人教A版高一下册必修第二册高中数学8.6.1直线与直线垂直【课件】

普通高中教科书数学必修第二册8.6.1直线与直线垂直

复习回顾新知探究平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画一条直线相对于另一条直线倾斜的程度，如图.O问题1：在空间，如图,

正方体ABCD－A'B'C'D'中,直线A'C'与直线AB是异面直线，那么直线A'C'相对于直线AB的倾斜程度可以怎样来刻画呢?问题2：经过空间任意一点如何引已知直线的平行线？由推论1知，经过直线a、及空间不在直线a上的点O，可确定一个平面，不妨记为α.

在平面α内，经过点O作直线a′∥a，这样的直线a′就是过直线a外一点O且平行于直线

a的直线．问题3：直线a与b所成角的大小与点O

的位置有关吗？异面直线相交直线平移空间图形问题平面图形问题转化异面直线所成的角已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．两条异面直线垂直特殊

如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.典例解析直线分别与直线AA'

垂直.例1 如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'.（1）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？（2）求直线BA'和CC'所成的角的大小.（3）求直线BA'和AC

所成的角的大小.解：（1）棱AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D'

，D'A'

所在的两条直线垂直，它们一定相交吗？垂直于同一直线的两条直线一定平行吗？所以异面直线

BA'与CC'所成的角等于45°.（2）因为ABCD－A'B'C'D'

是正方体，所以BB'//CC'，因此∠A'BB'为异面直线BA'

与CC'所成的角.又因为∠A'BB'=45°，例1 如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'

.（2）求直线BA'

和CC'

所成的角的大小.平移法（3）如图，连接A'C'.因为ABCD－A'B'C'D'是正方体，所以

AA'∥CC'，AA'=CC'.所以四边形AA'

C'

C是平行四边形．所以

AC//A'C'.于是∠BA'

C'为异面直线BA'与AC所成的角.连接BC'

，易知△A'

BC'是等边三角形，所以∠BA'

C'=60°.从而异面直线

BA'与AC所成的角等于60°.一作二证三求解例2

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD.分析：要证明AO1⊥BD，应先构造直线AO1与BD所成的角，若能证明这个角是直角，即得AO1⊥BD.典例解析例2

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD.证明：如图，连接B1D1.∵

ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴BB1∥DD1，BB1

=DD1.∴

四边形BB1D1D是平行四边形．∴

B1D1∥BD.∴

直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．连接AB1，AD1，易证AB1＝AD1.又

O1为底面A1B1C1D1的中心，∴

O1为B1D1的中点，∴

AO1⊥B1D1.∴

AO1⊥BD.转化思想在求作异面直线所成的角时，点O常取在两条异面直线中的一条上(如线段的端点,线段的中点等).如图所示，在三棱锥

A­BCD

中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F

分别为

BC，AD

的中点，求直线

EF与

AB所成的角的大小．课堂练习解：如图所示，取

BD

的中点

G，连接

EG，FG.因为

E，F

分别为

BC，AD

的中点，AB＝CD，所以

EG∥CD，GF∥AB，且

EG 1

D，GF 1

B.＝2C ＝2A所以∠GFE(或其补角)就是异面直线

EF

与

AB

所成的角，EG＝GF.因为

AB⊥CD，所以

EG⊥GF.所以∠EGF＝