华师大版初三数学上全册教案

22.1.二次根式（1）

二次根式的概念及其运用

当a是正数时，/表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.

当a是零时，&等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.

当a是负数时，、后没有意义.

一、概括：&（aN0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，4a（a20）是一个非负数，它的平方

等于a.即有：（1）4aNO（a20）；

（2）（Va）2=a（a20）.

形如后（aNO）的式子叫做二次根式.

注意：在二次根式后中，字母a必须满足a，0,即被开方数必须是非负数.

二、例题讲解_

思考：叱等于什么？

我们不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3,……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：

概括：当a》0时，J/=a；当a<0时，=-a.

这是二次根式的又一重要性质.如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将

它“开方”出来，从而达到化简的目的.例如：

V4x2=个（2x）2=2x（X2O）;-\[x^=J（X2）2=x2.

四、练习：X取什么实数时，下列各式有意义_______

（]）A/3—4x.（2）J3x-2；（3）d（x-3）；（彳）J3x-4+J4-3x

五、拓展

例：当x是多少时，j2x+3+,在实数范围内有意义?

X+1

分析:要使j2x+3+一一在实数范围内有意义,必须同时满足j2x+3中的20和二一中的x+1W0.

x+1x+1

3

由①得：xN--由②得：xW-1

2

41

当X2--且xW-l时，j2x+3+——在实数范围内有意义.

2x+1

例：已知y=j2-x+Jx-2+5,求上的值.(答案:2)

y

22.1二次根式(2)

教学内容：1.4a(a20)是一个非负数；2.(y[a)2=a(a^O).

五、应用拓展

例2计算______________________

1.(Jx+1)2(xNO),2.(Na?)2,3.(Na?+2a+1)2,4.(V4x2—12x+9)2

解：(1)因为x20,所以x+l>0,(Jx+1)2=x+l

(2),.*a2^0,)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2,又丁(a+1)2^0,

.'.a2+2a+1^0,/.ya~+2tz+1=a2+2a+l

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2•2x•3+32=(2x-3)2,又：(2x-3)2^0

.\4X2-12X+9^0,(A/4X2-12X+9)2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

六、归纳小结：本节课应掌握：

1.y[a(a20)是一个非负数；2.(-\[a)2=a(aNO);反之:a=()2(a》0).

22.1二次根式（3）

教学内容J/=a（a2O）

教学过程：一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容）

1.形如、石（a20）的式子叫做二次根式；

2.8（a20）是一个非负数;

3.）2=a（a>0）.

那么，我们猜想当a20时，必=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知：（学生活动）填空：

厅=；Vo.oi2=

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到:

=2；Jo.OF=0.01；3

7

因此，一般地：［V^'=a（a20）|

三、例题讲解：

例1化简：（1）百(2)7(-4)2⑶V25(4)7(-3)2

22

分析：因为（1）9=-3,(2)(-4)2=42,(3)25=5?,⑷(_3)2=3,

所以都可运用必=a（aNO）去化简.

解：（1）乒后=3（2）,（—4）2=9=4

（3）V25==5（4）个（-3）2==3

五、应用拓展

例2填空：当a20时，疔=；当a<0时，J/=—,并根据这一性质回答下列问题.

（1）若J/=a,则a可以是什么数？（2）若必二a,则a可以是什么数？

（3）Vo?>a,则a可以是什么数？

分析：（a20）,.♦.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）

2”中的数是正数，因为，当a<0时，必=J（-a）?,那么-aNO.

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知J/=|a

I,而Ia|要大于a,只有什么时候才能保证呢？a<0.

解：（1）因为疔=a,所以a20；（2）因为行=-a,所以aWO；

(3)因为当a20时〃^=a,要使即使a>a所以a不存在；当a<0时，〃^=-a,要使

即使-a>a,a<0综上，a<0

例3当x>2,化简J(x-2)2_J(1—2x)2.

