巴蜀一轮复习数学资料12024届

高2024届一轮复习数学讲义一分册(教师用书)第一章集合与常用逻辑用语、不等式 11.1集合 1.2命题与条件的充分性、必要性 51.3全称量词与存在量词 1.4不等式与不等关系 1.5一元二次不等式的解法 1.6绝对值不等式 1.7基本不等式 第二章函数与基本初等函数 312.1函数及其表示 2.2函数的定义域与值域 2.3函数的单调性及最值 2.4函数的奇偶性与周期性 2.5二次函数 2.6指数与指数函数 2.7对数与对数函数 2.8幂函数 2.9函数的图象 2.10函数与方程 2.11一元二次方程根的分布 2.12函数模型及应用 第三章导数及其应用 3.1导数的概念及运算 3.2导数的应用(一)——单调性 3.3导数的应用(二)——极值与最值 3.4导数的综合运用 【学习目标】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩【要点整合】1.元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系：若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b∈A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示自然数集正整数集实数集符号NZQR2.集合间的基本关系(1)子集：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,也说集合A是集合B的子集。记为A≤B或BA.(2)真子集：对于两个集合A与B,如果AEB,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则称集合A是集合B的真子集。记为A#B.(3)空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.(4)若一个集合含有n个元素，则子集个数为2”个，真子集个数为2"-1,非空真子集个数为2"-2。3.集合的运算(1)三种基本运算的概念及表示名称交集并集数学语言A∩B={x|x∈A,且x∈B}AUB={x|x∈A,或x∈B}CuA={x|x∈U,且xeA}图形语言(2)三种运算的常见性质ANA=A,ANØ=×,A∩B=B∩AANB=A⇔AEB,AUB=A⇔B≤A,Cu(AUB)=CuANC,B,Cu(ANB12【典例讲练】题型一集合的概念【答案】2【解析】根据集合中元素的互异性：(1)(1)式无解(2)式解得a=-1,b=1,则b-a=2(2)集合A={xlx²-7x<0,xeN'},中元素的个数为()【答案】D【解析】A={1,2,3,4,5,6},对于集合B,其中的元素全部取自集合A,逐一带入检验，易得B={1,2,3,6}练习1(1)已知集合A={-2,-1,0,2,3},B={yly=x²-L,x∈A},则ANB中元素的个数是()【答案】B(2)已知集合A={1,2,m²},B={1,m},若B∈A,则m=()【答案】C【解析】∵BSA:m∈A∴m=2或m=m²若m=2,则A={1,2,4},B={1,2}成立若m=0,A={1,2,0},B={1,0}成立，若m=1,A={1,2,1},B={1,1}不成立。(3)(多选)已知集合A={2,a²+1,a²-4a},B={0,a²-a-2},5∈A,则a为()A.2B.-2【答案】BC【解析】依题意5∈A,当a²+1=5若a=2,则a²-a-2=0,对于集合B,不满足集合元素的互异性，所以a=2不符合.若a=-1,则a²+1=2,对于集合A,不满足集合元素的互异性，所以a=-1不符合.若a=5,则A={2,26,5},B={0,18},符合题意.综上所述，a的值为-2或5.故选：BC3题型二集合间的基本关系例2(1)已知集合A={xl<2*≤16},B={xlx<a},若AUB=B,则实数a的取值范围是()A.a>4B.a≥4C.a≥0【答案】A【解析】A={xl0<x≤4}∵AUB=B,∴A≤B,由韦恩图易得：a>4。注意：a≠4;若a=4,则A={xl0<x≤4},B={xlx<4},集合B比集合A少了一个元素，不满足ASB(2)若集合A={xl-2≤x≤5},B={xm+1≤x≤2m-1},且B≤A,则m的可取值组成的集合为_①若BEA,则实数a的取值范围为;②若AEB,则实数a的取值范围为【答案】①a≤-1或a=1②a=1练习2(1)设集合A={-1,1},集合B={xlax=1,a∈R},则使得B≤A的a的所有取值构成的集合是()A.{0,1}B.{0,-1}C.{1,-1}【答案】D【解析】当a=0时，B=φ,φ≤A,当a=-1,B={-1},(2)设集合P={ml-1<m<0},Q={mmx²+4mx-4<0对任意实数x恒成立，且m∈R},则下列关系中A.P#QB.QPC.P=Q【答案】A(3)已知集合A={xx²-3x+2=0,xeR},B={x10<x<5,x∈N},则满足条件AεC∈B的集合C的个数A.1【答案】4【解析】由x²-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4}.题型三集合的基本运算例3(1)设集合A={1,2,4},B={x|x²-4x+m=0}。若A∩B={1},则B=()4【答案】C(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且B≠×,若AUB=A,则实数m的取值范围是()A.-3≤m≤4B.-3<m<4C.2<m<4D.2<m≤4【答案】D(3)已知集合,集合,则NNCM=()A.(-1,0)B.(-1,0)C.[-1,0]【答案】D练习3(1)设集合S={x|kx-2|>3},T={xla<x<a+8},SUT=R,则a的取值范围是()A.-3<a<-1B.