2023-2024学年广州市华侨中学八年级下学期期中数学试题含答案

试题PAGE1试题试题PAGE2试题广东省广州市华侨中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．计算：=（）A．3 B．9 C．6 D．【答案】A【分析】根据二次根式的乘法可求出【详解】=3．故选A．【点睛】二次根式的乘法是本题的考点，熟练掌握其方法是解决此题的关键2．下列二次根式中，不能与合并的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．【详解】解：A、，能与合并，故A不符合题意；B、，能与合并，故B不符合题意；C、，不能与合并，故C符合题意；D、，能与合并，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（

）A．2、3、4 B．1、1、 C．3、4、5 D．5、12、13【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；B、∵∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；C、∵∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；D、∵∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足那么这个三角形就是直角三角形．4．如图，在中，，，是边的中点，是的中点，若，则的长是（

）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．【详解】解：在中，，，，，是边的中点，是的中点，是的中位线，，故选：D．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（）A． B．b C． D．【答案】B【分析】根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案．【详解】解：由数轴可知，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化简整式是解题关键．6．如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是()A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解，【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，，故D正确；平分，，，，故C错误；，，故A正确；，，故B正确．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．7．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（

）

A． B． C． D．平分【答案】A【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即或．故选：A【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答．8．甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了列函数关系式；根据剩余路程等于总距离减去行驶距离列函数关系式即可．【详解】解：由题意得：，故选：C．9．如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行时距离最短；∵正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．10．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝4，顶点A，B分别在x正半轴和y轴正半轴上滑动，连接OC．当OC的长度最大时，点C的坐标为（）A．(2，2) B．(4，2) C．(2，) D．(4，)【答案】A【分析】首先取线段AB的中点，根据直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，三角形三边关系，可以得到OC最大时，OC＝AB，然后根据等边三角形的性质和直角三角形的判定，可以得到△OAC是直角三角形，再根据勾股定理，即可得到点C的坐标．【详解】解：取AB的中点M，连接MO，MC，如图1所示，则OM+MC＞OC，故当OM+MC＝OC时，OC取得最大值，如图2所示，∵∠ACB＝∠AOB＝90°，点M为AB的中点，AB＝4，∴CM＝BM＝AM＝OM＝2，∵∠ABC＝60°，∴△BMC是等边三角形，∴∠BMC＝∠AMO＝60°，∴△AMO是等边三角形，∴OA＝AM＝2，∠OAM＝60°，又∵AM＝MC，∠AMO＝∠MAC+∠MCA，∴∠MAC＝30°，∴∠OAC＝∠OAM+∠MAC＝60°+30°＝90°，∵OC＝MO+MC＝2+2＝4，∴AC＝＝＝＝，∴点C的坐标为（2，），即当OC的长度最大时，点C的坐标为（2，），故选：A．【点睛】此题考查了直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质和勾股定理，有一定的综合性．二、填空题11．使函数有意义的x的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，据此列出关于的不等式，解不等式即可．【详解】解：根据题意，得：，解得：．故答案为：．12．如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝56°，D是AB的中点，则∠ACD＝°．【答案】34°．【分析】由∠ACB＝90°，D是AB的中点，可得出CD＝BD＝AD，结合∠B的度数可得出∠BCD的度数，再由∠ACD和∠BCD互余可求出∠ACD的度数．【详解】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD＝AB，∴∠BCD＝∠B＝56°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣56°＝34°．故答案为34°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质，牢记“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．13．如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是．