六、归纳小结：本课掌握：J/=a(a20)及运用，同时理解当a<0时，J/=-a的应用拓展.

七、布置作业:1.先化简再求值：当a=9时，求a+Jl-2a+/的值,甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+J(l_(z)2=a+(1-a)=1；乙的解答为：原式=a+J(l-a)2=a+(a-1)=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的,错误的原因是.

2.若|1995-a|+V«-2000=a,求a-1995?的值.(提示：注意根式有意义的隐含条件)

3,若-3WxW2时，试化简|x-2|+J(X+3)2+\JX2—10x+25。

22.2二次根式的乘除(1)

教学内容：4a•>fb—4ab(a20,b>0),反之，石=&,4b(a20,b20)及其运用.

教学过程：一、设疑自探一解疑合探

自探.(学生活动)请同学们完成下列各题.______

1.填空：(1)A/4XV9=___,—4x9=；(2)V16X^25=,J16x25=.

(3)V100XV36=，7100x36=.

参考上面的结果，用“>、<或=”填空.

V?XV9____V479,V16XV25_____716x25,V100X736________J100x36

2.利用计算器计算填空__

(1)V2XV3_____V6,(2)V2XV5_____屈,

(3)垂)X\[6_____y/30,(4)A/4X-\/~5_____J20,

(5)V7xVio_____VTo.

(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.

老师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二

次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.

一般地，对二.根式的乘法规定为

4a,4b—4ab.(a20,bNO)

反过来：4ab=4a,4b(aNO,bNO)

合探1.计算：(1)石XJ7,(2)/1XV9,(3)79X727,(4)/IX76

V3X2

分析：直接利用&,4b=4ab(a20,b20)计算即可.

合探2化简(1)J9xl6,(2)A/16X81,(3)781x100,(4)再丁，(5)后

分析：利用=•4b(a20,b20)直接化简即可.

三、应用拓展：判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正：

(1)&-4)x(—9)=广义口

(2)J4—XV25=4xj—xV25=4J—X725=4712=873

V25\25V25

四、巩固练习⑴计算(生练，师评)①/X次(2)3^6X2V10③瓦•

(2)化简：同；灰；V24;V54;82a2b2

五、归纳小结(师生共同归纳)

本节课掌握：（1）4a,4b=-Jab=（aNO,b》O）,yfab=y/a,4b（aNO,b》O）及运用.

六、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题__

1.直角三角形两条直角边的长分别为乖cm和cm,那么此直角三角形斜边长是（）

A.3V2cmB.3A/3cmC.9cmD.27cm

2.化简aL的结果是（）.A.4-aB.4aC.-4-aD.-4a

3.等式J77TJT万=，%2—1成立的条件是（）

A.x》lB.x》-lC.-IWXWID.xNl或x〈-l

4.下列各等式成立的是（_____

A.46X26=8BB.50X4夜=206；C.4GX3女=76；D.573X4A/2=20A/6

（二）、填空题：

1.71014=_______.

2.自由落体的公式为S=|gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2）,若物体下落的高度为720m,则下

落的时间是.

（三）、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程.

⑴

2

验证：2j[2=V2X[2="2x2=1户1/(23-2)+2

3N

313、3V3

"32,2__2⑵一]),=1.2_

V22-122-1-V22-122-1V3

验证：3叵=后X叵=叵=6-3+3

vrvrv—32-1-

22.2二次根式的乘除（2）

教学内容：7a=j（a20,b>0）,反过来巴=Ja(aNO,b>0)及利用它们进行计算

教学过程；一、设疑自探一解疑合探

自探.（学生活动）请同学们完成下列各题：

1.填空（1）6=____，/~9~=_____;(2)Vlll=_____，]16=_____；

RV16^36V36

（3）V4=____,区=_____；(4)屈=_______,匡=________

VT?V16VsTv8i

规律：且____巴;_____匹;正[p~；/36".

A/T6V16下WV36VHrV16VsTV81

2.利用计算器计算填空：

（1）VT=____,（2）V2-=____,（3）迈=____，(4).

