2025年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣2025的绝对值是（）A．﹣2025 B．2025 C． D．2．（3分）中国剪纸是中国最具代表性的民间艺术之一，于2009年入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）已知a＞5，下列不等式一定成立的是（）A．﹣a＞﹣5 B．5﹣a＞0 C．2a＞10 D．a＞64．（3分）扇形的半径为9，圆心角为160°，则该扇形的面积是（）A．3π B．8π C．24π D．36π5．（3分）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k可能的值是（）A．0 B． C．﹣1 D．7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，再分别以点M，N为圆心的长为半径画弧，两弧交于点P，则△ABD的面积是（）A．6 B．10 C．12 D．208．（3分）如图，线段AB＝10，点C是线段AB上的一个动点，BC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，等腰直角三角形BCE，连接DF，EF（）A． B．10 C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）4的算术平方根是．10．（3分）3月29日据网络平台数据，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突，位列全球影史票房榜第5名．数科学记数法可表示为．11．（3分）如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时．12．（3分）因式分解：x3﹣x＝．13．（3分）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg），它的最快移动速度v＝5m/s；当其载重后总质量m＝100kg时m/s．14．（3分）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上的中点，CB＝CE．若∠AOB＝100°，则∠DCE＝°，15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的图象以点A（1，m），B（3，m），C（0，﹣m），其中m为常数，则方程ax2+bx﹣2c＝0的解为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，过点C作CD∥AB交AC′于点D，则CD的长是．三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：．18．（5分）解方程组：．19．（6分）先化简，再求值：，其中．20．（6分）已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，E，AE，BC相交于点F（1）求证：△ABF≌△CBD；（2）已知AD＝7，BF＝2，求CF的长度．21．（6分）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．22．（8分）从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“羽毛球”，C为“踢毽子”，D为“跳绳”．请你根据图中提供的信息（1）本次调查共抽取了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“跳绳”所对应的圆心角度数；（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球．23．（8分）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，∠DCE＝30°，点E、C、A在同一水平线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，求塔AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.509，≈1.414，≈1.732）24．（8分）如图，四边形OABC是菱形，其中点C（0，5）的图象上，OA与x轴正方向的夹角为α，且的图象与线段BC交于点D．（1）求k的值；（2）点E为反比例函数图象上的一个动点（点E在点A，D之间运动，不与A，D重合），过点E作EM⊥AB，过点E作EN∥BC，交OC于点N，求点E的坐标．25．（10分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，连接CD，以CD为直径的⊙O交AB于点D，连接AE，交⊙O于点F，已知∠ADF＝∠CAE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若，①求CE的长；②求DF的长．26．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），点E是直线BC下方抛物线上的一个动点，与BC交于点D．连接AC，CE，连接AF．设点E的横坐标为m，△ACD面积为S1，△ECD面积为S2，△AEF面积为S3．（1）求抛物线的表达式；（2）若，求m的值；（3）若，则点E的坐标为．27．（10分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，锐角△ABC中，∠BAC＝30°，作BD⊥AC，垂足为D；【一般证明】（2）如图②，锐角△ABC中，∠BAC＝α，AC＝b，△ABC的面积为S．求证：；【迁移应用】（3）如图③，锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝4，AD是∠BAC的平分线；（4）如图④，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，点D在边CB上，连接AD，AD的中点为点E，AC分别交于P，Q两点，求的值．

