2024年4月浙江省宁波镇海一模 数学（含答案）

第第页2024年4月浙江省宁波镇海一模数学一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．在实数1，0，3，−2中，最小的数是()A．1 B．0 C．3 D．−22．据统计，2024年春节期间，国内旅游出行474000000人次，其中数474000000用科学记数法表示为（）A．4.74×107 B．47.4×13．下列计算正确的是（）A．a3−aC．(a3)4．一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：树苗平均高度（单位：m）标准差甲苗圃1.80.2乙苗圃1.80.6丙苗圃2.00.6丁苗圃2.00.2请你帮采购小组出谋划策，应选购（）A．甲苗圃的树苗 B．乙苗圃的树苗；C．丙苗圃的树苗 D．丁苗圃的树苗5．若点G(a,2−a)是第二象限的点，则A．a<0 B．a<2 C．0<a<2 D．a<0或a>26．如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（）A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tan 第6题图 第7题图7．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm，宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形；甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一)，乙同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二)，请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是（）．A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法判断8．甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为（）A．5x=5y+104y=6x B．C．5x+10=5y4x=6y D．9．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示．下列结论：①abc>0；②b+4a=0；③b+c>0；④若图象上有两点x1,y1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第9题图 第10题图10．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，则△DGA．2AB B．AB+2BF C．2AB+BF二、填空题（每小题4分，共24分）11．若分式x−2x+3的值为0，则x的值是12．分解因式：mx213．在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，∠B的平分线BE交边AD于点E，则DE的长为 第13题图 第15题图 第16题图14．一个圆锥的高为4，母线长为6，则这个圆锥的侧面积是．15．有三面镜子如图放置，其中镜子AB和BC相交所成的角∠ABC=110°，已知入射光线EF经AB,BC,CD反射后，反射光线与入射光线EF平行，若∠AEF=α，则镜子BC和CD相交所成的角∠BCD=．（结果用含α的代数式表示）16．如图，已知矩形ABCD，过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E，若∠AED=∠ACB，则tan2∠BAE=三、解答题（第17-19题每小、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分）17．计算：（1）202（2）先化简，再求值：(1+x)(18．某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分10分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成四类：A类(m=10)，B类(7≤m≤9)，C类(4≤m≤6)，D类(m≤3)，绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的人数为______，并补全条形统计图：（2）扇形统计图中A类所对的圆心角是______°，测试成绩的中位数落在______类；（3）若该校九年级男生有500名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A类或B类的共有多少名？19．如图，直线y=kx+b与双曲线y=mx(x>0)（1）求直线及双曲线对应的函数表达式；（2）直接写出关于x的不等式kx+b>m（3）求△ABO的面积．20．如图，已知△ABC和△AEF均是等边三角形，F点在AC上，延长EF交BC于点D，连接AD，（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）当点D在线段BC上什么位置时，四边形ADCE是矩形？请说明理由．21．如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的各个顶点都在格点上．（1）在BC边上作一点M，使得△ABM的面积是83，并求出BM（2）作出AC边上的高BD，并求出高BD的长．（说明：只能使用没有刻度尺的直尺进行作图，并保留画图痕迹）22．星期日上午9:00，小明从家里出发步行前往离家2.4km的镇海书城参加读书会活动，他以75m/min的速度步行了12min后发现忘带入场券，于是他停下来．打电话给家里的爸爸寻求帮助，9:15爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以375m/min的速度行进，同一时刻小明继续按原速步行赶往目的地．爸爸追上小明后载上他以相同的车速前往书城（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程sm与小明所用时间（1）求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式及a的值．（2）爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？23．根据以下素材，探索完成任务．设计跳长绳方案素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．素材2：某班进行赛前训练，发现：（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线．已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2；（2）9名跳绳同学身高如右表．身高m1.701.731.751.80人数2241素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的起跳高度在0.25m及以下较为舒适；（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的1920问题解决任务1：确定长绳形状，请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．任务3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．24．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，且BD为直径．作AF∥BC交CD于点E，交⊙O于点F．（1）证明：AF⊥CD；（2）若cos∠DAF=45（3）如图2，连接BE并延长交DF于点G，交⊙O于点H．若AF=CD，∠AEB=∠BDC．①求tan∠BDC；②连接OE，设OE=x，用含x的式子表示GH的长．（直接写出答案）

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵1＜3，

∴1＜3，即1＜3

∴-2＜0＜1＜3，

∴在实数1，0，3，−2中，最小的数是-2.

故答案为：D.

2．【答案】C【解析】【解答】∵474000000=4.74×108，

故答案为：C.