VTVTV8

规律：事m；vi[2.6[2.a[7o

■\4vr\3vU<5V8

一名学生上台阐述运算结果.（老师点评），根据大家的练习和

告探：

【勺除法规定：

勺二次根式的除法规定：

=(a'O,b>0),反过来J—=-尸(aNO,b>0)

\b4b

,|启）x（a>0）

22.2二次根式的乘除⑶

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.

教学过程

一、设疑自探一解疑合探

自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

计算（1）正，（2）3正,（3）提

老师点评：6=VTT,三"=正，胡=23

5，273"2aa

自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点:

1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.）

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式._

合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式：（1）3后；Q）

^x2y4+x4y2；（3）//父

合探2.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,

求AB的长.

.3u2al/5、2”/169V16913,、

AB=V2.5+6=《（万）+36=《—-—-—>——―=6.5（cm）

因此AB的长为6.5cm.

三、应用拓展

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

1_lx/_1）_艮1_乃］,

V2+1（V2+1）（72-1）-2-1

1_lx（V3-V2）_拒-6_1-行

TfTTF（用伪（百_①一^^77

同理可得：1=A/4-A/3,……

V4+VT

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

（J+1+1+……1）（V2002+1）的值.

VF+1渡+VFVT+V3V2002+V2001

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目

的.

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.

五、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1.如果J：（y>o）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）.

A.3（y>0）B.6（卢°）C-Q（y>0）D.以上都不对

2.把（a-1）1中根号外的（a-1）移入根号内得（）.

Va-1

A.ci—1B.Jl—aC.-<a—1D.-Jl-a

3.在下列各式中，化简正确的是()

A.=3^/1-5B.=+V2C.y]a4b=a28D.V-V3—x2=xVx—1

4.化简-3、/T的结果是()A.-1；B.-2_；C.-VH；D.-V2

V27-3V33

(二)、填空题________

1.化简Jx"+fy?=.(xNO)

2.a1五化简二次根式号后的结果是.

Va2

(三)、综合提高题

1.已知a为实数，化简：JT-aFT，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写

Va

出正确的解答过程：

解：J-a，-a/1=aJ—a-a•J_J-a=(a-1)J—a

Vaa

2.若x、y为实数，且尸，।-4+"—x2+1,求Jx+yJx—y的值.

x+2

22.3二次根式的加减⑴

教学内容：二次根式的加减

教学过程：

一、设疑自探一解疑合探

自探(学生活动)：计算下列各式.__

(1)2y/l,+3V2；(2)2Vs-3Vs+5V8；(3)-x/1+2V7+3<9x7；(4)3>J?>-2V3+V2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2起与质表面上看是不相同的，但它们可以合并

吗？可以的.(板书)3V2+Vs=3V2+2V2=5V2和3V3+V27=3V3+3V3=6-\/3

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合

并.

合探1.计算：(1)V8+V18(2)V16x+V64^

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合

并.

合探2.计算____

(1)3V48-9+3V12^(2)(V48+J20)+(V12-V5)

三、应用拓展__

4x2+y2-4x-6y+10=0,求()-)的值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,

即*=工，y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二

2

次根式，最后代入求值.

四、归纳小结(师生共同归纳)：本节课应掌握：

(1)不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；(2)相同的最简二次根式进行合并.

五、作业设计(写在小黑板上)

(一)、选择题

1.以下二次根式：①Jii；②万；③点；④板中，与G是同类二次根式的是().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3百+3=6百；②上行=1；③行+&=&=2亚；④叵=2收，其中错误的

7F

有（）.A.3个B.2个C.1个D.0个

（二）、填空题

L在他、三近藐、三E、同、2g、3配、-2忙中,与风■是同类二次根式的有

aV8

2.计算二次根式5&1-3&-78+9&的最后结果是.

（三）、综合提高题

1.已知后心2.236,求（厢-旧）-（旧+土斥）的值.（结果精确到0.01）

2.先化简，再求值.

