2025年 九年级数学中考二轮复习 四边形综合 解答题专题提升训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《四边形综合》解答题专题提升训练（附答案）1．已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，(1)如图，若∠EPF=60°,EO=1，求PE的长；(2)若点P是AD的中点，点F是DO的中点．求证：平行四边形ABCD是正方形．2．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t．

(1)求AD的长；(2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形APCD是矩形？(3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形DPBC是平行四边形？3．如图，矩形ABCD中，CD=4，∠CBD=30°．一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒t>0．过点P作PE⊥BC于点E，连接EQ，PQ．(1)求证：PE=DQ；(2)当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=6，点P为BC上一个动点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形APCQ，连接PQ交AC于点O(1)若AC=PQ，求PB的长；(2)当PB长为何值时，平行四边形APCQ是菱形？为什么？(3)在点P的运动过程中，线段PQ的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．5．如图：矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为a,b．(1)若a、b满足：a−8+6−b=0(2)已知：EO、EA分别平分∠COA、∠BAO，连CE并延长交边AB于点F，若点F为边AB中点，求ab(3)点M、D分别在边AB、y轴上，CM、BD相交于N，点B的坐标为3,b，BM=1，若∠BNM=45°，求CD的长．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=10cm，BD=45cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s．以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E(1)当点M在BD上时，求t的值；(2)连接BE．设△PEB的面积为Scm2，求S与t的函数关系式和(3)是否存在某一时刻t，使点B在∠PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)连接BM，直接写出BM长的最小值．7．如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB,BC,CD,DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG,FH，交点为O．(1)如图2，连接EF,FG,GH,HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为8．综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，CF，CF翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．观察发现：（1）如图1，若F为AD边的中点，AB=BC=10，点G与点H重合，则∠ECF=______°，AE=；问题探究：（2）如图2，若∠DCF=22.5°，AB=22，BC=2，则点G_____AB边上（填“在或不在”），并求出AE拓展延伸：（3）AB=20，AD=15，若F为AD靠近A的三等分点，请求出AE的长．9．如图1，正方形ABCD的边长为42，点F从点B出发，沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度移动，点E从点D出发，向点A以每秒2个单位长度的速度沿线段DA移动（不与点A重合）设点E，F同时出发移动t(1)当t=1时，求EF的长；(2)在点E，F移动过程中，连接CE，CF，EF，请判断△CEF的形状并说明理由；(3)如图2，点G，H，分别在边AB，CD上，且GH=52，连接EF，交GH于点P，当EF与GH的夹角为45°，求t10．如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，沿直线AC翻折△ABC得到△AB′C.如图2，延长BC和AB′，点E从点A的位置沿射线AB′方向平移，且作DE∥AC，DF∥CB′．同时动点P和Q出发，点P从点A沿线段AC向终点C运动，点

