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文档简介
试卷第=page11页,共=sectionpages33页【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题08立体几何真题专项训练(全国竞赛+强基计划专用)一、单选题1.(2020·北京·高三强基计划)如图,设P为单位立方体的棱上的一点,则的最小值为(
)A. B.C. D.前三个答案都不对【答案】A【分析】如图,将和翻折到同一平面后可求的最小值.【详解】如图,将和翻折到同一平面.可得所求最小值为.故选:A.2.(2022·贵州·高二统考竞赛)平面与长方体的六个面所成的角分别为,则的值为(
)A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【详解】解法1.取平面与长方体的一个面平行或重合,则在中有两个为0,四个为,所以4.故选:C.解法2.建立如图的空间坐标系,取的法向量为,长方体相邻三个面的法向量为,,,∴,∴=6.故选:C.二、填空题3.(2019·全国·高三竞赛)已知是所在平面外一点,则平面,,.则点到平面的距离的最大值是______.【答案】【详解】如图,作于点,联结,作于点.因为平面,,所以,平面平面平面.由,得平面.于是,即为点到平面的距离.因为,所以,.又.在中,.故所求的最大值为.故答案为4.(2019·全国·高三竞赛)在三棱柱中,底面边长和侧棱长均相等,.则异面直线与所成的角为_______.【答案】.【详解】在平面中,将平移至,则即为所求的角设三棱柱底面边长和侧棱长均为1.在中,,=于是,.故答案为5.(2018·全国·高三竞赛)已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,且SA=SB=SC=AB=2.则三棱锥S-ABC外接球表面积为__________.【答案】【详解】如图,设三棱锥S-ABC外接球球心为O,半径为R由SA=SB=SC=AB=2,知S在平面ABC内的投影为的外心,即AB的中点H.由OA=OB=OC,知O在平面ABC内的投影也为AB的中点H.于是,S、O、H三点共线.又由OA=OB=OS,知O为的外心.因此,.故所求为.6.(2020·江苏·高三竞赛)在长方体中,,,是的中点,是的中点.若异面直线与所成的角为,距离为,则__________.【答案】1616【详解】因为,故.过点作于点,则,故.因为,,所以,则,从而可得.故答案为:1616.7.(2021·浙江·高二竞赛)在中,,,,分别在线段和上,,,直线于.现将三角形沿着对折,当平面与平面的二面角为时,则线段的长度为______.【答案】【分析】先根据二面角的定义,得到△BCD为等边三角形,得到BC的长度,然后在折后的立体图形中,在△PAQ和△BAC中利用余弦定理即可求得线段的长度.【详解】因为折叠前后,AD与DB,CD的垂直关系保持不变,∴∠BDC为二面角B—AD—C的平面角,依题意可知,在折叠前的图形中,,∴,∴在折叠后,△ABC为等边三角形,∴,所以,又∵AP=1,,AD=1,AB=AC=2,∴,解得.故答案为:.8.(2022·浙江·高二竞赛)在正四棱锥中,M在棱上且满足.过作截面将此四棱锥分成上,下两部分,记上,下两部分的体积分别为,,则的最大值为______.【答案】【详解】设过AM的平面交SB,SD于G,P,将平面MGAP延伸,交BC,CD于E,F,则A,E,F共线.设,,又,而,由于,,,.故答案为:.9.(2022·广西·高二统考竞赛)若长方体的长、宽、高都是自然数,且所有棱长之和等于它的体积,则称此长方体为“完美长方体”,“完美长方体”的体积的最大值为______.【答案】【详解】设长、宽、高分别为、、,且,则,,,.由得,故从而.因此,,,,,,所求最大值为.故答案为:120.10.(2022·福建·高二统考竞赛)如图,P为长方体的对角线上一点,平面平面,若,则二面角P-AB-C的正切值为___________.