【分析】按照科学记数法定义（将一个数记成a×103．【答案】C【解析】【解答】A：a3−a2≠a，错误；

B：a3·a2=a5，错误；4．【答案】D【解析】【解答】由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适；又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗．故答案为：D．

【分析】根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，再根据树苗的高度的平均数，选择丁苗圃的树苗。5．【答案】A【解析】【解答】∵点G(a,2−a)是第二象限的点，

∴a<0,2−a<0，

∴a<0.

故答案为：A.6．【答案】A【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，如图所示：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∵coα=DC∴DC=AC⋅cos∴BC=2DC=4cos故答案为：A．【分析】利用三线合一得到BD=DC=17．【答案】B【解析】【解答】解：方案一中，∵E、F、G、H都是矩形ABCD的中点，∴△HAE≌△HDG≌△FCG≌△FBE，S△HAES菱形=12×5−15=30；方案二中，设BE=x，则CE=AE=12−x，在Rt△ABE中，AB=5，BE=x，AE=12−x，由勾股定理得(12−x)2解得x=119∴CE=BC-BE=12-11924=∴S菱形AECF=16924×5≈35

故甲<乙．故答案为：B．

【分析】方案一中，根据矩形性质、中点定义及三角形全等的判定方法SAS可得四个小直角三角形全等，用矩形面积减去4个小直角三角形的面积，即可得菱形面积；方案二中，设BE=x，根据菱形性质得CE=AE=12-x，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程求出x，再利用底×高可求菱形面积，然后比较两者面积大小即可．8．【答案】B9．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，∴a<0．∵抛物线对称轴为x=−b∴b=−4a>0．∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0．∴abc>0，故①正确；∵b=−4a，∴b+4a=0，故②正确；由题意，当x=1时，y=a+b+c>0．又a<0，∴b+c>−a>0，故③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=2，∴当x=0时与当x=4时函数值相等．∴当0<x1<4<x2综上，正确的有：①②③．故答案为：C．

【分析】由抛物线开口向下得a<0，由抛物线对称轴直线为x=−b2a=2，得b=−4a>0，再结合抛物线与y轴交于负半轴，得c<0，进而可以判断①；

由b=−4a，从而可以判断②；

根据图象得当x=1时，函数值y=a+b+c>0，结合a<0，故b+c>−a>0，从而可以判断③；

由抛物线的对称轴是直线x=2，根据抛物线的对称性得当x=0时与当x=4时函数值相等，进而根据抛物线的增减性可得当0<x110．【答案】A【解析】【解答】解：如图，作BH⊥A'B'，连接∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=∠A=90°，由折叠可得BF=B'F∴∠2=∠3，∵∠BHG=∠F∴BH∥FB，∴∠2=∠4，∴∠3=∠4，在△BCB'和∠BH∴△B∴BC=BH，HB在Rt△BAG和Rt△BHG中，BG=BG∴△BHG≌△BAGHL∴GH=AG，∴C△DG故答案为：A．

【分析】如图，作BH⊥A'B'于点H，连接BG，BB'，由正方形的性质得∠ABC=∠C=∠A=90°，由折叠可得BF=B'F，∠F11．【答案】2【解析】【解答】解：∵分式x−2x+3∴x-2=0，且x+3≠0，∴x=2．故答案为：2.【分析】根据分式的值为0的条件得到x-2=0，x+3≠0，解出x的值即可．12．【答案】m(x+2)(x−2)【解析】【解答】∵mx2−4m=mx2−4=m13．【答案】3【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=8，∴∠AEB=∠CBE，∵∠B的平分线BE交AD于点E，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB=5，∴DE=AD−AE=8−5=3，故答案为：3．

【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得AD=BC=8，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠AEB=∠CBE，再由角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，则∠AEB=∠ABE，由等角对等边得AE=AB，从而根据线段和差求得结果．14．【答案】12【解析】【解答】∵一个圆锥的高为4，母线长为6，

∴圆锥的半径为：62−42=25，

∴圆锥的侧面积为：πrl=π×2515．【答案】90°+α【解析】【解答】解：根据入射光线FE画出反射光线EG，交BC于点G，同理根据入射光线EG画出反射光线GH，交CD于点H，根据入射光线GH画出反射光线HK，过点G作EF的平行线，则EF∥GP∥HK．