(1)问点P和点Q平移的速度分别为多少时，才能使四边形EPCQ始终成为矩形；(2)在（1）的条件下，①问t为何值时，矩形EPCQ是正方形；②t为何值时，矩形EPCQ(3)在（1）的条件下，当直线PQ经过四边形ABDF其中一个顶点时，求t的值．11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥(2)从运动开始，当t取何值时，PQ=CD？(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．12．（1）如图①，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥DC于点F，若AE=2，BE=3，AF=47（2）如图②，在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点P是矩形ABCD内部一点，且满足∠BPC=90°，则点P到AD的最小距离为多少．（3）如图③，小明家有一个边长为10米的正方形空地EFGH，点A为HE边上一点且AE=4米，小明计划在EF边上任取一点B，以AB为边在AB上方修建一个面积为16平方米的矩形草莓种植大棚（即ABCD为矩形且面积为16平方米），同时计划利用△DHG区域种植葡萄，剩下区域栽种花卉和草坪，由于近几年葡萄的销量不好，所以小明计划在不减少草莓种植面积的条件下减少葡萄种植区域的面积，请你帮助小明计算出当葡萄种植区域面积最小时BE的长为多少．13．【问题情境】：如图1，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=3，DC=2，求AD的长．【问题解决】小明同学是这样分析的：将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，延长EB、FC相交于点G，设AD为x，在Rt△GBC中运用勾股定理，可以求出AD

（1）说明四边形AEGF是正方形；（2）求出AD的长．【方法提炼】请用小明的方法解决以下问题：（3）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=45°，BC=6，CD=8，BD=10，求AC的最大值．（4）如图3，四边形ABCD中，BC=6，AD=2，点E是AB上一点，且∠DEC=135°，AE=3，BE=4，则CD的最大值为．（直接写出结果）14．【问题探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，请你判断∠DPQ的大小是否发生变化，并请说明理由；【迁移探究】（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变，请你探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．(1)如图1，在邻余四边形ABCD中，∠B=40°，则∠C=________；(2)如图2，在△ABC中，AC=45，BC=4，DE垂直平分AC交AB于点E，垂足为D，且DE=5，BE=3，F为BC上一点，求证：四边形(3)如图3、图4，在邻余四边形ABCD中，E为AB中点，∠DEC=90°，①如图3，当DE⊥AD时，判断四边形BCDE的形状并证明你的结论；②如图4，当AD=6，BC=8时，求CD的长．16．问题提出（1）如图1，在菱形ABCD中，DC=3，∠BCD=120°，AE⊥BC，则AE的长为______；问题探究（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC上一动点，连接AE，以AB为直径的半圆与AE相交于点M，连接MD，MC，求△MDC面积的最小值；问题解决（3）如图3，有一个菱形花园ABCD，AB=300m，∠ABC=60°，点P是菱形ABCD内一点，现需在花园内开辟三角形区域APB种植一种红色花卉．在三角形区域PDC种植一种黄色花卉，其他地方种植绿植．根据设计要求，满足∠ABP+∠DCP=90°，同时过点P修建四条小路分别是PA，PB，PC，PD供游客参观．若绿植面积每平方米100元，请问当点P到AD的距离为多少米时，△APD面积存在最小值？并求出△APD种植绿植需要花费多少元？17．某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？探究一：（1）如图2，已知“等补四边形”ABCD，若∠A=90°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如图3）．若BC=4cm，CD=2cm探究二：（2）如图4，已知“等补四边形”ABCD，若∠A=120°，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若BC=6cm，CD=4cm，求“等补四边形”探究三：（3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道BC，CD的长度，就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形”ABCD，连接AC，若BC=m，CD=n，∠ACD=30°，试求出“等补四边形”ABCD的面积（用含m，n的代数式表示）．18．