【答案】2【详解】如图,设、O分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点,因为平面平面,平面平面,平面平面,所以,又,所以O、P、三点共线,设Q为与的交点,则Q为的中点,P为QB的中点,因此,作于H,于R,则平面ABCD,,∠PRH为二面角P-AB-C的平面角,由,,可得,,所以,二面角P-AB-C的正切值为2.故答案为:2.11.(2022·新疆·高二竞赛)已知二面角的平面角为,A,D为直线l上的两点,射线在平面内,射线在平面内,已知,则等于___________.【答案】【详解】在平面中,过点A作的垂线,交射线于点B,交射线于点C,设,则,则是二面角的平面角;在中,利用余弦定理得,同理在中,,所以.故答案为:.12.(2022·江苏南京·高三强基计划)在棱长为6的正四面体ABCD中,M为面BCD上一点,且,设异面直线AM与BC所成的角为,则的最大值为___________.【答案】【详解】过A作底面BCD的垂线AH,H为垂足,则,由,可知AM是以AH为旋转轴的圆锥的母线,且M所在的底面圆周半径,由最小角定理知,AM与BC所成角的最小值为AM与面BCD所成线面角,即当最小时,.故答案为:.13.(2019·全国·高三竞赛)、分别是正四面体的棱、的中点,则平面和平面所成二面角的余弦值是______.【答案】【详解】设正四面体的棱长为1,平面与平面所成二面角的大小为,易知,过点作的平行线,则,且就是平面和平面所成二面角的棱,易知,,,,,,故,由三面角余弦定理得.14.(2018·全国·高三竞赛)在三棱锥中,已知底面.若,且,则=______.【答案】.【详解】如图,作于点,联结.显然,.故可在线段上取一点,使得,联结、.易证.从而,.故、、、四点共圆.这表明,点在外.由,知为钝角.从而,.故.15.(2019·全国·高三竞赛)在空间四边形中,,,、分别是、上的点,使得.则=______(用、表示).【答案】.【详解】如图,.记.则,.故.将,,代入即得.16.(2019·全国·高三竞赛)在边长为1的正方体中,点、、分别为棱、、的中点.则四面体的体积为______.【答案】【详解】如图,过点作的平行线,与交于点.则.由题设得.在正方体底面上,有.故.17.(2018·全国·高三竞赛)已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形,平面,,若点满足,则三棱锥的体积为______.【答案】【详解】记的中心点为.则.故.18.(2018·全国·高三竞赛)设正三棱柱的体积为,点分别在棱上,满足.则四面体的体积为______.【答案】【详解】.19.(2018·全国·高三竞赛)在正四棱锥中,已知,分别为中点.则______.【答案】【详解】注意到.同理,.又同理.故.20.(2018·全国·高三竞赛)一个粮仓大致可看做一个圆台,其上底半径为3米,下底半径为6米,高为米.一只吃饱了的老鼠在锻炼身体,它打算从圆台下底圆周上的点出发,绕圆台侧面慢跑一周,再回到点.为了使路程最短,这只老鼠至少要跑______米.【答案】【详解】将此圆台的侧面展开,得到一个圆环的一部分,如图,在展开图中,弧和弧分别对应圆台的下底和上底,点是老鼠的出发点.假设圆环的内半径为,外半径为,所对的圆心角为,显然,,,.解得,,.作与弧切于点,与弧切于点.由图像,知为最短路线,其中,这一段路线在弧上.计算得,且易知,.故弧的长为.于是,最短路线长度为(米).21.(2019·全国·高三竞赛)在四棱锥中,已知四边形为矩形,且,,,与交于点,为边的中点.则与平面所成的角为______.【答案】【详解】取边的中点,则,.从而,.过点作,则.于是,为所求.因为为斜边的中线,所以,.又,从而,.故与平面所成的角为.22.(2018·全国·高三竞赛)在正四棱锥中,已知,且侧面侧面所成二面角大小为.该四棱锥外接球的体积为______.【答案】【详解】分别过点、作的垂线,则垂线必交于上一点,且,.因为,所以,.由,得.