2024届浙江省普通高校招生考试选考科目考试冲刺卷（一）数学试题（含答案）

第第页2024届浙江省普通高校招生考试选考科目考试冲刺卷（一）数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知集合A=xx−3<1，B=A．2,3 B．2,3 C．1,3 D．1,32．已知向量a=4,m，b=m2A．4或2 B．−2 C．2 D．2或−23．已知α∈0,π2，sinA．−223 B．223 4．如图，一个底面半径为4 cm，母线长为45 cm的圆锥形封闭容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的A．237 cm B．4 cm C．6 cm5．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为（）A．110 B．15 C．256．过点M0,1作圆O1：x−22+y−22=1的两条切线，切点分别为AA．5 B．2 C．3 D．27．已知a>0，b>0，若2a2+2abA．2−2 B．2+2 C．4+228．函数fxA．e2−2 B．−2e2−2 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9．已知复数z1=z2=2A．z1+zC．z1⋅z10．已知函数f(x)=sin(2x+πA．f(x)的最小正周期为πB．f(x)图象关于点(5πC．f(x)在(4πD．将f(x)图象向左平移11π2411．已知函数fx+1为偶函数，对∀x∈R，fx>0，且fA．f2=2 B．f3=1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知PA=23，PBA13．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，14．已知数列an的前n项和为Sn，且an=1n+n−1，数列bn的前n项和为T四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．如图，在平面内的四个动点A，B，C，D构成的四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，AD=4.（1）求△ACD面积的取值范围；（2）若四边形ABCD存在外接圆，求外接圆面积.16．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，∠A1AC=π（1）证明：A1（2）求平面BEF与平面A117．已知函数fx（1）当a=12时，求（2）当a=1时，判断fx18．已知椭圆C：x2a2+y（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N为椭圆上异于点P的点，直线PM，PN与x轴分别交于点A，B，若tan∠PAB⋅tan∠PBA=1，证明：直线MN恒过定点.19．某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量X（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值X=300，样本的标准差s=50（1）经分析，可以认为该款手机的日销售量X近似服从正态分布Nμ,σ2，用样本的平均值X作为μ的近似值，用样本的标准差s作为σ（2）为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数）参考数据：若随机变量ξ∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤ξ<μ+σ≈0.6827

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为x−3<1⇔−1<x−3<1，得2<x<4，即A=因为18≤2−x≤12所以A∩B=x故答案为：B.【分析】利用绝对值不等式求解方法得出集合A，利用指数函数的单调性得出集合B，再结合交集的运算法则，从而得出集合A∩B.2．【答案】C【解析】【解答】解：由a//b，则4×2−m故答案为：C.【分析】根据向量平行的坐标表示，从而得出m的值.3．【答案】C【解析】【解答】解：cosα+故答案为：C.【分析】利用角之间的关系结合诱导公式，从而得出cosα+4．【答案】D【解析】【解答】解：因为圆锥的底面半径为4 cm，母线长为45 cm，

所以高为当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的12所以液面的半径为2，此时液体的体积为V=π当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥，设圆锥的底面半径为r，高为ℎ，则有ℎ8=r此时液体的体积为V=π由2π3r3=112π故答案为：D.【分析】利用已知条件和勾股定理得出圆锥的高，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的125．【答案】D【解析】【解答】解：用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n=A数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件个数m=A则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为mn故答案为：D．【分析】先求出基本事件总数n，求出数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件数m，再利用古典概型求概率公式，从而由排列数公式得出数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率.6．【答案】A【解析】【解答】解：由图可知，O1A⊥MA，

则M,A,O1,B四点共圆，圆的直径是MO1，点所以MO1=22所以四边形MAO1B即x2+y两式相减得直线AB的方程2x+y−5=0，则原点到直线2x+y−5=0的距离d=−5故答案为：A.【分析】首先求出四边形MAO1B的外接圆的方程，求出直线AB的方程，再根据点到直线的距离公式得出原点O7．【答案】D【解析】【解答】解：ab=ab×2=2设ab则ab=2=x当x=2x时，即当x=2所以ab的最大值为4−22故答案为：D.【分析】首先变形得出ab=ab×2a2+2ab+1b8．【答案】B【解析】【解答】解：因为f'记gx=x−1当x>0时，g'x>0，函数g当x<0时，g'x<0，函数g所以，当x=0时，gx因为g2=0，且当x<0时，所以，当x<2时，gx<0，即f'x<0当x>2时，gx>0，即f'x>0所以，当x=2时，fx取得极小值f故答案为：B.【分析】利用二次求导判断函数f'x的单调性，从而得出函数f'x的最小值，再结合函数f'9．【答案】A,C【解析】【解答】解：设z1因为z3=z1+又因为z1=z可知c2+2−d2=c2+d2，解得d=1，