-3≤a≤-1C【答案】A(2)已知非空集合M和N,规定M-N={x|x∈M且xeN},那么M-(M-N)等于()A.MUNB.MNNC.MD.N【答案】B(3)(多选)图中的阴影表示的集合是()A.(CA)∩BB.(C(A∩Bc.(C(AUB))∩B【答案】AB【解析】由题可知，阴影部分的元素是由属于集合B,但不属于集合A的元素构成，【课后巩固】——完成课时作业(1)1.2命题与条件的充分性、必要性【学习目标】1.理解命题的概念.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义【要点整合】用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.充分条件、必要条件与充要条件的概念P≠q且q≠p【典例讲练】题型一充要条件的判定4A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线ax+y-3=0的倾斜角为θ,则tanθ=-a.若a<-1,得tanθ>1,可知倾斜角θ大于;由倾斜角θ大于得-a>1,或-aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由x²+5x-6>0得{x|x>1或x<-6},且{x|x>2}∈{x|x>1或x<-6},故“x²+5x-6>0”是“x>2”的必要不充分条件，故选B.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也必要条件56【解析】设向量a,b的夹角为θ,若|a·6|=lal|b|cose|=|a||5,cosθ=±1,则a/1B,若a116,则cosθ=±1,从而la6=|a5|sel-|alb|,"la.6Halb|"是a11B的充要条件。A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a=2bcosC时，由余弦定理得，,故b²=c²,即b=c,所以△ABC是等腰三角形，反之，当△ABC是等腰三角形时等腰三角形时，不一定有b=c,题型二充分条件与必要条件的应用例2(1)给定两个命题P,9,若一P是q的必要而不充分条件，则P是┐q的()A.充分不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由q→P(2)已知集合,B=x1-1<x<m+1,xeR},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是.【答案】(2,+○)【解析】,因为x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A,所以m+1>3,即m>2.所以实数m的取值范围是(2,+○o)练习2函数有且只有一个零点的充分不必要条件是()【答案】A【解析】因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点一函数y=-2*+a,(x≤0)没有零点一函数y=2*,(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合，可得a≤0或a>1.观察选项，根据集合间关系{a|a<0}{a|a≤0或a>1},答案选A.例3(多选)下列四个选项中，p是q的充分不必要条件的是()A.p:x>y,q:x³>y³B.p:x>3,q:x>2D.p:a>b>0,m>0,q:【答案】BCD【解析】A:因为x>y⇔x³>y³,所以p是q的充分必要条件，故A错误；B:因为x>3→x>2,反之不成立，所以p是q的充分不必要条件，故B正确；C:当2<a<3,-2<b<-1时，2<2a+b<5成立.反之，当a=1,b=2时，满足2<2a+b<5,所以p是q的充分不必要条件，故C正确；练习3(多选)已知x,y均为正实数，则下列各式可成为“x<y”的充要条件是()A.B.x-y>sinx-sinyC.x-y<cosx-cosyD.e*-e<x²-y²【答案】ACD【解析】A:由且x,y>0,则x<y成立，反之x<y也有成立，满足要求；B:由x-y>sinx-siny,则x-sinx>y-siny,令f(x)=x-sinx域上递增，故x>y,不满足充分性，排除；义域上递增，故x<y,反之x<y也有x-y<cosx-cosy成立，满足要求；D:由eˣ-e<x²-y²,则e*-x²<e-y²,令f(x)=e*-x²,则f'(x)=eˣ-2x,f"(x)=e-2,故在(-o,In2)上f"(x)<0,在(ln2,+)上f"(x)>0,所以f(x)在(-0,In2)上递减，在(ln2,+0)上递增，则f'(x)>f'(ln2)=2-In²2>0,所以f(x)在定义域上递增，故x<y,反之x<y也有e*-e"<x²-y²成立，满足要求；故选：ACD【课后巩固】——完成课时作业(2)78【学习目标】1.理解全称量词与存在量词的意义；2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点整合】1.量词与含有一个量词的命题的否定(1)全称量词和存在量词常见量词全称量词存在量词(2)全称量词命题和存在量词命题命题结构对任意x∈M,p(x)存在x∈M,p(x)(3)全称量词命题和存在量词命题的否定命题命题的否定对任意x∈M,p(x)存在x∈M,p(x)存在x∈M,p(x)对任意x∈M,-p(x)【典例讲练】题型一全称量词命题与存在量词命题的真假判断例1(1)已知a>0,函数f(x)=ax²+bx+c,若x₁满足关于x的方程2ax+b=0,则下列命题中为假命题A.存在x∈R,f(x)≤f(x₁)C.对任意x∈R,f(x)≤f(x₁)D.对任意x∈R,f(x)≥f(x₁)(2)(多选)下列命题中为真命题的是()A.