辽宁省丹东市凤城市一中2025年普通高中毕业班高考适应性测试数学试题含解析

辽宁省丹东市凤城市一中2025年普通高中毕业班高考适应性测试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合,，则A． B．C． D．2．已知a>0，b>0，a+b=1，若α=，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．4．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（）A． B． C． D．5．若表示不超过的最大整数(如，，)，已知，，，则（）A．2 B．5 C．7 D．86．若,,,则下列结论正确的是()A． B． C． D．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．8 B． C． D．8．设为自然对数的底数，函数，若，则()A． B． C． D．9．设复数满足为虚数单位)，则（）A． B． C． D．10．已知，则（）A． B． C． D．11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的最小实根的值为（）A． B． C． D．12．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数，如果为偶数就除以2，如果是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，，若，则______.14．若函数（）的图象与直线相切，则______.15．设O为坐标原点,,若点B(x,y)满足，则的最大值是__________．16．设全集，集合，，则集合______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）若的内角的对边分别为，且，求的面积.18．（12分）已知分别是内角的对边，满足（1）求内角的大小（2）已知，设点是外一点，且，求平面四边形面积的最大值.19．（12分）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)当时，求函数在上最小值.20．（12分）已知函数.（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.21．（12分）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且．（1）求证：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.22．（10分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（）.写出方差，，，，，的大小关系.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

因为,,所以,,故选D．2．C【解析】

根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴，当且仅当时取“＝”号．

答案：C本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.3．D【解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，∴．正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，∴．故选：D．本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．4．C【解析】

画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比.【详解】作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为.故选：解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.5．B【解析】

求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一个以周期为6的周期数列，则.故选：B.本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．6．D【解析】

根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.7．D【解析】

根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积．【详解】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以，故选：本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题.8．D【解析】

利用与的关系，求得的值.【详解】依题意，所以故选：D本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.9．B【解析】

易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知，，所以.故选：B.本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.10．C【解析】

利用诱导公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【详解】由可得，∴，∴.故选：C.本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.11．C【解析】

先确定解析式求出的函数值，然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的，通过计算即可得到答案.【详解】当时，，所以，故当时，，所以，而，所以，又当时，的极大值为1，所以当时，的极大值为，设方程的最小实根为，，则，即，此时令，得，所以最小实根为411.故选：C.本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.12．B【解析】

模拟程序运行，观察变量值可得结论．【详解】循环前，循环时：，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足条件，退出循环，输出．故选：B．本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．-1【解析】

由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论．【详解】由已知，∵，∴，．故答案为：－1．本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．14．2【解析】

设切点由已知可得,即可解得所求.【详解】设，因为，所以，即，又，.所以，即，.故答案为:.本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.15．【解析】,可行域如图，直线与圆相切时取最大值，由16．【解析】

分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.【详解】由题可知，集合A中集合B的补集，则故答案为：本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）或【解析】

（1）利用平面向量数量积的坐标运算可得，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）由（1）可求，结合范围，可求的值，由余弦定理可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）∴最小正周期.（2）由（1）知，∴∴，又∴或.解得或当时，由余弦定理得即，解得.此时.当时，由余弦定理得.即，解得.此时.本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．18．（1）（2）【解析】

（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本关系得到，即可求出角；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理可得：，则，得到，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值；【详解】解：（1）由，，，，，，，；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理得：，，，所以当时有最大值本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.19．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是【解析】

（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；

（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．【详解】函数的定义域

为．

因为，令，可得；

当时，；当时，，综上所述：可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为当，即时，函数在区间上是减函数，

的最小值是当，即时，函数在区间上是增函数，的最小值是当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数．

又，

当时，的最小值是；

当时，的最小值为综上所述，结论为当时，函数的最小值是；

当时，函数的最小值是.求函数极值与最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小20．（1）.（2）【解析】

（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；（2）由已知代入可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，构造函数g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，结合导数及函数的性质可求.【详解】（1），x＞0，由题意可得，0，解可得t＝﹣4，∴，易得，当x＞2，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣3；（2）由f（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx+2≥2在x＞0时恒成立可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，令g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，则，（i）当t≥0时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝t﹣1≥0，解可得t≥1，（ii）当﹣2＜t＜0时，g（x）在（）上单调递减，在（0，），（1，+∞）上单调递增，此时g（1）＝t﹣1＜﹣1不合题意，舍去；（iii）当t＝﹣2时，g′（x）0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，此时g（1）＝﹣3不合题意；（iv）当t＜﹣2时，g（x）在（1，）上单调递减，在（0，1），（）上单调递增，此时g（1）＝t﹣1＜﹣3不合题意，综上，t≥1时，f（x）≥2恒成立.本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值，利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题.21．（1）见解析；（2）【解析】

（Ⅰ）证明：过点作于点，∵平面⊥平面，∴平面又∵⊥平面∴∥,又∵平面∴∥平面（Ⅱ）∵平面∴，又∵∴∴∴点是的中点，连结，则∴平面∴∥，∴四边形是矩形设，得：，又∵，∴，从而，过作于点，则∴是与平面所成角∴，∴与平面所成角的正弦值为考点：面面垂直的性质定理；线面平行的判定定理；线面垂直的性