（6x^£+2_Jxy3）-（4X^£+yj36xy）,其中X=2_,y=27.

22.3二次根式的加减（2）

教学内容：利用二次根式化简的数学思想解应用题.

教学过程：

一、设疑自探一解疑合探

上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式

化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固.

自探1.如图所示的Rt^ABC中，/B=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/

秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移

动.问：几秒后的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简

二次根式表示）

分析：设x秒后4PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根据三角形

面积公式就可以求出x的值.

解：设x后APBQ的面积为35平方厘米.则有PB=x,BQ=2x

依题意，得：—x,2x=35X2=35X=V35

2

所以庄秒后APBQ的面积为35平方厘米.

PQ=^PB2+BQ2=VX2+4X2=A/5%7=J5x35=5g

答：V35秒后APIiQ的面积为35平方厘米,PQ的距离为5J7厘米.

自探2.要焊接如图所示的钢架,大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?

解：由勾股定理，#AB=yjAD2+BD2=A/42+22=A/20=275

BC=^BD2+CD2=V22+l2=V5

所需钢材长度为AB+BC+AC+BD=2石+6+5+2=36+7心3

X2.24+7^13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.）

四、应用拓展

若最简根式3T4a+3b与根式一面+6已是同类二次根式,求b的值.

注：（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式

yjlab2-b3+6b1不是最简二次根式，因此把y）2ab2-b3+6b2化简成|b|■j2a-b+6,才由同类二次根

式的定义得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2ab2-^+6,化为最简二次根式:

■\12ab2-Z?3+6b2=yjb2（2a-1+6）=|b|•-。+6

由题意得［4。+3。=2〃-。+612〃+4。=6.，.a=l,b=l

a—b=2a—b=2

六、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为（）.

A.572B.屈C.2#>D.以上都不对

2.小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的

对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米._

A.13V100B.V1300C.loV13D.5^/13

（二）、填空题

1.某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2,鱼塘的宽是m.

2.已知等腰直角三角形的直角边的边长为血，那么这个等腰直角三角形的周长是.

（三）、综合提高题

1.若最简二次根式2J3m2-2与‘飞4m2-10是同类二次根式,求m、n的值.

3

2.同学们，我们以前学过完全平方公式a?±2ab+b2=（a+b）2,你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了

二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（6）2,

5=（V5）2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：

（V2-1）2=（V2）2-2•1•V2+12=2-2V2+1=3-272

反之，3-2&=2-2应+1=（后-1）2.*.3-2V2=（V2-1）2；.，3-2后=6-1

求：（1）,3+2收；（2）"+26；（3）你会算「4-巫吗?

（4）yja+2y/b=4m±4n>则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由.

22.3二次根式的加减（3）

教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相

乘、相除；乘法公式的应用.

教学过程

一、设疑自探一解疑合探

自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题：.

1.计算：（1）（2x+y）•zx（2）（2x2y+3xy2）4-xy

2.计算：（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+l）2+（2x-l）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有（1）单项式X单项式；（2）单项式

X多项式；（3）多项式+单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用.

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根

式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式._

自探2.计算：（1）（^6+V8）X-\/3（2）（4V6-3V2）4-2V2

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.

自探3.计算：（1）（石+6）（3-5（2）（V10+V7）（V10-V7）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.

三、应用拓展：已知=2—。，其中a、b是实数，且a+bWO,

ab

化简―—+1-+"x+1+,并求值.

x+1+y/~xVx+1-^J~x

分析：由于（6TT+4）（J7Z1-4）=i,因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解

含有字母系数的一元一次方程得到X的值，代入化简得结果即可.

