\times\frac{1}{200}dy=\frac{0.8}{200}\times\frac{y^2}{2}\big|_{0}^{100}=\frac{0.8}{400}\times10000=20\)

\(\int_{100}^{200}80\times\frac{1}{200}dy=\frac{80}{200}\times(200-100)=40\)

\(E(X)=20+28=48\)。

7.已知\(A\)、\(B\)为两个事件，\(P(A)=0.3\)，\(P(B)=0.4\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，则\(P(A\capB)\)的值为（）

A.\(0.1\)

B.\(0.2\)

C.\(0.3\)

D.\(0.4\)

答案：A。根据概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)\)，可得\(P(A\capB)=P(A)+P(B)-P(A\cupB)=0.3+0.4-0.6=0.1\)。

8.若一个年金在每年年初支付\(1\)元，共支付\(n\)年，利率为\(i\)，则该年金的现值为（）

A.\(\ddot{a}_{\overline{n}|i}\)

B.\(a_{\overline{n}|i}\)

C.\(\ddot{s}_{\overline{n}|i}\)

D.\(s_{\overline{n}|i}\)

答案：A。年初支付的年金为期初年金，其现值记为\(\ddot{a}_{\overline{n}|i}\)。

9.设随机变量\(X\)和\(Y\)的方差分别为\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，协方差\(Cov(X,Y)=-3\)，则\(D(X-Y)\)的值为（）

A.\(1\)

B.\(7\)

C.\(13\)

D.\(19\)

答案：C。根据方差的性质\(D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=4+9-2\times(-3)=4+9+6=19\)。

10.已知某风险的损失分布函数为\(F(x)=1-e^{-0.2x},x\geq0\)，则该风险的损失密度函数为（）

A.\(f(x)=0.2e^{-0.2x},x\geq0\)

B.\(f(x)=-0.2e^{-0.2x},x\geq0\)

C.\(f(x)=e^{-0.2x},x\geq0\)

D.\(f(x)=-e^{-0.2x},x\geq0\)

答案：A。对分布函数\(F(x)\)求导可得密度函数\(f(x)=F^\prime(x)=0.2e^{-0.2x},x\geq0\)。

11.若\(X\)服从参数为\(n=10\)，\(p=0.3\)的二项分布，则\(E(X)\)和\(D(X)\)分别为（）

A.\(E(X)=3\)，\(D(X)=2.1\)

B.\(E(X)=7\)，\(D(X)=2.1\)

C.\(E(X)=3\)，\(D(X)=0.9\)

D.\(E(X)=7\)，\(D(X)=0.9\)

答案：A。对于二项分布\(X\simB(n,p)\)，期望\(E(X)=np\)，方差\(D(X)=np(1-p)\)。当\(n=10\)，\(p=0.3\)时，\(E(X)=10\times0.3=3\)，\(D(X)=10\times0.3\times(1-0.3)=2.1\)。

12.某保险业务在一年内的索赔次数\(N\)服从参数为\(\lambda=2\)的泊松分布，每次索赔的金额\(X_i\)相互独立且都服从均值为\(500\)的指数分布，且索赔次数与索赔金额相互独立，则该保险业务一年内的总索赔金额\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的期望为（）

A.\(500\)

B.\(1000\)

C.\(1500\)

D.\(2000\)

答案：B。根据复合泊松分布的期望公式\(E(S)=E(N)E(X)\)，已知\(E(N)=\lambda=2\)，\(E(X)=500\)，所以\(E(S)=2\times500=1000\)。

13.已知\(i=0.06\)，则\(d\)（贴现率）的值为（）

A.\(\frac{0.06}{1+0.06}\)

B.\(\frac{1}{1+0.06}\)

C.\(0.06(1+0.06)\)

D.\(1+0.06\)

答案：A。贴现率\(d=\frac{i}{1+i}\)，当\(i=0.06\)时，\(d=\frac{0.06}{1+0.06}\)。

14.设\(X\)服从正态分布\(N(0,1)\)，\(Y=2X+3\)，则\(Y\)服从（）

A.\(N(0,1)\)

B.\(N(3,4)\)

C.\(N(3,2)\)

D.\(N(0,4)\)

答案：B。若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(Y=aX+b\)，则\(Y\simN(a\mu+b,a^2\sigma^2)\)。已知\(X\simN(0,1)\)，\(a=2\)，\(b=3\)，所以\(Y\simN(2\times0+3,2^2\times1)=N(3,4)\)。