【答案】【分析】根据勾股定理计算长方形对角线的长，再由点A的位置，确定点A的符号，即可得出点A的坐标．【详解】解：长方形对角线的长：=，∴OA=，∵点A在原点左侧，∴A点表示的数是：，故答案为．【点睛】本题考查实数与数轴的关系和勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．14．如图中，由一个直角三角形和两个正方形组成，如果大正方形的面积为41，，则小正方形的面积为．【答案】16【分析】本题主要考查了勾股定理，由大正方形的面积为41可得，在中，由勾股定理得，即可得小正方形的面积为16．【详解】解：∵大正方形的面积为41，∴，∵，∴在中，由勾股定理得，∴小正方形的面积为16，故答案为：16．15．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，，是四边形的中点四边形，如果，，那么四边形的面积为．【答案】【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形是矩形，从而根据矩形的面积进行计算．【详解】解：，，，是四边形的中点四边形，如果，，∴,,则，∴，，同理可得，，∴四边形是平行四边形，∵四边形的两条对角线，互相垂直，∴，∴四边形是矩形，∴四边形的面积为，故答案为：.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形的判定，掌握三角形中位线的性质，矩形的判定是解题的关键．16．在平行四边形中，点E为的中点，连接，，点F在上，连接，，若，则线段的长为．【答案】．【分析】连接AC，证明三角形CAD是等腰三角形，计算EC的长，延长FE交CD的延长线于点G，证明△AFE≌△DGE，求得CE=GE=4，过点E作EH⊥CG，垂足为H，则CH=HG，设DG=x，则CH=HG=，用勾股定理计算即可．【详解】如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD=5，AE=DE=3，∴EC=EF==4，延长FE交CD的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥DG，∴∠FAE=∠GDE，∠AFE=∠DGE，∵AE=ED，∴△AFE≌△DGE，∴FE=GE=4，∴CE=GE=4，过点E作EH⊥CG，垂足为H，则CH=HG，设DG=x，则CG=CD+DG=5+x，∴CH=HG=，∴DH=HG-DG=-x=,∵∴,解得x=即AF=，∴BF=BA-AF=5-=，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，勾股定理，构造辅助线是解题的关键．三、解答题17．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；（2）根据完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：==；（2）==【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18．如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：．【答案】见解析．【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据推出≌，得出对应边相等即可．【详解】证明：四边形是平行四边形，，，，，，，在和中，，∴≌，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；解题的关键是证明≌．19．对函数的图象与性质进行探究．下面造探究过程，请补充完整：(1)列表：下表是x与y的几组对应值，则m的值为__________；x…01234…y…43m101234…(2)描点：在下面平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(3)函数的图象和直线的交点坐标是__________．【答案】(1)2(2)见详解(3)【分析】本题考查了图形与坐标以及一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）依题意，把代入，计算即可作答．（2）先描点，再连线，即可作答．（3）先作图，观察图象且结合把代入，计算即可作答．【详解】（1）解：∵，∴当时，则，∴，故答案为：2；（2）解：的图象如图：（3）解：依题意，得∴，∴，∴函数的图象和直线的交点坐标是．20．如图，在四边形中，，，．(1)求的度数；(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的证明三角形是直角三角形是解本题的关键；（1）连接，如图，分别证明为等腰直角三角形，为直角三角形，从而可得结论；（2）直接利用割补法求解四边形的面积即可．【详解】（1）解：连接，如图，，，，，，，，，，是直角三角形，，．（2）在中，，在中，．．21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在BC上，且四边形AEFD是平行四边形．（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；（2）当AB=DC时，求证：四边形AEFD是矩形．【答案】(1)，理由见解析；（2）见解析【分析】（1）由四边形AEFD是平行四边形可得AD=EF，根据条件可证四边形ABED是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，所以AD=BE，AD=FC，所以AD=BC；（2）根据矩形的判定和定义，对角线相等的平行四边形是矩形．只要证明AF=DE即可得出结论．【详解】证明：（1）AD=BC理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形．∴AD=BE，AD=FC，又∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF．∴AD=BE=EF=FC．∴；（2）证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB，AF=DC．∵AB=DC，∴DE=AF．又∵四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形AEFD是矩形．22．广州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．

【答案】绳索的长度是．【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．【详解】解：在中，，∵，，设秋千的绳索长为，则，故，解得：，答：绳索的长度是．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．23．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接交于点，连接、．

(1)求证：；(2)若菱形的边长为，，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由菱形中，且，易证得四边形是平行四边形，继而可得即可；（2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形是矩形，根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可，理由等边三角形的性质求出，可得结论．【详解】（1）证明：四边形是菱形，，，且，，四边形、四边形都是平行四边形，，；（2）解：连接．