(Vx+i-V%)2+(JX+1+

=(x+1)+x-2yjx(x+Y)+x+2-yjx(x+1)=4x+2

(X+1)-X(X+1)-X

x—bx—a

*.*-------=2---------.*.b(x-b)=2ab-a(x-a)bx-b2=2ab-ax+a2

ab

(a+b)x=a2+2ab+b2(a+b)x=(a+b)2〈a+bWOx=a+b

二・原式=4x+2=4(a+b)+2

五、作业设计(写在小黑板上)

(一)、选择题

1.(后-3岳+2月)乂/的值是().

A.空百-3同B.3730-1V3C.2V30-1V3D.V3-V3O

3333

2.计算(6+Jx—l)(-Vx-1)的值是().A.2B.3C.4D.1

(二)、填空题

1.(-1+V1)2的计算结果(用最简根式表示)是.

22

2.(1-2V3)(1+2百)-(2百-1)2的计算结果(用最简二次根式表示)是

3.若x=\/2-1,贝(Jx?+2x+1=.

4.已知a=3+2\/^,b=3-241,则a?b-ab2=.

(三)、综合提高题

1.化简狙+a

VTo-++^/Fs+V2T

2.当x=7^时，求.+]+^^卫+，+]一旺三的值.(结果用最简二次根式表示)

72-1x+1-Jx~+xx+l+Jx2+x

23.1一元二次方程

教学目标：

1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式a『+bx+c=°(。，0)2、在

分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程

是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程

的解。

教学过程：

一做一做：

1.问题一绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，

并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程

x(x+10)=900

整理可得x2+lOx-900=0.(1)

2.问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解：设这两年的年平均增长率为x,我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1

+x)万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍，即5(1+x)(l+x)=5(l+x)2万册.可列

得方程

5(1+x)2=7.2,

整理可得5X2+10X-2.2=0.(2)

3.思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个

方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

（学生分组讨论，然后各组交流）共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未

知数的最高次数是2

二、一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程）.

通常可写成如下的一般形式：

ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，aWO）。其中以？叫做二次项，。叫做二次项系数；法叫做一次项，卜叫

做一次项系数，。叫做常数项。.

三、例题讲解与练习巩固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

x-2_］_%2

（］）3%+2=5%-3（2）%2=4（3）x+1（4）,―4=（x+2/

2.例2将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

1）6y2=y2）（x-2）（x+3）=83）（%+3）（3x-4）=（x+2/

说明：一元二次方程的一般形式a/+bx+c=°（a=o）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是

左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都

是包括符号的。

3.例3方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一

次方程？

本题先由同学讨论，再由教师归纳。

解：当。W2时是一元二姿方程；当。=2,%#0时是一元一次方程；

4.例4已知关于x的一元二次方程（m-l）x2+3x-5m+4=0有一根为2,求m。

分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.练习一将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

2/=2-3x2X（X-1）=3（X-5）-4⑵一以-。.=。+3）（^—2）

练习二关于x的方程（祖-3）/+〃氏+也=（）,在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一

次方程？

本课小结：

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为a/+bx+c=°一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义

的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。

23.2.2一元二次方程的解法

教学目标：

1、会用直接开平方法解形如口（］一02（aWO,ab》O）的方程；

2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。

教学过程：

问：怎样解方程（x+1）=256的？

让学生说出作业中的解法，教师板书。

解：1、直接开平方，得x+l=±16

所以原方程的解是xl=15,x2=-17

2、原方程可变形为

(%+1)2-256=0

方程左边分解因式，得

(x+1+16)(x+1-16)=0

即可(x+17)(x—15)=0

所以x+17=0,x-15=0

原方程的蟹xl=15,x2=-17

二、例题讲解与练习巩固

1、例1解下列方程

(1)(x+1)2—4=0；(2)12(2-x)2-9=0.

分析两个方程都可以转化为—(aN0,ab\0)

的形式，从而用直接开平方法求解.

解(1)原方程可以变形为

(x+1)2=4,

直接开平方，得

x+l=±2.

所以原方程的解是xl=l,x2=-3.

原方程可以变形为

有.

所以原方程的解是xl=,x2=.