15.某保险公司对一类风险的纯保费厘定采用经验估费法，已知过去三年的索赔数据分别为\(100\)，\(120\)，\(140\)，则该类风险的纯保费估计值为（）

A.\(100\)

B.\(120\)

C.\(140\)

D.\(160\)

答案：B。纯保费估计值可采用算术平均值，\(\frac{100+120+140}{3}=120\)。

16.若随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}kx,0\leqx\leq2\\0,其他\end{cases}\)，则\(k\)的值为（）

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(1\)

C.\(\frac{3}{4}\)

D.\(\frac{4}{3}\)

答案：A。由概率密度函数的性质\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，即\(\int_{0}^{2}kxdx=1\)，\(k\times\frac{x^2}{2}\big|_{0}^{2}=1\)，\(2k=1\)，解得\(k=\frac{1}{2}\)。

17.一个期末付年金每年支付\(1\)元，共支付\(n\)年，利率为\(i\)，则该年金的终值为（）

A.\(a_{\overline{n}|i}\)

B.\(\ddot{a}_{\overline{n}|i}\)

C.\(s_{\overline{n}|i}\)

D.\(\ddot{s}_{\overline{n}|i}\)

答案：C。期末付年金的终值记为\(s_{\overline{n}|i}\)。

18.已知\(A\)、\(B\)为两个独立事件，\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.6\)，则\(P(A\capB)\)的值为（）

A.\(0.1\)

B.\(0.2\)

C.\(0.3\)

D.\(0.4\)

答案：C。因为\(A\)、\(B\)独立，所以\(P(A\capB)=P(A)P(B)=0.5\times0.6=0.3\)。

19.设随机变量\(X\)服从均匀分布\(U(0,5)\)，则\(P(1\ltX\lt3)\)的值为（）

A.\(\frac{1}{5}\)

B.\(\frac{2}{5}\)

C.\(\frac{3}{5}\)

D.\(\frac{4}{5}\)

答案：B。均匀分布\(U(a,b)\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},a\ltx\ltb\\0,其他\end{cases}\)，这里\(a=0\)，\(b=5\)，\(f(x)=\frac{1}{5}\)，\(P(1\ltX\lt3)=\int_{1}^{3}\frac{1}{5}dx=\frac{3-1}{5}=\frac{2}{5}\)。

20.某保险产品的费率厘定采用损失率法，已知过去五年的保费收入分别为\(100\)，\(120\)，\(140\)，\(160\)，\(180\)，对应的赔款支出分别为\(80\)，\(90\)，\(100\)，\(110\)，\(120\)，则该保险产品的损失率为（）

A.\(0.6\)

B.\(0.7\)

C.\(0.8\)

D.\(0.9\)

答案：B。总保费收入\(=100+120+140+160+180=700\)，总赔款支出\(=80+90+100+110+120=500\)，损失率\(=\frac{500}{700}\approx0.7\)。

21.若\(X\)服从参数为\(\lambda\)的指数分布，其分布函数为\(F(x)\)，则\(F(2)-F(1)\)的值为（）

A.\(e^{-\lambda}-e^{-2\lambda}\)

B.\(e^{-2\lambda}-e^{-\lambda}\)

C.\(1-e^{-\lambda}\)

D.\(1-e^{-2\lambda}\)

答案：A。指数分布的分布函数\(F(x)=1-e^{-\lambdax},x\geq0\)，\(F(2)-F(1)=(1-e^{-2\lambda})-(1-e^{-\lambda})=e^{-\lambda}-e^{-2\lambda}\)。

22.已知一个永续年金每年支付\(1\)元，利率为\(i\)，则该永续年金的现值为（）

A.\(\frac{1}{i}\)

B.\(\frac{1}{1+i}\)

C.\(i\)

D.\(1+i\)

答案：A。永续年金现值公式\(PV=\frac{1}{i}\)。

23.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\overline{X}\)是样本均值，\(S^2\)是样本方差，若总体\(X\)的均值为\(\mu\)，方差为\(\sigma^2\)，则下面关于样本均值和样本方差的性质正确的是（）

A.\(E(\overline{X})=\mu\)，\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)，\(E(S^2)=\sigma^2\)

B.\(E(\overline{X})=\mu\)，\(D(\overline{X})=\sigma^2\)，\(E(S^2)=\frac{\sigma^2}{n}\)