存在α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβB.对任意φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数C.存在x∈R,使x³+ax²+bx+c=0(a,b,c∈R且为常数)D.对任意a>0,函数f(x)=(Inx)²+Inx-a有零点9判断方法一真否定为假假否定为真真否定为假练习1(1)下列命题中的真命题是()C.3x₀∈(-0,0),2x₀<3x₀D.Vx∈(0,π),sinx>cosx【解析】,故A错误；设f(x)=e*-x-1,则f'(x)=e*-1,∴f(x)在(0,+o)上为增函数，又f(0)=0,∴Vx∈(0,+oo),f(x)>0,即e>x+1,故B正确；当x<0时，y=2x的图象在y=3x的图象上方，故C错误；∵故选B.(2)(多选)下列命题中，不是真命题是()A.若x,y∈R且x+y>2,则x,y至少有一个大于1【解析】对于A,若x,y均小于等于1,则x+y≤2,可知A正确对于B,当x=2时，2*=x²,故B错误，对于C,当a=b=0时，满足a+b=0,但无意义，故C错误，对于D,由二次函数性质知D错误，故选：BCD题型二全称量词命题与存在量词命题的否定例2(1)设命题P:存在n∈N,n²>2”,则P为()A.对任意n∈N,n²>2"?B.存在n∈N,n²≤2"C.对任意n∈N,n²≤2"?D.存在n∈N,n²=2”【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，故选C.(2)命题“Vx∈R,3n₀∈N°,使得n₀≤x²”的否定形式是()A.Vx∈R,3n₀∈N°,使得n₀>x²B.Vx∈R,Vn∈N*,使得n>x²C.3x₀∈R,3n₀∈N°,使得n₀>x。D.3x₀∈R,Vn∈N*,使得n₀>x²【答案】D【解析】V改写为3,3改写为V,n≤x²的否定是n>x²,则该命题的否定形式为“3x₀∈R,Vn∈N°,使得n>x²”.故选D.反思感悟全称量词命题的否定是存在量词命题，存即P:对任意x∈M,p(x),则一P:存在x∈M,p(x);P:存在x∈M,p(x),则P:对任意x∈M,-p(x).A.P是假命题；p:VxeR,log₂(3*+1)≤0B.P是假命题；-p:VxER,log₂(3*+1)>0C.P是真命题；p:Vx∈R,log₂(3*+1)≤0D.P是真命题；-p:VxeR,log₂(3*+1)>0【答案】B【解析】因为3*>0,所以3*+1>1,则log₂(3*+1)>0,所以P是假命题；p:Vx∈R,log₂(3*+1)>0.故选B.题型三命题中参数的取值范围例3已知,若对Vx₁∈[0,3],3x₂∈[1,2],使得f(x₁)≥g(x₂),则实数m的【答案】,由f(x)min≥g(x)min,得,所以本例中，若将“x₂∈[1,2]”改为“Vx₂∈[1,2]”,其他条件不变，则实数m的取值范围是【答案】(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.练习3(1)已知命题“Vx∈R,.”的否定为假命题，则实数a的取值范围是【答案】即不等式.对任意实数x恒成立.设,则其图象恒在x轴的上方.故,解得,即实数a的取值范围为(2)已知函数,g(x)=2*+a,若3x₁,使得f(x₁)≤g(x₂),则实数a的取值【解析】依题意知上是减函数，∴f(x)min=f(1)=5.又g(x)=2*+a在[2,3]上是增函数，∴g(x)m=8+a,因此5≤8+a,则a≥-3@小新老师全科通【课后巩固】——完成课时作业(3)1.4不等式与不等关系【学习目标】1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.【要点整合】1.不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b,b>c→a>c.(3)可加性：a>b=a+c>b+c.(5)加法法则：a>b,c>d→a+c>b+d.(6)乘法法则：(7)乘方法则：a>b>0→a">b"(n∈N,n≥2).(8)开方法则：a>b>0≥"a>"b(n∈N,n≥2).2.不等式中有关倒数与分数的性质真分数的性质：假分数的性质：3.常用的比较两个数(式)大小的方法：(1)作差法：一般步骤是：①作差变形；②判断差与0的大小；③结论.其中关键是变形，常采用配方、通分、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式，有利于判断差值符号的方向变形.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.(2)作商法：(3)特值法：【典例讲练】题型一不等式的性质例1若a,b∈R,下列命题中练习1(1)已知实数a,b,c满足a>b>0>c,则下列不等式中成立的有,又∵c<0,∴⑦成立，∵a>b>0,∴0<2a+b<3a,a+2b>3b>0,⑨不成立，∵c<0,∴-c>0.又∵a>b>0,∴⑩不成立，∵a>b>0,∴.又∵c<0,∴(2)(多选)已知·则下列结论正确的是()A.a>bB.题型二比较大小例2(1)下列各组代数式的关系正确的是①x²+5x+6<2x²+5x+9;【答案】①③④【解析】①2x²+5x+9-(x²+5x+6)=x²+3>0,即x²+5x+6<2x²+5x+9.②(x-2)(x-4)-(x-3)²=x²-6x+8-(x²-6x+9)=-1<0,即(x-2)(x-4)<(④x²+y²+1-2(x+y-1)=(x²-2x+1)+(y²-2y+1)+1=(x-1即x²+y²+1>2(x+y-1).(2)已知a>0,b>0,且a≠b,【答案】【解析】①若a>b>0,则a—b>0.由指数函数的性质②若b>a>0,则,a—b<0.