贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三模拟统测数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三模拟统测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.现有一组数据12，13，12，15，18，19，20，则这组数据的第40百分位数为（）A.12 B.13 C.15 D.18【答案】B【解析】将这组数据按从小到大排列为：12，12，13，15，18，19，20，因为，所以这组数据的第40百分位数为13.故选：B2.复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以虚部为，故选：B3.已知向量，，若，则（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】由条件可得，两边平方得，解得，故选：A4.若是最小正周期为的偶函数，则的解析式可以为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A，为常函数，故最小正周期为错误；对于B，，奇函数，故错误；对于C，由周期公式可知：的最小正周期为：，所以，故周期为，故错误；对于D，，偶函数，由周期公式可得最小正周期为，故正确；故选：D5.已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（）A B. C. D.【答案】C【解析】由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接，结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形，且，故，即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为，故第二个正四棱台的体积为.故选：C6.在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为，则（）A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8【答案】B【解析】由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，，，所以所以，故选：B7.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，因为，所以，则.故选：A.8.设直线：，：．若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q都相切，则圆Q上一点到点的距离的最大值为（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】由：，得，由：，得，设，则点到直线的距离为，点到直线的距离为，要使点为定点，且，则，即，此时定圆Q的圆心为，半径为1，所以圆Q上一点到点的距离的最大值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合，，，则（）AB.中元素的个数为8C.是A的一个真子集D.从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种【答案】ABD【解析】，由条件可得，正确；，有8个元素，正确；，，显然C错误；由条件可知中有个整数，其中有6个奇数，所以取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有，正确；故选：ABD10.已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（）A.存在无数个点P，使得为定值B.存在无数个点P，使得为定值C.仅存在2个点P，使得D.仅存在4个点P，使得【答案】ABD【解析】由曲线C：，可知曲线为：椭圆和椭圆，易知，为的焦点，，，为的焦点，存在无数个点P，使得为定值，存在无数个点P，使得为定值，故AB正确；由图象可知：两椭圆共有4个交点，所以仅存在4个点P，使得，故C错，D对，故选：ABD11.若存在点P，使得过点P可作曲线的两条切线，切点为A和B，且是锐角，则可能为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】若过点可作曲线的两条切线，设切点，不妨设，则函数在处的切线方程为，在处的切线方程为，则两切线交点为，所以有，且，即，，由，，则可得.A项，，则，所以，由函数有两条渐近线，轴与直线，两渐近线夹角为，如图1可知，，又不共线，则可能为锐角.例如：当时，此时，不共线，则为锐角，故A正确；B项，，则，所以，如图可知，，则，故，又不共线，所以恒为钝角，故B错误；C项，，则，所以，其中，若，且，则，如图所示，不共线，可以取到锐角，故C正确；D项，，则，故，，故曲线在处的切线为，在处的切线为，此时两切线夹角为.，结合图可知，，则，故，所以，故D错误；故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则的最大值为______，此时______．【答案】①.②.【解析】由，则，当且仅当时等号成立，即的最大值为，此时.故答案为：；.13.若函数满足，则______．【答案】2【解析】由，令，得，令，得，两式联立，解得.故答案为：2.14.在三棱锥中，O为的外心，底面ABC，，，且，则三棱锥外接球的表面积为______．【答案】【解析】如图：设的外接圆半径为，三棱锥外接球的半径为.在中，，所以.记三棱锥外接球的球心为，由.故三棱锥外接球的表面积为：.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知抛物线C：经过双曲线D：的焦点，且D的离心率为．（1）求D的方程；（2）C与D的4个交点围成一个梯形，求该梯形的高．解：（1）抛物线C：与轴焦点坐标为，则双曲线D：的焦点坐标为，则，又，则，所以求双曲线D的方程为.（2）联立，解得或或或，则C与D的4个交点为，，，，则该梯形的高为.16.如图，平面，，点，位于平面的两侧，，，，四点共面，且，，．（1）证明：平面．（2）过点作平面ABC的垂线，指出垂足的位置，并说明理由．（3）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：因为平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面.（2）解：垂足为的中点.理由如下：取中点，连接，因为，所以又与（1）同理可证平面，因为四点共面，所以平面，所以，又,平面，所以平面所以为的中点.（3）解：因为，，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，则，，设平面的法向量为，则，令，可得.设平面的法向量为，则，令，可得.由，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知数列满足，且．设．（1）求；（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（3）求数列的前n项和．（1）解：由，，取，则有，解得.（2）证明：由，，则，所以，则得，又，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则有，则.（3）解：由（2）知，，则，所以，设，则，则，则，所以.18.若函数的导函数满足对恒成立，则称为T函数．（1）试问是否为T函数？说明你的理由．（2）若为T函数，求a的取值范围．解：（1）为T函数，理由如下：由，则，则，因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，所以，所以对恒成立，故为T函数.（2）由，则，因为为T函数，所以对恒成立，即对恒成立，设，，则，当，即时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；当，即时，，此时函数在上单调递增，则，即.综上所述，a取值范围为．19.现有位编号为1到2n的玩家，房间里有2n个盒子（盒子的编号为1到2n），将2n张编号为1到2n的纸条随机放入这2n个盒子内（每个盒子内只放1张纸条）．玩家依次进入房间，且每人可以打开其中的任意n个盒子，只有当每个玩家都找到与自己编号相同的纸条时，才算挑战成功．每个玩家开完盒子后都将盒子盖上（纸条放回原处），恢复盒子的原状．设各玩家开盒相互独立，在挑战开始后，各玩家不准交流．为了提升挑战成功的概率，有人设计了一个新方案：让每一位玩家进入房间后，先打开编号为自己编号的盒子（例如编号为2的玩家打开编号为2的盒子），若盒子里的纸条编号恰为玩家自己的编号，则该玩家退出房间，让下一位玩家进入房间；若盒子里的纸条编号（设该编号为X）不是该玩家自己的编号，则该玩家接着去打开编号为X的盒子，依此类推，直到打开的盒子里的纸条编号与自己的编号相同，且前提是打开盒子的个数不能超过n．（1）当时，设第个盒子内放的纸条编号为，试问采用新方案后，挑战是否能成功？说明你的理由．（2）当时，在第1个和第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，求采用新方案挑战成功的概率．（3）当时，求采用新方案挑战成功的概率．参考数据：，．解：（1）编号为1的玩家先打开编号为1的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为6的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家1可以挑战成功；编号为2玩家先打开编号为2的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为5的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家2可以挑战成功；编号为3的玩家先打开编号为3的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为4的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家3可以挑战成功；…编号为6的玩家先打开编号为6的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为1的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家6可以挑战成功.所以使用新方案后，每个玩家都可以在第二次找到与自己编号相同的纸条，从而挑战成功，所以采用新方案后，挑战能成功.（2）在第1个，第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，即编号为1和6的两个玩家能挑战成功的情况下，考虑其余四人的情况如下：设第2个，第3个，第4个，第5个盒子内放的纸条编号分别为，则的所有情况共有种.其中采用新方案挑战失败的有，，，，，，共6种.所以挑战成