【方法回顾】（1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABOC为正方形，直线l经过点A，BE⊥l于点E，CF⊥l于点F，若点A的坐标为−10,10，CF=3【问题解决】（2）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABOC为菱形，直线l⊥AC于点A交OB于点P，BE⊥AB交l于点E，点F在AP上，且∠ACF=∠BAE，若AB=23，EF=2，求点E，F【思维拓展】（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABOC为矩形，直线l分∠BAC为1:2两部分，BE⊥l于点E，CF⊥l于点F，若点F的坐标为−33,−1，直接写出点19．【问题提出】（1）如图①，在△ABC中，点D为BC的中点，则：SABDSADC（填“>，<，【问题探究】（2）如图②，在正方形ABCD中，AB=4，点E为AB的中点，点F、G分别为BC、AD边上的动点，∠GEF=120°，求△EFG面积的最小值；【问题解决】（3）如图③，矩形ABCD是某农业观光园的部分平面示意图，AB=50千米，AD=80千米，AB边上的点E为休息区，且AE=20千米，三条观光小路EG、EF、FG（小路宽度不计，F在AD边上，G在BC边上）拟将这个园区分成四个区域，用来种植不同的蔬菜，根据实际需要，∠FEG=60°并且要求△EFG的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的△EFG？若存在，请求出△EFG的面积的最小值；若不存在，请说明理由．20．小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：【理解应用】（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是垂等四边形，点A的坐标为4,0，点C的坐标为0,3，求点B的坐标；【规律初探】（2）如图2，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上，点F在边BC上，点G在边CD上，点H在边AD上，若四边形满足EG=FH，请直接写出四边形EFGH面积S的取值范围；【综合探究】（3）如图3，已知抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于M、N两点，点M在点N的左侧，P、Q两点在该抛物线上．若以M、N、P、Q为顶点的四边形是垂等四边形且MN∥PQ．设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且m>n参考答案1．（1）解：连接PO，如图，∵PE=PF,PO=PO,PE⊥AC、∴Rt△PEO∴PF=PE,∠EPO=∠FPO=30°，在Rt△PEO中，EO=1,∠EPO=30°∴PO=2，∴PE=P∴PF=3（2）证明：∵P是AD中点，∴AP=PD又∵PE=PF，∴Rt△PEA∴∠OAD=∠ODA．∴OA=OD．∴AC=2OA=2OD=BD．∴平行四边形ABCD是矩形．∵点P是AD中点，，点F是DO的中点，∴AO∥∵PF⊥BD，∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．∴平行四边形ABCD是正方形．2．解：（1）如图，过C作CE⊥AB于点E，

∵AB∥CD，AD⊥AB∴∠ADC=90°∴四边形AECD为矩形，∴AD=CE，∵∠B=60°，∴∠BCE=30°∴BE=∴CE=∴AD=CE=23（2）由（1）可得，四边形AECD为矩形，∴当点P和点E重合时，四边形APCD是矩形∵AB=10，BE=2∴AE=AB−BE=8∵点P沿线段AB从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t∴t=8÷1=8（秒）∴t=8时，四边形APCD是矩形；（3）∵四边形AECD为矩形，∴CD=AE=8∵AB∥CD，即PB∥CD∴当PB=CD=8时，四边形DPBC是平行四边形∴此时AP=AB−PB=2∴t=2÷1=2（秒）∴t=2时，四边形APCD是平行四边形．3．（1）证明：∵PE⊥BC，∴∠BEP=90°，在Rt△BEP中，BP=2t∵∠CBD=30°，∴PE=t，又∵DQ=t，∴PE=DQ；（2）解：①当∠EPQ=90°时，∵PE⊥BC，∠C=90°，∠EPQ=90°∴四边形EPQC为矩形，∴PE=QC，∵PE=t，QC=4−t，∴t=4−t，即t=2；②当∠PQE=90°时，∠DPQ=∠PQE=90°，在Rt△DPQ中，∠PQD=90°−60°=30°∴DQ=2DP，∵DQ=t，DP=8−2t∴t=28−2t，即t=③当∠PEQ=90°时，此种情况不存在，综上所述，当t=2或165时，△PQE4．解：（1）当∠APC=90°时，平行四边形APCQ是矩形，则AC=PQ，∵∠CAB=90°，∠ACB=30°，∴∠B=90°−30°=60°，∵∠APB=90°，AB=6，∴PB=1（2）∵∠CAB=90°，当PB=PC时，∴PA=PB=PC，此时平行四边形APCQ是菱形，∵∠CAB=90°，∠ACB=30°，AB=6，∴BC=2AB=12，∴PB=PC=1（3）如图，设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC

在Rt△ABC中，∠ACB=30°∴BC=2AB=12，AC=3∵四边形PAQC是平行四边形，∴OA=OC=33∵OP′⊥BC∴OP当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ∴PQ的最小值=2OP5．（1）解：∵a−8+a−8≥0，6−b∴a−8=0，6−b∴a−8=0，6−b=0，解得：a=8，b=6，∵点B的坐标为a,b，∴点B的坐标为8,6，故答案为：8,6；（2）解：如图，过点E作EG⊥AB于点G，过点E作EH⊥OA于点H，

∵四边形OABC是矩形，EO、EA分别平分∠COA、∠BAO，连CE并延长交边AB于点F，若点F为边AB中点，∴∠COA=∠BAO=∠ABC=90°，∠EOA=∠EOC=∠EAO=∠EAB=1∴EO=EA，∵EG⊥AB，EH⊥OA，点B的坐标为a,b，∴∠EHA=∠EGA=90°，OA=a，AB=b，BF=AF=b∠AEH=∠EAO=45°，∴EG∥BC，EH∥CO，四边形AHEG是矩形，∴四边形AHEG是正方形，EH是梯形AOCF的中位线，即点E为CF的中点，∴AG=EH，EG是△BCF的中位线，∴BG=FG=1∴AG=AF+FG=b∴a2∴ab（3）解：情况一，如图，当点D在线段CO上时，过点B作BP⊥CM于点P，过点C作CQ⊥BD于点Q，

∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为3,b，BM=1，∴BC=OA=3，∠CBM=∠BCD=90°，∴CM=BC2∴BP=BC×BM∵∠BNM=45°，∴∠CNQ=45°，∴△BNP和△CNQ都是等腰直角三角形，∴PN=BP=31010，BN=∴CN=CM−PN−PM=10∴CQ=NQ=CN÷BQ=NQ+BN=3设DQ=m，则CD=DQ∴CD×BC=BD×CQ，∴m2方程左右同平方，整理得：20mm=12解得：m=3∴DQ=3∴CD=D情况二，如图，当点D在线段CO的延长线上时，过点B作BJ⊥CM于点J，过点C作CK⊥BD于点K，

∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为3,b，BM=1，∴BC=OA=3，∠CBM=∠BCD=90°，∴CM=BC2∴BJ=BC×BM∵∠BNM=45°，BJ⊥CM，CK⊥BD，∴△BNJ和△CNK都是等腰直角三角形，∴NJ=BJ=31010∴CJ=BCN=CJ+NJ=6∴CK=NK=CN÷2=6设DK=n，∵CK2+D∴65解得：n=12∴DK=12∴CD=CK2综上所述，CD的长为326．解：（1）由题意得：DQ=10−2t，PM=2t，PB=10−t，QM=AP=t，如下图，点M在BD上时，∵QM∥PB，PM∥QD，∴∠DQM=∠DAB=∠MPQ，∠DMQ=∠MBP，∴△DQM∽△MPB，则DQPM即10−2t2t解得：t=10（2）如上图，∵AD∥PM，∴∠AEP=∠EAQ，∵四边形ABCD是菱形，则∠QAE=∠EAP，∴∠AEP=∠EAP，∴△APE为等腰三角形，则PE=AP=t，过点D作DH⊥AB于点H，则S△ABD即10⋅DH=10解得：DH=8，则sin∠DAH=设△PEB中PB边上的高为ℎ，则S=1∵−25<0当t=5时，S的最大值为10；（3）存在，理由：如下图，过点B作BR⊥PE于点R，当点B在∠PEC的平分线上时，则BR=OB=25在Rt△PBR中，sin解得：t=20−5（4）如图，由题意得，当点Q与点D重合时，点P到达线段AB的中点，点M到达线段CD的中点，∴点M始终在射线CM上，过点B作BM′⊥AM，当点M与点M过点A作AR⊥CD交CD的延长线于点R，由（2）得AR=8，∴RD=10∴RM=6+5=11，∴AM=11∵AB∥CD，∴∠BAM又∵∠AM∴△BAM∴AB10185∴BM∴BM长的最小值为161857．（1）解：四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA，∵HA=EB=FC=GD，∴AE=BF=CG=DH，∴△AEH≌△BFE，△AEH≌∴△AEH,△BFE,△CGF,△DHG全等，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，∵△DHG≌∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴四边形EFGH是正方形．（2）解：∵HA=EB=FC=GD=1,AB=BC=CD=AD=3，∴GF=EF=EH=GH=1∵由（1）知，四边形EFGH是正方形，∴GO=OF,∠GOF=90°，由勾股定理得：GO=OF=10∵S四边形∴S阴影故答案为：1．8．