2025年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDCDCBCA一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣2025的绝对值是（）A．﹣2025 B．2025 C． D．【解答】解：由题知，﹣2025的绝对值是2025．故选：B．2．（3分）中国剪纸是中国最具代表性的民间艺术之一，于2009年入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．故选：D．3．（3分）已知a＞5，下列不等式一定成立的是（）A．﹣a＞﹣5 B．5﹣a＞0 C．2a＞10 D．a＞6【解答】解：A．∵a＞5，∴﹣a＜﹣5，故选项A不成立；B．∵a＞6，∴a﹣5＞0，∴3﹣a＜0，故选项B不成立；C．∵a＞5，∴7a＞10，故选项C成立；D．∵a＞5，a＝5.7＜6．故选：C．4．（3分）扇形的半径为9，圆心角为160°，则该扇形的面积是（）A．3π B．8π C．24π D．36π【解答】解：这个扇形的面积＝＝36π．故选：D．5．（3分）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，＝10，故选：C．6．（3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k可能的值是（）A．0 B． C．﹣1 D．【解答】解：根据题意，得：Δ＝k2﹣4×7×＝k3﹣2＞0，解得：k＞或k＜﹣，故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，再分别以点M，N为圆心的长为半径画弧，两弧交于点P，则△ABD的面积是（）A．6 B．10 C．12 D．20【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，AD平分∠BAC，∴CD＝ED．∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（AAS），∴S△ADE＝S△ACD＝6．∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD＝30°，∴∠EAD＝∠B，∴AD＝BD，即△ABD为等腰三角形，∴S△ADE＝S△BDE＝6，∴△ABD的面积为S△ADE+S△BDE＝12．故选：C．8．（3分）如图，线段AB＝10，点C是线段AB上的一个动点，BC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，等腰直角三角形BCE，连接DF，EF（）A． B．10 C． D．【解答】解：设AC＝x，则BC＝10﹣x，∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°x，CE＝，∴∠DCE＝90°，DC+CE＝（10﹣x）＝6，∴DE2＝DC7+CE2＝x2+（10﹣x）2＝x2﹣10x+50＝（x﹣8）2+25，∴DE＝＝5，∴当x＝5时，DE取得最小值，∴此时DC+CE+DE＝2+5，即△DEF周长的最小值为6+5，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）4的算术平方根是2．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2，故答案为：3．10．（3分）3月29日据网络平台数据，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突，位列全球影史票房榜第5名．数科学记数法可表示为1.54×1010．【解答】解1.54×1010．故答案为：1.54×1010．11．（3分）如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时．【解答】解：∵圆被等分成6份，其中阴影部分占3份，∴落在阴影区域的概率为，故答案为：．12．（3分）因式分解：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+7）（x﹣1），故答案为：x（x+1）（x﹣2）13．（3分）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg），它的最快移动速度v＝5m/s；当其载重后总质量m＝100kg时3m/s．【解答】解：根据题意，假设机器狗的最快移动速度v与载重后总质量m成反比例关系，即v＝，已知当m＝60kg时，代入可得：k＝vm＝5×60＝300．当m＝100kg时，v＝＝3．故答案为：6．14．（3分）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上的中点，CB＝CE．若∠AOB＝100°，则∠DCE＝85°，【解答】解：如图，连接OC、OE．∵CB＝CE，∴∠BOC＝∠EOC，∵OB＝OC＝OE，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）（180°﹣∠EOC），∴∠OBC＝∠OCB＝∠OCE＝55°，∵D是的中点，∴＝，∵∠AOB＝100°，∴∠BOD＝∠AOB＝50°，∴∠BCD＝∠BOD＝25°，∴∠OCD＝∠OCB﹣∠BCD＝55°﹣25°＝30°，∴∠DCE＝∠OCD+∠OCE＝30°+55°＝85°．故答案为：85．15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的图象以点A（1，m），B（3，m），C（0，﹣m），其中m为常数，则方程ax2+bx﹣2c＝0的解为2．【解答】解：由题意得：，解得：，则方程ax2+bx﹣2c＝3为﹣mx6++8m＝0，解得：x＝2，故答案为：2．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，过点C作CD∥AB交AC′于点D，则CD的长是．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，∴AC＝＝5，由翻折可知CC'＝2CB'＝5CB＝6，AB'＝AB＝4，∠AB'C＝∠AB'C'＝∠ABC＝90°，如图，过C作CM⊥AC'于点M，则S△ACC'＝＝CM•AC'，∴CM＝＝，在Rt△ACM中，AM＝＝，∴tan∠CAD＝＝，过D作DN⊥AC于点N，则tan∠CAD＝＝，设AN＝7a，则DN＝24a，∵CD∥AB，∴∠DCN＝∠CAB，∴tan∠DCN＝tan∠CAB，即＝＝，∴CN＝32a，∴CD＝＝40a，又∵AC＝AN+CN＝39a＝5，∴a＝，∴CD＝40a＝，故答案为：．三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：．【解答】解：原式＝3+2﹣8＝4．18．（5分）解方程组：．【解答】解：，①+②得：2x＝12，解得：x＝3，将x＝3代入①得：4+2y＝7，即y＝7，则方程组的解为．19．（6分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式＝1﹣＝＝，当时，原式＝．20．（6分）已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，E，AE，BC相交于点F（1）求证：△ABF≌△CBD；（2）已知AD＝7，BF＝2，求CF的长度．【解答】（1）证明：∵CB⊥AD，AE⊥DC，∴∠ABF＝∠CBD＝90°，∠CEF＝90°，∴∠A+∠AFB＝90°，∠C+∠CFE＝90°，又∵∠AFB＝∠CFE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBD中，，∴△ABF≌△CBD（ASA）；（2）解：由（1）可知：△ABF≌△CBD，∴AB＝CB，BF＝BD，∴AD＝AB+BD＝AB+BF，∴AB＝AD﹣BF，∵AD＝7，BF＝2，∴AB＝AD﹣BF＝3﹣2＝5，∴AB＝CB＝5，∴CF＝CB﹣BF＝5﹣2＝8．