则b=d=1a=−c=3或对于选项A：因为z1=3对于选项B：可知z1对于选项C：因为z1对于选项D：z1故答案为：AC.【分析】根据复数的模长公式和复数加法运算法则以及复数相等的判断方法，可得复数z110．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：f(x)=sin(2x+=2cos对于A，T=2π对于B，因为f(5π所以点(5π24,对于C，因为f(35π所以函数f(x)的图象关于x=35π又因为35π24∈(4π3,对于D，将f(x)图象向左平移11π24个单位后，

得出f(x+显然为偶函数，所以D正确.故答案为：ABD.【分析】利用二倍角的余弦公式、辅助角公式、诱导公式，则将函数f(x)转化为余弦型函数，再利用余弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用换元法和余弦函数的图象的对称性，则判断出函数f(x)的对称中心，从而判断出选项B；利用换元法和余弦函数的图象的单调性，则判断出函数f(x)在(4π11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由题意可知，f−x+1=fx+1，

即函数fx关于在fx+1=fxfx+2中，

又因为fx>0，所以令x=−1，得f0=f−1f1，

又因为f3由已知得fx+2=f得出fx+3=1所以函数fx是周期为6的函数，故f因为函数fx关于x=1对称，所以f12=f3所以f1故答案为：ACD.【分析】由抽象函数结合已知条件和函数图象的对称性判断方法，从而判断出函数fx12．【答案】14【解析】【解答】解：因为PBPBA=1−P即23×1故答案为：14【分析】利用已知条件和全概率公式以及对立事件求概率公式，从而得出PB13．【答案】5【解析】【解答】解：不妨取M为渐近线y=b

因为F1M⋅F又因为O为F1F2因为MF1=2MF因为∠MOF1+∠MO在△MOF1和则cos∠MOF1所以c2+c2−2m2则∠MOF2为锐角，tan∠MO则b=43a，c2=故答案为：53【分析】根据F1M⋅F2M=0，得到F1M⊥14．【答案】15【解析】【解答】解：因为an所以Sn因为2bn−1整理得2b所以bn所以Tn=log令log2n+1≥2所以正整数n的最小值为15.故答案为：15.【分析】利用裂项相消的方法求出Sn，代入已知条件，从而整理得出2bn=n+1n，然后取对数结合裂项相消的方法可得15．【答案】（1）解：由三角形的性质可知，AB+BC>AC，

即AC<3且AC+CD>AD，

即AC>1，所以1<AC<3，在△ADC中，cos∠ADC=所以cos∠ADC∈23则S△ADC所以△ADC面积的取值范围是0,25（2）解：在△ADC中，AC在△ABC中，AC即25−24cos因为四边形ABCD存在外接圆，

所以∠ADC+∠ABC=180∘，

即即25−24cos∠ADC=5+4cos∠ADC，

得出此时AC2=25−24×由2R=AC所以，四边形ABCD外接圆的面积为S=πR​​​​​​​【解析】【分析】（1）根据三角形的性质，从而求出AC的范围，根据余弦定理求出cos∠ADC的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式得出sin∠ADC的取值范围，利用三角形的面积公式和不等式的基本性质，从而得出三角形（2）由余弦定理和四边形的外接圆的性质，从而求出ACd长和sin∠ADC的值，再利用正弦定理的性质得出三角形外接圆的半径，即得出四边形ABCD的外接圆的半径，根据圆的面积公式得出四边形ABCD（1）由三角形的性质可知，AB+BC>AC，即AC<3，且AC+CD>AD，即AC>1，所以1<AC<3，△ADC中，cos∠ADC=所以cos∠ADC∈23S△ADC所以△ADC面积的取值范围是0,25（2）△ADC中，AC△ABC中，AC即25−24因为四边形ABCD存在外接圆，所以∠ADC+∠ABC=180∘，即即25−24cos∠ADC=5+4cos∠ADC，得此时AC2=25−24×由2R=AC四边形ABCD外接圆的面积S=πR16．【答案】（1）证明：取AC中点D，因为在三棱柱ABC−A1B1C1所以三角形A1AC是等边三角形，则因为平面A1ACC1⊥平面ABC，