解：（1）∵AB=BC=10，四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=10，∠BCD=∠A=90°，∵F为AD边的中点，∴DF=AF=5，将△BCE和△CDF沿CE，CF翻折，D，B的对应点分别为G，∴BE=EG，设BE=x，则AE=10−x，∴EF=EG+FG=x+5，∵EF∴5＋∴x=10∴BE=10∴AE=10−10将△BCE和△CDF沿CE，CF翻折，D，B的对应点分别为G，∴∠BCE=∠GCE，∵∠BCD=90°，∴∠ECF=1故答案为：45；203（2）延长CG交AB于点M，如图2，∵∠DCF=∠GCF=22.5°，∴∠BCH=45°，∵∠EHM=∠B=90°，∴∠BMH=90°−45°=45°∴△CBM和△EHM均为等腰直角三角形，∴BM=BC=2，∴BE+EM=2，即BE+2解得：BE=22∴AE=AB−BE=2；∵CM=B∴CD=22由折叠性质得：CG=CD=22∴点G在AB边上；故答案为：在；（3）当DF=2AF时，过点E作EP∥GH，交FG的延长线于点P，连接EF，则四边形GHEP为矩形，∴GH=EP，由折叠性质可知，CD=CG=20，∴HG=CG−CH=20−15=5，∴EP=5，∵DF=2AF，∴AF=5，∴AF=EP，设BE=EH=a,FP=a+10，∵EF∴52解得：a=5，∴AE=20−a=15；综上，AE的长为15．9．（1）解：根据题意当t=1时：DE=2∵正方形ABCD的边长为42∴AF=AB+BF=52，AE=AD−DE=3在Rt△AFE∴EF=A（2）解：等腰直角三角形．理由如下：如图1，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠CBF=90°．依题意得：DE=BF=2在△CDE与△CBF中，DC=BC∠D=∠CBF∴△CDE≌△CBFSAS∴CF=CE，∠DCE=∠BCF，∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°，∴△CEF是等腰直角三角形；（3）解：如图3，连接CE，CF，EF与GH交于P，CE与GH交于点Q．

由（1）得∠CFE=45°，又∵∠EPQ=45°，∴GH∥又∵AF∥∴四边形GFCH是平行四边形，∴CF=GH=210在Rt△CBF中，得BF=∴t=210．（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=5，在Rt△APE中，AE=53t，sin∴AP=53t⋅∴DQ=CQ⋅tanDCQ=CQ⋅tan∴点P的速度是每秒1个单位，点Q速度是每秒169（2）当EP=CP时，矩形EPCQ是正方形，∴4∴t=15②∵S∴当t=52时，（3）如图1，

∵A、P、C共线，∴A、P、Q不能共线，同样P、Q、D不能共线，当PQ过点B时，只需∠CPQ=∠APB，∴tan∴CQ∵∠ABC=∠ATB=90°，∠BAT=∠BAC，∴△ABT∽△ACB，∴AB∴3∴AT=95，∴12∴t1=3，t∴当t=3时，PQ过点B，如图2

当PQ过F点时，作FR⊥DE于R，只需∠PQC=∠QFR，∴tan∴CP∵DE=EQ+DQ=5−t+16∴EF=DE⋅cos∴FR=EF⋅sinER=EF⋅cos∴5−t∴t1=综上所述：t=3或4513时，直线PQ经过四边形ABDF11．解：（1）当PQ∥CD时,∵PD∥CQ,∴四边形PQCD是平行四边形，∴DP=CQ,∴12−t=2t,∴t=4；（2）如图,如图1,过点D作DH⊥BC于H,∴∠CHD=90°∵∠B=90°,∴∠B=∠CHD∴DH∥AB,∵AD∥BC,∴四边形ABHD是平行四边形，∴DH=AB=8cm,BH=AD=12∴CH=BC−BH=6(cm根据勾股定理得，CD=D过点Q作QG⊥AD于G,则四边形ABQG是矩形，∴QG=AB=8cm∵BQ=BC−CQ=(18−2t)cm∴PG=|AG−AP|=|18−2t−t|=|18−3t|cm∵PQ=CD=10cm根据勾股定理得，8²+18−3t解得：t=4或t=8,故t为4或8；（3）不存在,理由:∵四边形PQCD是菱形，∴CQ=CD，∴2t=10，解得t=5，此时，DP=AD−AP=12−5=7而DP≠CD，∴四边形PQCD不可能是菱形.12．解：（1）∵AE⊥BC，AE=2，BE=3∴AB=A∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=7，AD=BC∵AF=4∴S∵S∴2CB=4，∴BC=2．∴AD=BC=2．故答案为：2；（2）取BC的中点E，连接EP，过点P作PD⊥AD于点F，过点E作EH⊥AD于点H，如图，则PF为P到AD的距离．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠ABC=90°，∵EH⊥AD，∴四边形ABEH为矩形，∴EH=AB=6，∵∠BPC=90°，E为BC的中点，∴PE=1∵EP+PF≥EH，∴PF≥EH−EP=2，∴当E，P，F三点在一条直线上时，PF取得最小值为2．∴点P到AD的最小距离为2；（3）过点D作DM⊥AH于点M，如图，设AD=x，AM=y，∵四边形ABCD为矩形且面积为16平方米，∴AB=16∵AE=4，∠E=90°，∴BE=A∵∠DAM+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABE=90°，∴∠DAM=∠ABE．