21．（6分）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．【解答】解：（1）P（甲在2号出入口开展志愿服务活动）＝，故答案为：；（2）∵一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有6种情况，∴P（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）＝．22．（8分）从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“羽毛球”，C为“踢毽子”，D为“跳绳”．请你根据图中提供的信息（1）本次调查共抽取了50名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“跳绳”所对应的圆心角度数；（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球．【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为：20÷40%＝50（名），故答案为：50；（2）喜欢乒乓球的学生人数为：50﹣20﹣8﹣5＝17（名），补全条形统计图如图：“跳绳”所对应的圆心角度数为：360°×＝36°；（3）1200×＝408（名），答：估计全校有408名学生课间喜欢乒乓球．23．（8分）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，∠DCE＝30°，点E、C、A在同一水平线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，求塔AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.509，≈1.414，≈1.732）【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由题意得：DE＝AF，DF＝AE，在Rt△CDE中，CD＝6m，∴DE＝CD＝3（m）DE＝3，∴DE＝AF＝3m，设AC＝xm，∴DF＝AE＝CE+AC＝（8+x）m，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，∴AB＝AC•tan45°＝x（m），在Rt△DBF中，∠BDF＝27°，∴BF＝DF•tan27°≈0.509（8+x）m，∵BF+AF＝AB，∴0.509（7+x）+3＝x，解得：x≈11，∴AB＝11m，∴塔AB的高度约为11m．24．（8分）如图，四边形OABC是菱形，其中点C（0，5）的图象上，OA与x轴正方向的夹角为α，且的图象与线段BC交于点D．（1）求k的值；（2）点E为反比例函数图象上的一个动点（点E在点A，D之间运动，不与A，D重合），过点E作EM⊥AB，过点E作EN∥BC，交OC于点N，求点E的坐标．【解答】解：（1）延长BA交x轴于点G，如图所示：∵点C（0，5），∴OC＝8，∵四边形OABC是菱形，∴OC＝AB＝OA＝BC＝5，OC∥AB，∴AB⊥x轴，即AG⊥x轴，在Rt△OAG中，tanα＝，设AG＝3a，OG＝4a，由勾股定理得：OA＝＝＝4a，∵OA＝5，∴5a＝6，解得：a＝1，∴AG＝3a＝4，OG＝4a＝4，∴点A的坐标为（2，3），∵点A在反比例函数的图象上，∴k＝4×7＝12；（2）延长NE交AB于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，NK的延长线交AB于点P∴NK∥x轴，∵EN∥BC，BC∥OA，∴EN∥OA，EH∥AB，∴∠ENK＝∠AOH＝α，NP⊥AB，∴tan∠ENK＝，在Rt△ENK中，tan∠ENK＝，∴设EK＝3b，NK＝6b，∵点A（4，3），∴NP＝4，∴EM＝NP﹣NK＝4﹣4b，∵EM⊥AB，NP⊥AB，∴EM∥NK，∴∠FEM＝∠ENK，∴tan∠FEM＝，在Rt△EFM中，tan∠FEM＝，∴FM＝EM＝，∴S△MEF＝FM•EM＝，S△MNF＝FM•NP＝，∵S△MNF﹣S△MEF＝S△MEN＝，∴，整理得：4b2﹣8b+1＝0，∴（4b﹣1）2＝3，∴，∴NK＝5b＝2，即点E在横坐标为2，由（1）可知：反比例函数的表达式为：，对于，当x＝7时，∴点E的坐标（2，6）．25．（10分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，连接CD，以CD为直径的⊙O交AB于点D，连接AE，交⊙O于点F，已知∠ADF＝∠CAE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若，①求CE的长；②求DF的长．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠CEF＝90°，∵∠FDP＝∠CEP，∠CAE＝∠ADF，∴∠ADF+∠FDP＝∠CAE+∠CEF＝90°，∴AB⊥CD，∵CD为直径，∴AB是⊙O的切线；（2）①连接DE，∵∠ACB＝90°，，∴AB＝＝8＝＝，∴∠B＝60°，∵∠CDB＝90°，∴BD＝＝BC＝，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∴CE＝CD＝；②在Rt△ACE中，AE＝＝＝，在Rt△ACD中，AD＝＝，连接CF，∴∠DCF＝∠DEF，∠CFD＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，∴∠ADF＝∠DCF，∴∠ADF＝∠DCF，∵∠DAF＝∠EAD，∴△ADF∽△AED，∴＝，∵DE＝CD＝，∴＝，∴DF＝．26．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），点E是直线BC下方抛物线上的一个动点，与BC交于点D．连接AC，CE，连接AF．设点E的横坐标为m，△ACD面积为S1，△ECD面积为S2，△AEF面积为S3．（1）求抛物线的表达式；（2）若，求m的值；（3）若，则点E的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），﹣2）代入抛物线y＝x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣8；（2）如图，过E作EL∥y轴交BC于点L，∵△ACD和△ECD是等高三角形，∴＝＝6，令x2﹣2x﹣2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴B（3，0），由点B和点C坐标可得BC解析式为y＝x﹣5，∵点E横坐标为m，∴E（m，m2﹣2m﹣2），L（m，∴EL＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+7m，∵A（﹣1，0），∴C（﹣2，﹣4），∴AC＝4，由辅助线可知EL∥AK，∴＝5，即，整理得3m4﹣9m+4＝7，解得m＝，∵5＜m＜3，∴m＝；（3）∵EF∥AC，∴S△AEF＝