由指数函数的性质(3)设a>b>0,下列各数小于1的是()【答案】D【解析】方法一(特殊值法)取a=2,b=1,代入验证.由指数函数性质知，D成立.练习2(1)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间粉刷面积(单位：m²)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m²)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.a【答案】B【解析】采用特值法进行求解验证即可，若x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,则ax+by+cz=14,az+by+cx=10,ay+bz+cx=11,ay+bx+cz=13.(2)设a=2³,b=0.3²,c=log(x²+0.3)(x>1),则a,b,c的大A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a【答案】B【解析】因为x>1,所以c=log(x²+0.3)>logxx²=2.(3)(多选)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是()【答案】ABD【解析】令,则,所以当0<x<e时f'(x)>0,当x>e时f'(x)<0,所以f(x)【解析】由f(-1)=a-b,f(1)从而f(-2)=3f(-1)+f(1)∈[6,10].【解析】令4a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n),解得m=1,n=3.故4a-2b=(a+b)+3(a-b),【课后巩固】—_—完成课时作业(4)【学习目标】【要点整合】二次函数(a>0)的图像(a>0)的根没有实数根(a>0)的解集R(a>0)的解集常用结论(3)对于不等式ax²+bx+c>0,(4)注意区分△<0时，ax²+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是口.(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0,左边化为的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：→f(x)g(x)>0;→f(x)g(x)<0;⇔【典例讲练】例1解关于x的不等式：(1)-2x²+4x-3>0;(2)12x²-ax>a²(a∈R).【答案】(1)(2)略【解析】(1)原不等式可化为2x²-4x+3<0.又判别式△=4²-4×2×3<0,∴原不等式的解集为φ.①当a>0时，,解集为③当a<0时，,解集为(1)(x+3)(2-x)≤4;(2)(x²-x-1)(x²-x+1)>0;【答案】(1){x|x≤-2或x≥1}(2)(3)略【解析】(3)若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1.③当0<a<1时，,解得综上所述：当a<0时，解集为当a=1时，解集为☑;当a>1时，解集为题型二分式不等式或高次不等式解法例2(1)不等式的解集为·(2)不等式.的解集为【答案】(1)(2){x|-2≤x<0或x≥1}(2)原不等式可化为.原不等式的解集为{x|-2≤x<0或x≥1}.练习2(1)不等式的解集是(2)(2018·安徽淮北一模)不等式1的解集为()A.{x|-2<x<-1或x>3}B.{x|-3<x<-1或x>2}【答案】(1){x|0<x<1或x>2}(2)B(2)不等式→(x²+x-6)(x+1)>0,(x-2)(x+1)(x+3)>0.易知相应方程的根为-3,-1,2,由穿针引线法可得原不等式的解集为{x|-3<x<-1或x>2}.故选B.例3(1)已知关于x的不等式ax²+bx+c<0的解集是,则不等式ax²-bx+c>0_【答案】(1)(2)C(2)通解：因为关于x的不等式x²-ax-6a²>0(a<0)又x₂-x₁=5√2,所以25a²=50,解得a=±√2,因为a<0,所以a=-√2.练习3(1)已知不等式ax²-5x+b>0的解集为{x|-3<x<-2},则不等式bx²-5x+a>0的解集C.{x|-3<x<2}A.f(5)<f(2)<f(-1)B.f(2)<f(5)<f(-1)C.f(-1)<f(2)<f(5)【答案】(1)A(2)D【解析】(1)由题意得解得a=-1,b=-6,所以不等式bx²-5x+a>0为-6x²-5x-1>0,即(3x+1)(2x+1)<0,所以解集为,故选A.(2)因为ax²+bx+c>0的解集为(-○,-2)U(4,+o),所以a>0,且-2,4的方程ax²+bx+c=0的两根，由根与系数所以函数f(x)=ax²+bx+c=ax²-2ax-例4(1)若不等式x²+ax+1≥0对于一切成立，则实数a的最小值为()(2)已知对于任意的a∈[-1,1],函数f(x)=x²+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则x的取值范围A.{x|1<x<3}B.{x|x<1或x>3}C.{x|1<x<2}D.{x|x<1或x>2}【答案】(1)C(2)B【解析】(1)不等式可化为ax≥-x²-1,由于,所以因为在上是减函数，所以.所以因为在依题意，只须→x<1或x>3,故选B.总结：恒成立问题的解法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.(2)对于二次不等式恒成立问题常见有两种类型，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图像进行分类讨论(也可采用分离参数的方法).