2、说明：(1)这时，只要把(X+D看作一个整体，就可以转化为(b2o)型的方法去解决，这里

体现了整体思想。

3、练习一解下列方程：

(1)(x+2)2-16=0；(2)(X-1)2-18=0；

(3)(1-3X)2=1；(4)(2x+3)2—25=0.

三、读一■读

四、讨论、探索：解下列方程

(1)(X+2)2=3(X+2)(2)2y(y-3)=9-3y(3)(x-2)2—x+2=0

222

(4)(2X+1)=(X-1)(5)%-2x+l=49o

本课小结：

1、对于形如—A)?(aW0,ab20)的方程，只要把(》一口看作一个整体，就可转化为/=〃(n

20)的形式用直接开平方法解。

2、当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。

23.2.3一元二次方程的解法

教学目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程.

2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。

重点难点：

使学生掌握配方法，解一元二次方程。

把一元二次方程转化为a+PY=q

教学过程：

一、复习提问

解下列方程，并说明解法的依据：

22

⑴3-2x=1⑵(X+1)-6=0(3)(x-2)2-1=0

通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：

x2=b(b20)和(x-a)2=Z?(Z?>0)

根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b<0,方程就没有实数解。

请说出完全平方公式。

2

(X+Q)2-x+2QX+〃2

-x2-lax+a1

o

二、引入新课

我们知道，形如X?-4=0的方程，可变形为/=A(A20),再根据平方根的意义，用直接开平方

法求解.那么，我们能否将形如/+/+。=°的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解

决的问题.

三、探索：

1、例1、解下列方程：

22

X+2x=5；(2)X—4x+3=o.

思考

能否经过适当变形，将它们转化为

()=a的形式，应用直接开方法求解？

2

解(1)原方程化为X+2x+l=6,(方程两边同时加上1)

2

(2)原方程化为x—4x+4=-3+4(方程两边同时加上4)

三、归纳

上面，我们把方程一一4x+3=0变形为(X—2)=i,它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一

个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？

四、试一试：对下列各式进行配方：

x2+8x____=(x+___2x2-10%____=(x+_2

_J;__)

2

—5x+=(x-_).%2—9x+=(x-_____)2

23)2

x—X+=(x-2

2x+bx+__—_(/■xV+1______)2

通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。

五、例题讲解与练习巩固

1、例2、用配方法解下列方程：

22

(1)x—6x—7=0；(2)x+3x+l=0.

2、练习：

①.填空：

⑴/+6x+()=()⑵/-8x+()=(x-)2

22

(3)X+x+()=(x+)2；(4)4%-6x+()=4(X—)2

②用配方法解方程：

22

⑴X+8X—2=0(2)X-5x—6=0.

(3)X2+7=-6X六、试一试

用配方法解方程x2+px+q=0(p2—4q>0).

先由学生讨论探索，教师再板书讲解。

解：移项，得x2+px=-q,

PPP

配方，得X2+2•x-2+(2R=(2%

pp2-4q

即(X+2)2=4.

因为p2—4qK)时，直接开平方，得^_______

P_J/一钠

x+2=±2.

£Jp2_4q

所以x=-2土2,

_.土”-4q

即x=2.

思考：这里为什么要规定p2—4qK)?

七、讨论

1、如何用配方法解下列方程？

4x2—12x—1=0;

请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？

2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。

先由学生讨论探索，再教师板书讲解。

解：(1)将方程两边同时除以4,得X2-3x——=0

4

移项，得X2-3X=-

4

313

配方，得X2-3X+(-)2=-+(-)2

242

直接开平方，得x--

22

3+痴3-痴

所以X12，X2=2

3,练习：用配方法解方程：

(1)2/—7x—2=0(2)3X2+2X-3=0.

(3)2X2-4X+5=0(原方程无实数解)

本课小结：让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到

方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的

一半的平方，使左边成为完全平方；

如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。

23.2.4一元二次方程的解法

教学目标：

1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。

3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

1、,难点1掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；

2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较