∵入射角等于反射角∴∠BEG=∠AEF=α∴∠GEF=180°−2α∵∠ABC=110°∴∠BGE=180°−110°−α=70°−α∵入射角等于反射角∴∠HGC=∠BGE=70°−α∴∠EGH=180°−2×∵GP∥EF∥HK∴∠GEF+∠EGP=180°,∠PGH+∠GHK=180°∵∠EGP+∠PGH=∠EGH=40°+2α∴∠GEF+∠EGH+∠GHK=360°∴∠GHK=360°−根据入射角等于反射角，可知：∠GHC=∠KHD=∴∠BCD=180°−∠CGH−∠GHC=90°+α故答案为：90°+α．【分析】根据入射光线FE画出反射光线EG，交BC于点G，同理根据入射光线EG画出反射光线GH，交CD于点H，根据入射光线GH画出反射光线HK，过点G作EF的平行线，则EF∥GP∥HK．由入射角等于反射角得∠BEG=∠AEF=α，由三角形的内角和定理得∠BGE=70°−α；由入射角等于反射角得∠HGC=∠BGE=70°−α，由平角定义得∠EGH=40°+2α，由二直线平行，同旁内角互补得∠GEF+∠EGP=180°,∠PGH+∠GHK=180°，根据角的构成及等式性质可推出∠GHK=140°，由入射角等于反射角得∠GHC=∠KHD=20°，最后根据三角形的内角和定理可求出∠BCD的度数.16．【答案】2【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC,AB=CD,∠ABC=∠BCD=90°,AD∥BC，∴△ADF∽△CEF，∠ADE=∠CEF，

∴ADEC=DFEF

∴ADEC=ED−EFEF，

∴△ADE∽△FEC，∴EFAD∴ED·ECAD∴ED根据勾股定理，得ED∴CD∴AB∴AB∴AB∵AE⊥AC，∴∠BAE=90°−∠AEB=∠BCA，∵∠ABE=∠CBA=90°，∴△BAE∽△BCA，∴ABBC∴AB∴EB解得EB=−2BC±2∴EBBC∵tan∴tan2故答案为：2−1【分析】利用矩形的性质得AD=BC,AB=CD,∠ABC=∠BCD=90°,AD∥BC，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ADF∽△FEC，由相似三角形对应边成比例建立方程可推出EF=ED·ECAD+EC，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△FEC，由相似三角形对应边成比例得EFAD=ECED，从而可推出ED·ECADAD+EC=ECED，进而得E17．【答案】（1）解：202=1+9×==5（2）解：原式=1−=1+2x．当x=12时，原式【解析】【分析】（1）分别计算零次幂，有理数的乘方，负整数幂和绝对值，再按照有理数混合运算计算即可；（2）先将式子进行化简，将x值代入即可求出答案.18．【答案】（1）解：50C组人数为50−10−22−3=15（人），补全的条形统计图如图；

（2）72，B（3）解：A类或B类的共有500×(20%+44%【解析】【解答】（1）解：本次抽样调查的人数为10÷20%C组人数为50−10−22−3=15（人），补全的条形统计图如图；故答案为：50人；（2）解：A类所对的圆心角是360°×20%样本量为50，可知数据从大到小排列，第25，26个数在B类，故中位数在B类；故答案为：72，B；【分析】（1）由统计图表提供的信息，用A类的人数除以其所占的百分比求出样本容量，根据各类人数之和等于本次调查的总人数求出C组人数，从而可补齐图形；（2）用360°乘以A类的人数所占的百分比求出扇形统计图中A类所对的圆心角度数；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可求出测试成绩的中位数落在的类别；（3）用该校九年级男生的总人数乘以样本中“引体向上”项目成绩为A类或B类的人数所占的百分比，即可估算出该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A类或B类的人数.19．【答案】（1）解：把B6,1代入y=mx，得：m=6，∴反比例函数的解析式为y=6x；

把A2,n代入y=6x，得：n=3，

∴A2,3，

把A2,3、B6,1代入y=kx+b，得：2k+b=36k+b=1，

解得：k=−（2）解：由图象可知当2<x<6时，kx+b>mx(x>0)，

∴不等式kx+b>mx（3）解：设一次函数的图象与坐标轴交于C，D两点，分别过A，B两点作AE⊥y轴于E，作BF⊥x轴于F，

∵A2,3、B6,1，

∴AE=2,BF=1，

∵一次函数的解析式为y=−12x+4，当x=0时，y=4，

当当y=0时，0=−12x+4，解得，x=8，

∴点C的坐标是0,4，点D的坐标是8,0

∴OC=4，OD=8．

∴【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量x的取值范围即可；（3）设一次函数的图象与坐标轴交于C，D两点，分别过A，B两点作AE⊥y轴于E，作BF⊥x轴于F，然后根据S△AOB20．【答案】（1）证明：∵△ABC和△AEF均是等边三角形，