练习4已知函数f(x)=x²-2ax-1+a,a∈(1)若a=2,试求函数的最小值；(2)对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a恒成立，试求a的取值范围.【解析】(1)依题意得因为x>0,所以..当且仅当即x=1时，等号成立.所以y≥-2.所以当x=1时，的最小值为-2.只要x²-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立即可.不妨设g(x)=x²-2ax-1,则即解得.则a的取值范围为练习5对于满足|a|≤2的所有实数a,使不等式x²+ax+1>2x+a成立的x的取值范围为_【解析】原不等式转化为(x-1)a+x²-2x+1>0,设f(a)=(x-1)a+x²-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有：,即1.6绝对值不等式【学习目标】1.理解绝对值的几何意义和代数意义，利用绝对值的意义求解含绝对值的不等式。2.学会用零点讨论法解含两个绝对值的不等式。3.了解绝对值三角不等式。【要点整合】1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.3.两个数的差的绝对值的几何意义：|a-b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离.(1)公式法：②|f(x)kg(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x);If(x)>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x);(2)零点分段法：利用绝对值的定义，即(3)平方法：|f(x)Ag(x)→[f(x)}>[g5.绝对值三角不等式定理：如果a,b是实数，则||a|-|b|≤|a±b≤a|+|b|。【典例讲练】题型一解绝对值不等式(3)1<3x+4≤6【答案】(1)(2)x≥1或x≤-2例2(1)不等式|x+1|>x-3|的解集为_【答案】(1,+∞)【解析】原不等式等价于(x²-2x+3)²<即(x²-2x+3+3x-1)(x²-2x+3-练习1(1)|2x-7|>5的解集为【答案】(-,1)U(6,+0)(3)已知f(x)=|ax+1(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},则a=【答案】0≤x≤5练习2(1)解不等式x|-1|+|2x-4|≤5(2)解不等式(1-lx|)(1+x)>0【答案】x<1且x≠-1题型三绝对值三角不等式的应用例4设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时，,可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.而|x+a|+|x-2≥a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2≥4.练习3(1)函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值是_【答案】3(2)函数f(x)=|x+1|-|2-x|的值域是_【答案】[-3,3]老师@小新老师全科通【课后巩固】————完成课时作业(6)1.7基本不等式【学习目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等解析式解决简单的最大(小)值问题.【要点整合】这一定理叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.利用基本不等式求最值问题(一正、二定、三相等)【典例讲练】题型一基本不等式的理解(1)函数的最小值是2.(2)函数的最小值等于4.的充要条件.练习1判断下面结论是否正确的最小值是2.(2)y=log₂x+logx2的最小值是2.(3)不等式a²+b²≥2ab与有相同的成立条件.题型二利用基本不等式求最值【答案】练习2已知log₂(a+b)=1,则2⁰+2的最小值为.【答案】4例3若a>0,则的最小值为【答案】【解析】时取“=”练习3(1)若则【答案】【解析】当时取“=”【答案】令2a+1=u的最小值。【解析】,当且仅当时等号成立。练习4(1)已知x,y∈R+,x+y=1,求·的最小值。【解析】解析：x+y=1,(x+2)+(y当且仅当时等号成立(2)已知x,y∈R,x+y=1,求的最小值。解：令u=x+2,v=y+1.则x=u-2,y=v-1.x+y=u+v-3=1【解析】例5已知a>0,b>0,且2a+b=ab,则a+2b的最小值为()A.5+2√2B.8√2C.5【答案】D【解析】方法一：∵a>0,b>0,且2a+b=ab,∴当且仅当a=3,b=3时等号成立，其最小值为9.方法二：∵a>0,b>0,且2a+练习5(1)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为·【答案】6【解析】∴(x+3y)²+12(x+3y)-108≥0(2)已知x,y∈R,4x²+xy+y²=1,2x+y的最大值为_【答案】【解析】∵4x²+y²+xy=1,∴(2题型三利用两次基本不等式求最值例6已知a>b>0,那么的最小值为【答案】4【解析】∴a>b>0,∴a-b>0,∴,当且仅当b=a-b且即a=√2且时取等号的最小值为4.练习6若x,y,z均为正实数，则的最大值为()AA【答案】A【解析】∴题型四利用基本不等式求解恒成立问题【答案】【解析】若对任意xx>0,恒成立，只需求得的最大值即可.因为x>0,所练习7设x>0,y>0,不等式恒成立，则实数m的最小值是________.【解析】原问题等价于恒成立∵x>0,y>0∴,当且仅当x=y等价于)的最大值.时取“=”,故m≥-4.