∵∠AMD=∠E=90°，∴△ADM∽△BAE，∴AMAD∴yx∴y=1∴当x2=8时，即x=22时，y过点D作DN⊥HG于点N，延长ND，交EF于点K，∵GH∥∴NK⊥EF，∵∠E=∠EHG=90°，∴四边形NHEK为矩形，∴NK=HE=10（米)，同理：四边形DMHN为矩形，∴DN=HM．∵减少葡萄种植区域的面积，∴葡萄种植区域面积最小时，即△DHG的面积最小，∵HG=NK=10米，∴DN取最小值时，△DHG的面积最小．∵DN+NK=10，∴当DK取得最大值时，DN取最小值．由题意：当AM取得最大值时，DK取得最大值4+2=6，此时x=22∴BE=416∴当葡萄种植区域面积最小时BE的长为4（米）．13．解：（1）∵将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，∴AE=AD=AF，BD=BE=3，DC=CF=2，∠BAD=∠BAE，∠CAD=∠CAF，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，∵∠BAC=45°，∴∠EAF=∠BAD+∠BAE+∠CAD+∠CAF=90°，∴四边形AEGF是矩形，∵AE=AF，∴四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x=AE=AF，∵四边形AEGF是正方形，∴AE=EG=GF=AF，∠G=90°，∴BG=x−3，CG=x−2，在Rt△GBC中，B∴(3+2)∴x=6或x=−1（舍去），∴AD=6；（3）如图2，将△ABC沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AD翻折得到△ADF，连接EF，∴AE=AC=AF，∠BAC=∠BAE，∠CAD=∠DAF，BE=BC=6，CD=DF=8，∵∠BAD=45°，∴∠EAF=90°，∴EF=2∵BC=6，CD=8，BD=10，∴∠BCD=90°，当BE，BD，DF三条线段共线时，EF有最大值=6+8+10=24，则AC的最大值=24（4）如图3，将△ADE沿着DE翻折得到△NDE，将△BCE沿着CE翻折得到△MCE，连接MN，

∴AD=DN=2，BC=CM=6，AE=NE=3，ME=BE=4，∠AED=∠DEN，∠CEB=∠CEM，∵∠DEC=135°，∴∠AED+∠CEB=45°，∴∠NEM=∠DEC−(∠DEN+∠CEM)=90°，∴MN=M当DN，MN，MC三条线段共线时，CD有最大值=2+5+6=13，故答案为：13．14．解：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB,∠DCA=∠BCA=45°，∵CP=CP∴△DCP≌△BCP，∴PD=PB；②解：∠DPQ的大小不变，∠DPQ=90°；理由如下：作PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∴四边形AMPN是矩形，∴∠MPN=90°，∵∠DAC=∠BAC=45°，∴PM=PN，∵PD=PQ,PM=PN，∴Rt△DPN≌∴∠DPN=∠QPM，∠QPN+∠QPM=90°，∴∠QPN+∠DPN=90°，即∠DPQ=90°；（2）AQ=CP；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC,AC⊥BD,DO=BO，∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC=60°，PD=PB，∵PD=PQ，∴PQ=PB，作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB=∠BAC=60°，∠AEP=∠ABC=60°，∴EG=PC，△APE,△BEG都是等边三角形，∴BE=EG=PC，作PM⊥AB于点M，则QM=MB,AM=EM，∴QA=BE，∴AQ=CP．15．（1）解：∵在邻余四边形ABCD中，∠B=40°，且∠BAD>90°，∠ADC>90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠C=90°−40°=50°，故答案为：50°；（2）证明：∵DE垂直平分AC，AC=45∴AD=12AC=2∵DE=5∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=∵BE=3，∴AB=AE+BE=5+3=8，∵BC=4，∴BC∴∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴四边形AEFC是邻余四边形；（3）①四边形BCDE是平行四边形，证明如下：∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∵∠DEC=90°，∴∠ADE=∠DEC，∴AD∥CE，∴∠A=∠CEB，∵在邻余四边形ABCD中，∠ADC>90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠CEB+∠B=90°，∴∠BCE=∠DEC=90°，∴DE∥CB，∵E为AB中点，∴AE=EB，在△ADE和△ECB中，∠ADE=∠ECB∠A=∠CEB∴△ADE≌∴DE=CB，由DE∥CB，∴四边形BCDE是平行四边形；②如下图，延长CE到点C′，使C′E=CE，连接A∵E为AB中点，∠DEC=90°，∴DE是CC∴AE=EB，C′∵∠AEC∴△AEC∴AC′=BC=8∵在邻余四边形ABCD中，∠ADC>90°，∴可分两种情况讨论：当∠BAD+∠B=90°时，则∠DAC∴CD=C当∠BCD+∠B=90°时，则∠ECB+∠B<90°，∴∠BEC>90°，与∠AED+∠CEB=90°矛盾，∴此种情况不存在；综上，CD的长为10．