C.\(E(\overline{X})=\frac{\mu}{n}\)，\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)，\(E(S^2)=\sigma^2\)

D.\(E(\overline{X})=\frac{\mu}{n}\)，\(D(\overline{X})=\sigma^2\)，\(E(S^2)=\frac{\sigma^2}{n}\)

答案：A。根据样本均值和样本方差的性质，\(E(\overline{X})=\mu\)，\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)，\(E(S^2)=\sigma^2\)。

24.某风险的损失额\(X\)服从对数正态分布，设\(Y=\lnX\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，则\(E(X)\)的值为（）

A.\(e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\)

B.\(e^{\mu-\frac{\sigma^2}{2}}\)

C.\(e^{\mu\sigma^2}\)

D.\(e^{\frac{\mu}{\sigma^2}}\)

答案：A。若\(Y=\lnX\simN(\mu,\sigma^2)\)，则\(E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\)。

25.已知\(i=0.08\)，则\(v\)（贴现因子）的值为（）

A.\(\frac{1}{1+0.08}\)

B.\(1+0.08\)

C.\(0.08\)

D.\(\frac{0.08}{1+0.08}\)

答案：A。贴现因子\(v=\frac{1}{1+i}\)，当\(i=0.08\)时，\(v=\frac{1}{1+0.08}\)。

26.设随机变量\(X\)和\(Y\)相互独立，且\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(2,9)\)，则\(X+Y\)服从（）

A.\(N(3,13)\)

B.\(N(3,5)\)

C.\(N(1,13)\)

D.\(N(1,5)\)

答案：A。若\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)且\(X\)与\(Y\)独立，则\(X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)。这里\(\mu_1=1\)，\(\sigma_1^2=4\)，\(\mu_2=2\)，\(\sigma_2^2=9\)，所以\(X+Y\simN(1+2,4+9)=N(3,13)\)。

27.某保险业务的风险暴露单位为\(n=100\)，每个风险暴露单位的损失概率为\(p=0.1\)，则该保险业务的期望损失为（）

A.\(10\)

B.\(20\)

C.\(30\)

D.\(40\)

答案：A。期望损失\(=n\timesp=100\times0.1=10\)。

28.若随机变量\(X\)的概率质量函数为\(P(X=k)=\frac{1}{n},k=1,2,\cdots,n\)，则\(E(X)\)的值为（）

A.\(\frac{n+1}{2}\)

B.\(\frac{n-1}{2}\)

C.\(n\)

D.\(1\)

答案：A。\(E(X)=\sum_{k=1}^{n}k\times\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{n}\times\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}\)。

29.已知一个年金在每年年末支付\(C\)元，共支付\(n\)年，利率为\(i\)，则该年金的终值公式为（）

A.\(C\timess_{\overline{n}|i}\)

B.\(C\times\ddot{s}_{\overline{n}|i}\)

C.\(C\timesa_{\overline{n}|i}\)

D.\(C\times\ddot{a}_{\overline{n}|i}\)

答案：A。年末支付的年金终值为\(C\timess_{\overline{n}|i}\)。

30.设\(A\)、\(B\)为两个事件，\(P(A|B)=0.6\)，\(P(B)=0.5\)，则\(P(A\capB)\)的值为（）

A.\(0.3\)

B.\(0.4\)

C.\(0.5\)

D.\(0.6\)

答案：A。根据条件概率公式\(P(A|B)=\frac{P(A\capB)}{P(B)}\)，可得\(P(A\capB)=P(A|B)P(B)=0.6\times0.5=0.3\)。

31.某风险的损失额\(X\)的分布函数为\(F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\x^2,0\leqx\leq1\\1,x\gt1\end{cases}\)，则\(P(0.2\ltX\lt0.5)\)的值为（）

A.\(0.21\)

B.\(0.25\)

C.\(0.04\)

D.\(0.49\)

答案：A。\(P(0.2\ltX\lt0.5)=F(0.5)-F(0.2)=0.5^2-0.2^2=0.25-0.04=0.21\)。

32.若利率\(i=0.03\)，则\(10\)年末的\(1\)元在第\(3\)年末的现值为（）

A.\((1+0.03)^{-7}\)

B.\((1+0.03)^{7}\)

C.\((1+0.03)^{-10}\)

D.\((1+0.03)^{10}\)

答案：A。根据现值公式\(PV=FV(1+i)^{-n}\)，\(FV=1\)，\(i=0.03\)，\(n=7\)（\(10-3\)），所以现值为\((1