【课后巩固】———完成课时作业(7)第二章函数与基本初等函数【学习目标】【要点整合】函数设A,B是两个非空数集对应关系如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中f(x)和它对应名称(1)对函数y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。(2)函数的三要素为定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法3、分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数4、复合函数：设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠0,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u,有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为y=f(g(x)),其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)。【典例讲练】题型一函数的概念例1(1)下列对应表示从A到B的函数的有()个①A=B=N*,f:x→y=x-1|③A=R,B=[0,+00],f:x→y=e*-¹④A=(-00,0),B=R,f:xA.0(2)下列图象可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的是()ABCD【解析】A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义选项C正确.【答案】③④⑥练习1(1)已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的③【答案】③③(2)下列各组函数中，表示同一函数的是()A.f(x)=e*,g(x)=xg(x)=sinxD.【答案】D【解析】A,B,C的定义域不同，所以答案为D.题型二分段函数与复合函数例2(1)已知函数,则①②若f[f(k)]=-1,则k=(2)已知实数a≠1,函数,若f(1-a)=f(a-1),则a的值为(4)设函数,若f[f(a)]≤2,【解析】(1)②:可数形结合f[f(k)]=-1→反思小结：(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.检验.(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.练习2(1)已知函数若,则实数a的取值范围是_【答案】当a>0时，令,解得(2)设函数则满足的x的取值范围是【答案】【解析】当x≤0时，,原不等式化为：1,解得当时，,原不等式化为,该不等式恒成立，综上可知，不等式的解集为例3(1)已知(1+)=1gx,则f(x)=(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=.;(3)已知,则f(x)=;(4)已知函数f(x)的定义域为(0,+o),且,则f(x)=【解析】(1)令,则,即(2)设f(x)=ax²+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)+2-ax²-bx-2(3)因为,所以f(x)=x²-2,x∈[2,+]。(4)在中，将x换成则换成x,得(2)设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0【解析】(1)解法一：设u=√x-1,即f(x)=x²-1(x≥-1)。(2)设f(x)=ax²+bx+c(a≠0),则f(x)=2ax+b=2x+2,所以a=1,b=2,所以f(x)=x²+2x+c。又因为方程f(x)=0有两个相等实根，所以△=4-4c=0,c=1,(3)当x∈(-1,1)时，有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).①将x换成-x,则-x换成x,得2f(例4(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,求f(-3)和f(10)的值(2)定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1,且对任意实数x,y都有f(x-v)=f(x)-y(2x-y+1),【解析】(1)f(-3)=6,f(10)=110(2)令x=y→f(0)=f(x)-x(2x-x+1)→f(x)=x²+x+1练习4(1)设函数y=f(x)的定义域为(0,+o),f(xy)=f(x)+f(y),若f(8)=3,则f(√2)=【答案】(2)设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x,x₂,都有f(π)=-1,则f(0)=【解析】令x₁=x₂=π,则f(π)+f(π)=2f(π)f(0),所以f(0)=1。【课后巩固】—_—完成课时作业(8)2.2函数的定义域与值域【学习目标】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.【要点整合】2、常见函数的定义域(4)对数函数y=log。