设为正方形的中心,则四棱锥外接球的球心必在直线上,与球交于另一点.又,则.由,知.故.23.(2018·全国·高三竞赛)用一块边长为2的正方形纸片(顶点为、、、,中心为)折成一个正四棱锥.当该四棱锥体积最大时,二面角的平面角的大小为______.【答案】【详解】如图,作于点,连接.则,为所求二面角的平面角.设为底面中心.则平面.作,连接.由三垂线定理得.设.则,,.故.由均值不等式的等号成立条件,知当且仅当时,取最大值.又,,则.而,故由余弦定理得.因为,所以,.24.(2019·全国·高三竞赛)已知四面体ABCD的四个面的面积分别为12、21、28、37,顶点D到面的距离为h.则h=__________.【答案】【详解】注意到,.因此,四面体ABCD为直角四面体.故.25.(2020·浙江·高三竞赛)如图所示,在单位正方体上有甲、乙两个动点,甲从点匀速朝移动;乙从点匀速出发朝移动,到达后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发,当甲到达时,乙恰好在到达后折返到,则在此过程中,甲、乙两点的最近距离为__________.【答案】【详解】设甲、乙的速度分别为、,在此过程中,,即.不妨设、,则总的时间为1.设在时间为末,甲、乙之间的距离最短,即此时、分别达到、点.分两种情况讨论:路程前半程与路程后半程.(1)路程前半程:,则,,,,,进而有,故(当且仅当时取等号).(2)路程后半程:,则,,,,,进而有,故(当且仅当时取等号).因为,所以在此过程中,甲、乙两点的最近距离为.故答案为:26.(2018·河北·高二竞赛)若的三边长分别为8、10、12,三条边的中点分别是B、C、D,将三个中点两两连结得到三条中位线,此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图,则此三棱锥的外接球的表面积是________.【答案】【详解】由已知,四面体A-BCD的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对角线长分别为4、5、6,设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,外接球半径为R,则,得,故,所以.27.(2019·四川·高三校联考竞赛)已知正四棱锥的高为3,侧面与底面所成角为,先在内放入一个内切球O1,然后依次放入球,使得后放入的各球均与前一个球及的四个侧面均相切,则放入所有球的体积之和为_____.【答案】【详解】设侧面与底面所成角为.记球Oi的半径为ri,体积为Vi,i=1,2,3,….因为,故,即.定义,由于,所以,即,所以.故,所以.故答案为:.三、解答题28.(2022·贵州·高二统考竞赛)甲乙二人轮流给一个正方体的棱涂色,首先,甲任选3条棱涂成红色,然后乙从余下的9条棱中任选3条涂成绿色,接着甲从余下的6条棱中任选3条涂成红色,最后乙将余下的3条棱涂成绿色,如果甲能将某个面上的4条边全都涂成红,甲就获胜,试问甲有必胜策略吗?说明理由.【答案】甲没有必胜策略,理由见解析【详解】将正方体的12条棱分成4组:,,.当甲第一次涂红3条棱后,由抽屈原理知,上述4组棱中总有一组的3条棱均未被涂红.乙只要将这一组的3条棱涂绿,则正方体的6个面就各有一条绿边.可见,甲没有必胜策略.29.(2018·全国·高三竞赛)在三棱锥中,已知,,,且.以为球心、1为半径作一个球.则三棱锥不在球内部的部分体积为______.【答案】.【详解】考虑棱长为的正方体将点置于正方体的中心,、、可置于正方体的三个顶点,该三个顶点在正方体的同一个面上.故球与三棱锥相交的部分是球体的.从而,所求体积为.30.(2021·全国·高三竞赛)证明:如下构造的空间曲线的任意五等分点组都不在同一球面上,曲线的构造:作周长为的圆,在圆上取使的长度,并以为轴将旋转得弧,在圆上取,使的长度的长度,并以为轴将旋
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