∴∠BAC=∠AFE=60°，∠ACB=∠FAE=60°，

∴AB∥DE，AE∥BD，

（2）解：当点D在BC中点时，四边形ADCE是矩形，理由如下；

∵AB=AC，点D在BC中点，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE=BD，

∴AE=CD，

∵AE∥CD，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵AD⊥BC，

∴四边形【解析】【分析】（1）由等边三角形的三个内角都是60°，可得∠BAC=∠AFE=60°，∠ACB=∠FAE=60°，由内错角相等，两直线平行得（2）由等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，BD=CD，由平行四边形的对边相等得AE=BD，则21．【答案】（1）解：如图△ABM就是所求的三角形，

由网格的特征可知：BG∥CH，

∴△CHM∽△BGM，

∴BGCH=BMCM=12，

∴△ABM面积为（2）解：如图，根据网格作垂线的方法可BD得即为所求，

由网格的特征可知：AC=32+42=5，

∴S22．【答案】（1）解：爸爸到达镇海书城所用时间为2400375设爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式为s=kt+b，把(15,0)，(21.4,2400)代入s=kt+b，得：15k+b=021.4k+b=2400解得k=375b=−5625∴爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式为s=375t−5625；∵爸爸的速度不变，∴他返回家的时间和到达书城的时间均为6.4min，∴a=15+2×6.4=27.8；（2）解：设爸爸出发后x分钟追上小明，则375x=75(12+x)，解得x=3，此时，2400−375×3=1275(m)，答：爸爸出发后3分钟追上小明，此时距离镇海书城还有1275米．【解析】【分析】（1）首先根据路程除以速度等于时间求出爸爸到达书城所用时间，则爸爸离开家的路程s关于t的函数图象经过点（15，0）及（21.4，2400），从而根据待定系数法求函数解析式；由于爸爸返回时速度不变，故他返回家的时间和到达书城的时间一样，从而即可求出a的值；（2）设爸爸出发后x分钟追上小明，根据追及问题等量关系“小明所走的路程=爸爸骑行的路程”列出方程，解方程求出x，进而用书城与家之间的距离减去爸爸骑行的路程即可求出距离书城的距离．23．【答案】解：任务1：以两个摇绳人的中点所在直线与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：

由已知可得，−3,1,3,1在抛物线上，且抛物线顶点的坐标为0,2，

设抛物线解析式为y=ax2+2，

∴1=9a+2，

解得：a=−19，

∴抛物线的函数解析式为：y1=−19x2+2

任务2：∵抛物线的对称轴为直线x=0，9名同学，以y轴为对称轴，分布在对称轴两侧，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距，则最右边侧的同学的坐标为0.45×4,1.70即1.8,1.7，

当x=1.8时，y=−19×1.82+2=1.64

按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高：1.70×1920=1.615<1.64

∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到位于最边侧的同学；

任务3：∵当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线．

设开口向上的抛物线解析式为y2，对称轴为直线x=0，则y2的顶点坐标为0,0，

∵y1，【解析】【分析】任务1：以两个摇绳人的中点所在直线与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，由题意可得点（-3，1），（3，1）在抛物线上，且抛物线顶点的坐标为（0，2），从而用待定系数法求解析式即可；任务2，由题意得出最右侧同学的坐标为(1.8，1.7)，将x=1.8代入（1）所求的解析式算出对应的函数值，然后结合排列方式求得最右侧同学屈膝后身高，然后比较大小即可得出结论；任务3，由于当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，故两抛物线开口大小不变，开口方向相反，又当绳子摇至最低处时抛物线的顶点坐标为（0，0），从而可求得绳子摇至最低处时，抛物线的解析式为y2=−19x24．【答案】（1）证明：∵BD为直径，

∴∠BCD=90°，

∵AF∥BC，

∴∠AED=∠BCD=90°，

即AF⊥CD．（2）解：∵AF∥BC，

∴∠EAC=∠ACB，

又∵∠ACB=∠ADB，

∴∠EAC=∠ADB，

∵∠AEC=∠BAD=90°，

∴△AEC∽△DAB，

∴ACBD=AEAD，

∴cos∠DAF=AEAD=45，

∴ACBD=4（3）解：①如图2，过点O作OP⊥DC于点P，OQ⊥AF于点Q，如图所示：

∵∠OPE=∠PEQ=∠OQE=90°，

∴四边形OPEQ是矩形，

∵AF=CD，

∴OP=OQ，

∴矩形OPEQ是正方形

设OP=a=PE，CE=b