x(a>0且a≠1)的定义域为(0,+0);②当m为奇数，n为偶数且mn>0时，定义域为[0,+00],③当m∈Z*,n为奇数且mn<0时，定义域为(-00,0)U(0,+0);④当m为奇数，n为偶数且mn<0时，定义域为(0,+0);(6)正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx定义域都为R;(7)正切函数y=tanx的定义域为3、函数定义域的求法(1)已知函数解析式，求定义域老师全科通①若f(x)的解析式是整式，则其定义域为R;②若f(x)的解析式是分式，则其定义域是使分母不为0的实数的集合；③若f(x)的解析式是偶次根式或可化为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的④若f(x)的解析式是指数式，若指数为负指数或0指数，则其底数不为0,若指数含变量，则其底数应为大于0且不等于1;⑤若f(x)的解析式是对数式，则真数应大于0,若底数含未知数，则底数大于0且不等于1;⑥若f(x)的解析式是正切函数，则正切后部分不为,k∈Z;①已知f(x)的定义域为A,求f(g(x)的定义域f(g(x))的定义域就是自变量x的取值范围，因f(x)中f的作用对象是x,而f(g(x))中f的作用对象是g(x),故g(x)∈A,解得x的取值范围就是f(g(x))的定义域.②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域函数f(x)的定义域是f的作用对象的取值范围，故g(x)的值域就是f(x)的定义域.二、函数的值域①一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R;③0)的值域为③④指数函数y=a*(a>0且a≠1)的值域为(0,⑤对数函数y=logax(a<0且a≠1)的值域为R;⑥正弦函数y=sinx、余弦函数y=coSx的值域都为[-1,1];⑦正切函数y=tanx的值域为R.2、求函数值域的一般方法通常求函数值域的方法大致有：观察法(利用常见函数的最值(值域)法),分离常数法，单调性法，换元法，配方法，基本不等式法，判别式法，反函数法，图像法和导数法.①二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)及二次型函数y=a[f(x)]²+b[f(x)]+c(a≠0)可用配方法；②形如(其中a,a₂不全为0且a₂x²+b₂x+c₂≠0)的函数可用判别式法；④形如≠0)或或的函数，可用反函数法或分离常数法；【典例讲练】 A.(0,3)B.(1,+0)C.(1,3)D.(1,3) 价于：或,解得x≥e²或x=1题型二求抽象函数的定义域例2(1)已知函数f(x)=In(-x-x²),则函数f(2x+1)的定义域为_(2)已知函数f(x+1)的定义域为(-1,0),则f(2x)的定义域为()A【答案】(1)(2)BA【解析】(1)由题意知，-x-x²>0,∴-1<x<0,即f(x)的定义域为(-1,0).(2)因为函数f(x+1)的定义域为[-1,0],所以O≤x+1<1,要使f(2x)有意义，则0≤2x<1,解得练习2(1)已知函数f(x)的定义域为(0,+0),则函数的定义域为(2)若函数f(2*)的定义域是[-1,1],则f(log₂x)的定义域为_·【解析】(1)由题意(2)对于函数y=f(2*),-1≤x≤1.:2⁻¹≤2*≤2.则对于函数y=题型三已知定义域确定参数问题例3已知函数f(x)=√ax²+ax+3的定义域为R,则实数a的取值范围为()【答案】C【解析】当a=0时符合题意；当a≠0时，要使函数f(x)=Jax²+ax+3的定义域为R,则a>0且△=a²-12a≤0,可得0<a≤12.综上，0≤a≤12.练习3(1)若函数f(x)=√a²+abx+b的定义域为{xl≤x≤2},则a+b的值为_·【解析】函数f(x)的定义域是不等式ax²+abx+b≥0的解集.不等式ax²+abx+b≥0的解集为{xl≤x≤2},所以(2)若已知函数f(-x²+4x-1)的定义域为[0,m],则可求得函数f(2x-1)的定义域为[0,2],问实数m的【答案】2≤m≤4【解析】由于函数f(2x-1)的定义域为[0,2],则0≤x≤2,-1≤2x-1≤3,令t=-x²+4x-1,则-1≤t≤3,由题意，当t∈[-1,3],作出函数t=-x²+4x-1的图像，由图可知，当x=0或x=4时，t=-1,题型四求函数的值域例4求下列函数的值域：(1)f(x)=√8-2*;(2)f(x)=√5-2x+;;③③【解析】(1)∵2*>0,:0≤8-2<8.:0≤√8-2*<2√2.故函数f(x)的值域为[0,2√2].(2)要使函数有意义，则,解得x≤-2,在此定义域内函数是单调递减函数，所以当x=-2时，函数取得最小值，f(-2)=3,所以函数的值域是[3,+0].(3)函数,根据反比例函数的性质可知：,所以y≠3,故函数的值域为(-00,3)U(3,+0);且,则函数f(x)的值域为[16,+00].函数的对称轴为t=3,∴当t=3时，;当t=1时，,故函数的值域为(6)令,原函数化为,其开口向下，且对称轴是t=1,故当t=1时取得最大值为1,没有最小值，故值域为(-o,1).(7)y=(sinx+1)(cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1,令t=sinx+cosx,则可得：时，当且仅当,即x=3时，上式等号成立.因为x=3在定义域内，所以(9)∵x²+2x+3=(x+1)²+2>0,所以函数的定义域原函数可化为x²y+2xy+3y=2x²+4x-7,整理得：(y-2)x²+2(y-2)x+3y+7=0,当y≠2时，上式可以看成关于x的二次方程，该方程的x范围应该满足f(x)=x²+2此方程有实根即△≥0,当y=2时，方程化为7=0,显然不成立，所以y≠2.将带入检验成立，所以(10)将原函数视为定点(2,3)到动点(cos问题就转化为求定点(2,3)到单位圆连线的斜率问题.所以,所以函数的值域为：(1)f(x)=√(x-1)²+(0-0²+√(x-2}²+(0-√2),即点C(x;0)到A(1.0),B(2,√2)距离和，练习4(1)设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2.6]=2,[-2.6]=-3.