16．解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD=3，∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，∴在Rt△ABEsin60°=∴AE解得：AE=3故答案为：33（2）如图1，∵M在以AB为直径的半圆上，点O为圆心，∴∠AMB=90°，连接OM，过点M作MR⊥DC于点R，过点O作ON⊥CD于点N．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=6，∴S∴当MR最小时，△MDC面积最小．∵OM+MR≥ON∴MR≥ON−OM，即MR≥8−3=5，∴△MDC面积最小值为：3MR=3×5=15，故答案为：15，（3）在菱形ABCD中，∵AB∥∴∠ABC+∠DCB=180°．∵∠ABP+∠DCP=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴BP⊥CP∴当△APD面积最小时，点P到AD的距离最小，即点P到BC的距离最大．如图2，当Rt△BPC是等腰直角三角形时，即点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC于点H∴∠PBC=∠BPH=45°，∴∠ABP=∠ABC−∠PBC=60°−45°=15°，∴∠BAP=∠BPH−∠ABP=45°−15°=30°，∴在△ABH中，∠AHB=180°−15°−45°−30°=90°，∴AH⊥BC，∴A，P，H三点共线．∵在菱形ABCD中，AD∥∴∠BAD=180°−∠ABC=180°−60°=120°，∴∠PAD=∠BAD−∠BAH=120°−30°=90°，∴PA⊥AD，∵AB=BC=300m∴PH=BH=1在Rt△ABH中，∠ABH=60°，BH=150∴AH=BH⋅tan∴点P到AD的距离为：AP=AH−PH=150∴△APD面积最小值为：12∴△APD种植绿植需要花费为：225003故答案为：点P到AD的距离为1503−150m时，△APD面积存在最小值，△APD17．解：（1）等补四边形”的面积为12故答案为：9．（2）如图，过点C作CE⊥GF交于点E，根据题意可得：FC=FB+BC=DC+BC=4+6=10(cm)∵△FGC是等边三角形，∴∠GCF=60°，GC=FC，∴∠FCE=1在Rt△ECF中，∠FCE=30°，FC=10∴EF=1∴EC=F∴“等补四边形”ABCD的面积为：13（3）如图，将△ACD绕点A顺时针旋转得到△ABC作AH⊥BC于点H，∴AC′=AC，C′B=CD=n在等补四边形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，∴∠ABC+ABC∴点C′，B，C∴CC∵AC′∴HC在Rt△AH∵∠C∴AH2∴AH=3∴“等补四边形”ABCD的面积等于△ACC′的面积：18．解：（1）∵四边形ABOC为正方形，A−∴AC=AB=10∵CF⊥l，CF=3，∴AF=A∵∠BAE+∠CAF=∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAE=∠ACF，∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠CFA=∠AEB=90°，∴△ACF≌∴AE=CF=3，∴EF=AE−AF=2；（2）解：∵四边形ABOC为菱形，AB=23∴AB=AC=23∵l⊥AC，BE⊥AB，∴∠CAF=∠ABE=90°，∵∠ACF=∠BAE，∴△ACF≌∴AE=CF,BE=AF，设AF=x，则BE=x，CF=AE=AF+EF=x+2，∴AB2+B解得：x=2，∴BE=AF=2，∴AE=4，∵S△BAE∴BP=3∴PE=B∴OP=OB−BP=3∴OP=OB−BP=23∴PF=EF−PF=1，∴E−（3）解：∵四边形ABOC为矩形，∴∠BAC=90°，∵直线l分∠BAC为1:2两部分，∴∠BAE+∠CAF=90°，①如图，连接OF，过点F作FH⊥y轴，垂足为H，过点E作EG⊥AB,EP⊥AC，垂足分别为点G，点P，当∠BAE=30°时，则HF=33∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠BAE+∠CAF=∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAE=∠ACF=30°，∴BE=1∵∠OCF=90°−∠ACF=60°，∴∠CFH=30°，∴HC=1∴OC=AB=HC−OH=2，∴BE=1，∴AE=A∵S∴GE=3∴AP=GE=3∵