A1D⊂所以A1D⊥平面又因为DE,DC⊂平面ACB，所以A1因为D,E分别是AC,AB的中点，所以DE//CB，因为AC⊥BC，所以DE⊥DC，所以DE,DC,DA则以D为原点，DE,DC,DA1分别为因为AC=BC=CC1=2所以D0,0,0A1所以A1所以A1所以A1C⊥（2）解：由（1）可知，BE设平面BEF与平面A1ABB则n1⋅BE令y1=y所以n1所以cosn所以平面BEF与平面A1ABB【解析】【分析】（1）利用三棱柱的结构特征和等边三角形三线合一得出线线垂直，结合面面垂直的性质定理得出线面垂直，从而得出线线垂直，进而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系，从而证出A1（2）由（1）得出向量的坐标，结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面BEF与平面A1ABB1的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面（1）取AC中点D，因为在三棱柱ABC−A1B1C所以三角形A1AC是等边三角形，从而而平面A1ACC1⊥平面ABC，A1D⊂所以A1D⊥平面因为DE,DC⊂平面ACB，所以A1因为D,E分别是AC,AB的中点，所以DE//CB，因为AC⊥BC，所以DE⊥DC，所以DE,DC,DA所以以D为原点，DE,DC,DA1分别为因为AC=BC=CC1=2所以D0,0,0A1所以A1所以A1所以A1C⊥（2）由（1）可知，BE=设平面BEF与平面A1ABB则有n1⋅BE令y1=y所以n1所以cosn所以平面BEF与平面A1ABB17．【答案】（1）解：当a=12时，fx=1当x<0时，ex<1,cosx≤1，所以所以，函数fx在−当x>0时，记gx=1因为ex>1≥sinx，所以g'所以gx>g0=0，即f'x>0综上所述，fx的单调递减区间为−∞,0（2）解：当a=1时，fx=e记ℎx=e当x>0时，ex>1≥sinx，所以ℎ'所以ℎx>ℎ0=1>0，所以fx>f0=0，当x≤−π时，因为ex所以fx=e当−π<x<0时，记nx=e因为当x趋近于0时，n'x趋近于0，所以当x=−π时，ex−x−1>−sinx，当作出函数nx和y=−

由图可知，当−π<x<0时，两个函数图象有一个交点，

即fx有一个零点，易知x=0是fx综上所述，函数fx【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数fx（2）当x>0时，利用二次导数判断函数fx的单调性，当x≤−π时，利用指数函数的性质和正弦函数有界性，从而判断出函数值的符号，当−π<x<0时，记nx=ex−x−1，再利用导数研究函数nx（1）当a=12时，fx当x<0时，ex<1,cosx≤1，所以所以，fx在−当x>0时，记gx=1因为ex>1≥sinx，所以g'所以gx>g0=0，即f'综上，fx的减区间为−∞,0（2）当a=1时，fx=e记ℎx=e当x>0时，ex>1≥sinx，所以ℎ'所以ℎx>ℎ0=1>0，所以fx>f0=0，当x≤−π时，因为ex所以fx=e当−π<x<0时，记nx=e因为当x趋近于0时，n'x趋近于0，所以当x=−π时，ex−x−1>−sinx，当作出函数nx和y=−由图可知，当−π<x<0时，两个函数图象有一个交点，即fx易知x=0是fx综上，函数fx18．【答案】（1）解：联立x2a2+y可得Δ=64化简可得a2又因为点P2,1在椭圆上，因此4a2+1b2故椭圆C的方程为x2（2）解：设直线MN的方程为x−2m+y−1n=1，

设点M由x28+y24则x−2=故42n+1由kPM即4m+142n+1=−1则直线MN的方程为−x−2当x=65时，因此直线MN过定点65【解析】【分析】（1）联立直线与椭圆的方程，利用直线与椭圆相切的位置关系判断方法，则Δ=0，从而得出a，b的方程，再结合点在椭圆上和代入法，则得出a，b的另一个方程，解关于a，b的方程组，从而得出a，b的值，进而得出椭圆C（2）利用齐次化方程的思想，设出直线MN的方程，结合椭圆的标准方程，从而转化为关于斜率的一元二次方程，再结合直线的