中考数学复习-圆的切线证明（含答案）

圆的切线证明典例精练【例1】如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,C是BD的中点，过点C作AD的垂线,垂足是E,连接AC交BD于点F.求证:CE是⊙O的切线.【例2】如图，△ABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证:AC是⊙O的切线.针对训练1.(2023达州)如图,△ABC内接于⊙O,AB=BC,P是OB的延长线上一点,∠PAB=∠ACB,求证:AP是⊙O的切线.2.如图,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠DAB=90∘,AB是⊙O的直径,CO平分3.(2024甘肃)如图,AB是⊙O的直径,BC=BD,点E在AD的延长线上，且∠ADC=4.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘,,点O在AC上,⊙O过点A,交AB,AC于点E,D,且5.如图，在△ABC中，AB=AC,,以AB为直径作⊙O,AC与⊙O交于点D,BC与⊙O交于点E，过点C作CF‖AB,且CF=CD,连接BF.求证:BF是⊙O的切线.6.如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,□ODEF的顶点O,D在斜边AB上,顶点E,F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E.求证：BC与⊙O相切.7.(2024湖北)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,,点E在AC上,以CE为直径的⊙O经过AB上的点D,与OB交于点F,且.8.如图,△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于D,FD‖BC,求证：FD是⊙O的切线.圆的切线证明参考答案典例精练【例1】如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,C是BD的中点,过点C作AD的垂线,垂足是E,连接AC交BD于点F.求证:CE是⊙O的切线.证明:连接OC交BD于点G,连接OD.∵C是BD的中点,∴∠BOC=∠DOC,OC垂直平分BD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵CE⊥DE,∴∠E=90°.又∵∠EDB=∠CGD=90°,∴四边形CGDE是矩形.∴∠ECG=90°.∴OC⊥CE.又∵OC是⊙O的半径,∴CE是⊙O的切线.【例2】如图，△ABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证:AC是⊙O的切线.证明:连接OD,OA,作OE⊥AC于点E.∵AB与⊙O相切,∴OD⊥AB.∵AB=AC,OB=OC,∴∠BAO=∠CAO.∴OD=OE,∴OE是⊙O的半径.∴AC是⊙O的切线.针对训练1.(2023达州)如图,△ABC内接于⊙O,AB=BC,P是OB的延长线上一点,∠PAB=∠ACB,求证:AP是⊙O的切线.证明:连接OA,OC.∵AB=BC,∴AB=BC,∠CAB=∠ACB.∴∠AOB=∠COB.∴OB⊥AC.∴∠CAB+∠ABO=90°.∴∠ACB+∠ABO=90°.∵∠PAB=∠ACB,∴∠PAB+∠ABO=90°.∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABO.∴∠PAB+∠OAB=90°,即∠OAP=90°.又∵OA是⊙O的半径,∴AP是⊙O的切线.2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AB是⊙O的直径,CO平分∠BCD.求证：直线CD与⊙O相切.证明:过点O作OE⊥CD于点E.∵AD∥BC,∠DAB=90°,∴∠OBC=90°,即OB⊥BC.∵OE⊥CD,OB⊥BC,CO平分∠BCD,∴OB=OE.∴OE是⊙O的半径.∴直线CD与⊙O相切.3.(2024甘肃)如图,AB是⊙O的直径,BC=BD,点E在AD的延长线上，且证明:连接BD,OC,OD,设AB与CD交于点F.∵BC∴点O,B在CD的垂直平分线上.∴OB垂直平分CD.∴∠AFD=90°.∵∠ADC=∠AEB,∴CD∥BE.∴∠ABE=∠AFD=90°.∴AB⊥BE,又∵AB是⊙O的直径,∴BE是⊙O的切线.4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点O在AC上,⊙O过点A,交AB,AC于点E,D,且EC=BC,求证:EC是⊙O的切线.证明:连接OE.∵AO=EO,EC=BC,∴∠A=∠AEO,∠B=∠BEC.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∴∠AEO+∠BEC=90°.∴∠OEC=180°-90°=90°.∵OE是⊙O的半径,∴EC是⊙O的切线.5.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,AC与⊙O交于点D,BC与⊙O交于点E,过点C作CF∥AB,且CF=CD,连接BF.求证:BF是⊙O的切线.证明:连接BD.∵AB是⊙O的直径,∴∠BDA=90°.∴∠BDC=90°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵CF∥AB,∴∠FCB=∠ABC,∠ABF+∠F=180°.∴∠FCB=∠ACB.又∵CF=CD,BC=BC,∴△BCF≌△BCD.∴∠F=∠BDC=90°.又∵∠ABF+∠F=180°,∴∠ABF=90°,即OB⊥BF.又∵OB是⊙O的半径,∴BF是⊙O的切线.6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,□ODEF的顶点O,D在斜边AB上,顶点E,F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E.求证：BC与⊙O相切.证明：连接OE.∵四边形ODEF是平行四边形,∴EF∥OD,EF=OD.∵OA=OD,∴EF∥OA,EF=OA.∴四边形AOEF是平行四边形.∴OE∥AC.∴∠OEB=∠ACB.∵∠ACB=90°,∴∠OEB=90°,即OE⊥BC.∵OE是⊙O的半径,∴BC与⊙O相切.7.(2024湖北)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC上,以CE为直径的⊙O经过AB上的点D,与OB交于点F,且BD=BC.求证:AB是⊙O的切线.证明：连接OD，在△OBD和△OBC中{BD=BC,∴∠ODB=∠OCB=90°.∵OD为⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.8.如图,△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC交⊙O于D,FD∥BC,求证:FD是⊙O的切线.证明:连接OB,O