设的值域为()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}③③,当且仅当log₂,即时等号成立，故函数f(x)的最小值为·②函数定义域为{x|x∈R,x>0且x≠1}.③法1:注意到，余弦函数是有界的，即-1≤cosx≤1,由此可知分母不会为0,对函数形式做出转化2ycosx-3sinx=1-3y利用辅助角公式可得：√4y²+9cos(x+0)=1-3y,易知根式不为0≤1两边平方(1-3y)²≤(√4y²+9)²法2:看成斜率所以f(x)<0,所以函数值域为(-,0). y²+f²(x)=4,∴y²∈[2,4],又∵y≥0,:ye[√2,2]。题型五已知函数值域(最值)求参数的值或取值范围例5(1)已知函数y=x²-3x-4的定义域为[0,m],值域为|,则m的取值范围是_(2)若函数的值域为R,则a的取值范围为【解析】(1)因二次函数y=x²-3x-4对称轴为且x=0时，函数值为y=-4,当时，即满足：即得-1≤a<1.练习5(1)若函数:在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n的值(2)已知函数的定义域为x∈R,f(x+1)=2f(x),且当x∈[0,1]时，f(x)=x(x-1),若对任意的x∈[-,m],都有,则m的取值范围是()(3)已知函数f(x)=lg(mx²+mx+1),①若函数的定义域为R,求实数m的取值范围；②若函数的值域为R,求实数m的取值范围.【答案】(1)4(2)B(3)①0≤m<4②m≥4∴g(-x)+g(x)=0,∴函数g(x)为奇函数，则f(x)=g(x)+2,即g(x)=f(x)-2,∵f(x)在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],∴当f(x)取得最大值n时，g取得最小值m时，g(x)也取得最小值g(x)min=m-2,∵函数g(x)的图像关于原点对称，∴函数g(x)在区间[-k,k](k>0)上的最大值和最小值互为相反数，即g(x)max+g(x)min=n-2+m-2=0,即n+m=4.,,函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的x∈[-o有有(3)①若函数的定义域为R,即mx²+mx+1>0恒成立，当m=0时，1>0恒成立，当m>0时，△=m²-4m<0,解得0<m<4,故综上0≤m<4;②若函数的值域为R,则需要满足解得m≥4.2.3函数的单调性及最值【学习目标】1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会运用函数图像理解和研究函数的性质.【要点整合】一、函数的单调性定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,x₂当x₁<x₂时，都有f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂),那么图象描述自左向右看图象是上升的yy自左向右看图象是下降的变式：(1)f(x)是增函数Vxi≠x₂,x)-C2>0⇔x≠x₂,(x-x₂)U(x)-f(x₂)>0性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.①利用定义证明单调性的一般步骤是a.Vx,x₂∈D,且x₁<x₂,b.计算f(x₁)-f(x₂)并判断符号，c.结论.②导数法：设y=f(x)在某区间内可导，若f'(x)≥0,则f(在该区间为减函数(f'(x)不恒等于零).2、与单调性有关的结论前提条件(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x₀∈I,使得f(x₀)=M(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x₀∈I,使得f(x₀)=M结论【典例讲练】f(x₁)-f(x₂)=e+ee²-e²在(0,+0)上单调递增.练习1讨论函数在(-○,1)上的单调性.,由于-x₁<x₂<1,故a>0时，f(x)在(-,1)上是减函数.题型二求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间由作图可得：单调递增区间为(-0,-1)和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+)所以单调递减区间为(-3,-1),单调递增区间为(-1,1)A.(-,-2)B.(-o,1)C.(1,+0)【答案】(1)D(2)[0,1(3)[1,2]【解析】(1)由x²-2x-8>0,得f(x)的定义域为{x|x>4或x<-2}.设t=x²-2x-8,则y=Int为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t=x²-2x-8∵函数t=x²-2x-8在(4,+o)上单调递增，在(-0,-2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4,+o).故选D.(2)由题意知题型三单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(1)若函数f(x)=x²,设a=log₅A.f(a)>f(b)>f(c)B.fC.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(a)>f(b)(2)已知定义在R上的函数f(x)=2k×-+1(m∈R)为偶函数.记a=f(log₂2),b=f(log₂4),c=f(2m),