山东省青岛市2025届高三年级第一次适应性检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1山东省青岛市2025届高三年级第一次适应性检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】B【解析】由抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于轴正半轴，由，可得：，即焦点坐标为.本题选择B选项.2.若，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】，所以，所以.故选：C3.若样本数据1，，，…，的平均数为1，方差为2，则数据，，…，相对于原数据（）A.平均数变小 B.平均数变大 C.方差变小 D.方差变大【答案】D【解析】设原数据的平均数为，方差为，变化后的数据的平均数为，方差为，根据题意有：，所以，故选：D.4.近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，真氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（）（，精确到年）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】D【解析】令可得，可得，所以，故臭氧消失一半所需要的时间约为年.故选：D.5.已知，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在上的投影向量为.故选：A.6.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，得，而，则，故“存在集合C使得，”是“”的充分条件；由，存在一个集合，使得，，如图，所以“存在集合C使得，”是“”的必要条件.故选：C.7.在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三角函数的定义可知，，，则，因为，其中，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：C.8.设是关于的方程的实数根.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则函数在上为增函数，因，，由零点存在定理可得，则，当为正奇数时，设，则，则，当为正偶数时，设，则，则，所以，.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（）A.当时， B.当时，C.存在，使得 D.存在，使得平面【答案】AD【解析】取的中点，建立如图所示空间直角坐标系：设底面边长为2，则，所以，所以，A.当时，，，，所以，故A正确；B.当时，，，，所以不成立，故B错误；C.，，故C错误；D.因为，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，使得平面，所以，所以，，符合，故D正确；故选：AD.10.已知狄利克雷函数设函数，则（）A.是奇函数 B.是周期函数C.的值域是 D.在区间上的有理数零点恰有3个【答案】ABD【解析】的定义域为，当为有理数时，是有理数，则，当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数，故，是奇函数，故A正确；对于任意的整数，当为有理数时，也是有理数，则，当为无理数时，也是无理数，则，，即函数是周期函数，故B正确；函数的值域为，当为无理数时，，当为有理数时，，不能取到一个周期所有实数，所以取不到全部，故C错误；，当为有理数时，，得出在区间上有，3个有理数零点，故D正确；故选：ABD．11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线、的方程分别为、，过点作、的垂线，垂足分别为、，四边形的面积为，点的轨迹为曲线.则（）A.圆与没有公共点B.曲线与没有公共点C.上存在三点、、，使得为等边三角形D.在点处的切线与、分别交于、两点，则的面积为定值【答案】BCD【解析】易知，又因为，，则四边形为矩形，设点，则，，矩形的面积为，可得，故曲线的方程为，对于A选项，联立可得或，所以，曲线与圆有个公共点，其坐标分别为、、、，A错；对于B选项，联立可得，该方程无解，所以，曲线与没有公共点，B对；对于C选项，不妨取点，取直线的方程为，取直线的方程为，联立，解得，即点，联立，解得，即点，由平面内两点间的距离公式可得，同理可得，此时，为等边三角形，C对；对于D选项，设为双曲线上一点，先证明出双曲线在点处的切线方程为，联立可得，，所以，双曲线在点处的切线方程为，易知，直线、的方程可视为，设点、，联立可得，由韦达定理可得，所以，，因为点关于直线的对称点为，则，所以，曲线关于直线对称，由对称性可知，当点在曲线上时，的面积也为定值，D对.故选：BCD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中常数项为__________．（用数字作答）【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，，故该展开式中的常数项为，故答案为．13.已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则__________.【答案】2【解析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，如图，可得的零点为1，故不妨设，，则，，当时，，，当时，，，则，．所以，即．因为：，即，：，即，则，，因为，且，故.故答案为：2.14.已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为__________.【答案】【解析】在中，，，即；又，，即，又；故，如图，在中，过作的垂线，且使，则，，即，可得，，即，，,设，，在区间单调递减，，即,，当且仅当时，即三点共线时等号成立.验证：如下图中，若时，满足，此时，，故存在这样的，使得成立.因此的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时.（1）在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率；（2）用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差.解：（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时，则，，，，由全概率公式可得，由条件概率公式可得.因此，在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，则此人为男生的概率为.（2）从该地区的高中生中随机抽取人，该生日均运动时间大于小时的概率为，由题意可知，所以，，.16.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，、是底面半径，，为劣弧上的动点.（1）若为劣弧的中点，证明：平面；（2）若圆锥底面半径为，体积为，当四边形面积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）连接，因为，为的中点，则，因为，则和均为等边三角形，所以，，故四边形为菱形，所以，，因为平面，平面，所以，平面.（2）由题意可知，底面，圆锥的体积为，可得，设，则，其中，四边形的面积为，因为，则，故当时，即当时，取最大值，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的一个法向量为，，，则，取，则，设平面的一个法向量为，，，则，取，可得，，则，所以，，因此，当四边形面积最大时，平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数，.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：.（1）解：当时，，，则，当或时，；当时，，所以函数在上单调递减，在和上单调递增.（2）证明：由，，得，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根，设为且，因为函数在时的图象关于轴对称，所以，即，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以分别是函数的极大值点和极小值点，即，，又，即，则，又，则，，设，，则，即函数在上单调递减，所以，即.18.已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴长为，离心率为.（1）求的方程；（2）记的左顶点为，直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为.（i）证明：直线过定点；（ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方.是否存在点，使得与的面积之比为3：5？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由题意得，，故，，又，解得，所以椭圆方程为；（2）（i），当直线的斜率不存在时，此时直线与交于关于轴对称的两点，设，则，即，又，所以，所以，解得或，当时，，此时与重合，直线AP或直线AQ的斜率不存在，不合要求，当时，直线方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得，，解得，设，则，所以，由得，化简得，，解得或，当时，，过定点，直线AP或直线AQ的斜率不存在，不合要求，当时，，过定点，显然此时满足，其中也过点，综上，直线过定点；（ii）存在点，使得与的面积之比为3：5，理由如下：在轴上方，故在轴下方，即，，由椭圆定义可知，，又的圆心为，半径为4，故，所以，由于，，所以，令，当直线斜率不存在时，，此时，解得，令中得，又在轴上方，故，满足要求，当直线斜率存在时，设，中，，，，由余弦定理得，即，解得，同理可得，由可得，解得或，均不合要求，舍去，综上，存在点，使得与的面积之比为3：519.若数列满足：①；②；③当整数时，存正整数及，，…，，使得；④对于任意正整数及，，…，，都有.则称数列“非零可表”.（1）若数列满足，判断是否“非零可表”，并说明理由；（2）若数列满足，，证明：数列“非零可表”；（3）证明：存在满足的数列“非零可表”.（1）解：不“非零可表”，理由如下：中，则当，，不满足④，故不“非零可表”；（2）解：，当时，，则，所以，，故，，又，所以，，时，，，所以，满足①②