，四边形是矩形，，在菱形中，，，，，在矩形中，，在中，，．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形是平行四边形，四边形是矩形是关键．24．如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．(1)求证：∠EDO=∠FBO；(2)求证：四边形DEBF是菱形；(3)如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP+DP的最小值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）先证明△DOF≌△BOE得到OE=OF，再证明△EOD≌△FOB即可得到∠EDO=∠FBO；（2）先证明∠DOF=∠BOE=90°，从而推出E、O、F三点共线，再由OE=OF，OB=OD，EF⊥BD，即可证明四边形DEBF是菱形；（3）如图所示，连接OA，先证明△AOB是等边三角形，得到∠ADO=60°，则由折叠的性质可得，过点P作PH⊥BD于H，得到，则，要使2AP+DP最小，即要使AP+PH最小，则当A、P、H三点共线且与BD垂直时AP+PH有最小值，据此求解即可．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AD=BC，，∴∠ODF=∠OBE，∠OFD=∠OEB，由折叠的性质可知AD=OD，OB=BC，∠EOD=∠A=90°，∠BOF=∠C=90°，∴OD=OB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴OE=OF，又∵∠EOD=∠FOB=90°，OD=OB，∴△EOD≌△FOB（SAS），∴∠EDO=∠FBO；（2）解：由（1）得△DOF≌△BOE，∴∠DOF=∠BOE，∵∠EOD=∠FOB=90°，∠DOF+∠BOE+∠EOD+∠FOB=360°，∴∠DOF=∠BOE=90°，∴∠DOE+∠DOF=180°，∴E、O、F三点共线，又∵OE=OF，OB=OD，EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；（3）解：如图所示，连接OA，由（1）得OD=AD，OB=BC，BC=AD，∴BD=2AD，∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴OA=OD，

∴OA=OD=AD，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADO=60°，∴由折叠的性质可得，过点P作PH⊥BD于H，∴，∴，要使2AP+DP最小，即要使AP+PH最小，∴当A、P、H三点共线且与BD垂直时AP+PH有最小值，过点A作AG⊥BD，在Rt△ABD中，BD=2AD=4，AD=2，∴，∴由等面积法可知，∴，∴，∴2AP+DP的最小值为．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等等，正确作出辅助线是解题的关键．25．如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE，连接AE，CE，过点A作AF⊥CE交线段CE的延长线于点F，连接BF．（1）当AE＝AB时，求α的度数；（2）求证：∠AEF＝45°；（3）求证：AE∥FB．【答案】（1）α＝30°；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据旋转的性质可得CD=DE，由正方形的性质可得AB=CE=AD，根据已知AB=AE，可得出△ADE是等边三角形，求出∠ADE的度数，即可求解；（2）根据旋转的性质得出△CDE和△ADE都是等腰三角形，由题可知旋转角是∠EDC，进而得出∠ADE、∠AED、∠CED与α之间的关系，再根据平角的特点即可求解；（3）方法一：过点B作AF与CF的垂线，可以得到一个平行四边形，进一步可判定是矩形，根据角度关系得出∠BCF=∠BAF，判定矩形是正方形，得出∠BFC=45°，结合（2）可得出结论；方法二：过点B作BF的垂线交BF于点M，根据垂直的性质和正方形的性质可以得出∠ABF=∠CBM，∠BAF=∠BCF，AB=BC，进而判定两个三角形全等，可得出△BFM是等腰直角三角形，求出∠BFE=45°，结合（2）可得出结论；方法三：取AC的中点O，根据直角三角形的性质和正方形的性质，可得出OA=OC=OB=OF，所以A、B、C、F在同一个圆上，∠CBF=∠BAC=45°，结合（2）即可得出结论．【详解】解：(1)在正方形ABCD中，AB＝AD＝DC，由旋转可知，DC＝DE，∵AE＝AB∴AE＝AD＝DE∴