海南省儋州市思源高级中学2024-2025学年高一下学期第一次（3月）月考 数学试题（含解析）

2025年春季学期高一年级第一次月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列命题中，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】根据向量是具有大小和方向的量以及零向量的含义，一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误；对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确；对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，即，不能得出，C错误；对于D，若，则，D错误，故选：B2.已知，求的最小值（）A.7 B.4 C.-7 D.8【答案】A【解析】【分析】由当时，，再利用不等式“一正，二定，三相等”即可得到结果.【详解】因为当时，，所以故最小值为7，当且仅当，即时，取等号.故选：A3.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和同角三角函数关系可得.【详解】因为，所以，由平方关系可得，所以.故选：B4.已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角（）A.1 B.2 C.60° D.120°【答案】B【解析】【分析】由扇形的面积公式，结合二次函数最值即可求解；【详解】设半径，，所以，则扇形面积为，当且仅当时取等号，此时，圆心角（弧度），故选：B．5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在等式两边平方，求出的值，再利用切化弦可求得的值.【详解】等式两边平方可得，可得，所以.故选：B.6.已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根据投影向量的定义列方程求结果.【详解】依题意，，所以.故选：B7.已知平面向量满足，且，则（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示列式计算即可.【详解】由，得，则，由，得，因此，所以.故选：A8.已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得.【详解】将不等式变形可得，因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于，所以，即的取值范围为.故选：D二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分.）9.下列各式的值为的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用同角三角函数的基本关系以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角的余弦公式可求解D；【详解】对于A：因为，所以原式，A不符合；对于B：原式，B符合；对于C：原式，C符合；对于D：原式，D符合.故选：BCD.10.对于函数给出下列四个结论，其中正确的是（）A.函数的图象关于原点对称B.函数的定义域为C.函数在上最大值为D.函数的最小正周期为【答案】BC【解析】【分析】对A，求出函数的对称中心判断；对B，求出函数的定义域判断；对C，根据正切函数的单调性求出函数值域判断；对D，利用周期公式求出周期判断.详解】对于A，由，令，得，所以的对称中心为，故A错误；对于B，由题得，即，所以函数的定义域为，故B正确；对于C，当时，，所以，所以函数在上的最大值为，故C正确；对于D，函数的最小正周期为，故D错误.故选：BC.11.已知平面向量满足，则下列结论正确的是（）A. B.与的夹角为C. D.的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】由模长的计算可得A错误、C正确；由夹角的计算可得B正确；设，由模长的计算和可得D正确；【详解】选项A：由得，又，所以，所以A错误；选项B：设与的夹角为，则，因为，所以，所以B正确；选项C：，所以，所以C正确；选项D：设，则，所以，因为，所以，因为，所以，所以当且仅当与反向共线时，取得最大值，且最大值为，所以D正确．故选：BCD三、填空题（本题共3小题，每题5分，共10分.）12.把函数的图象向左平移个单位，得到的函数是______．【答案】【解析】【分析】根据函数图象平移变换即可求解．【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到的函数是．故答案为:.13.已知中，D为的中点，，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用向量线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可得结果.【详解】因为,所以,故;故答案为：.14.在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则_______.【答案】12【解析】【分析】运用向量数量积的运算，结合向量三角形法则直接计算即可.【详解】在中，因为D是边BC的中点，所以，又，所以，所以.又因为，所以，所以.故答案为：12.四、解答题（本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.）15.已知，且向量与的夹角为，求.【答案】【解析】【分析】直接由数量积的运算律以及数量积公式运算即可.【详解】.16.已知，，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）3；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由余弦二倍角公式及同角三角函数的商数关系，化简得，将代入即可求值；（2）根据同角三角函数关系，可求得，，结合余弦两角差公式，可得结果；（3）通过凑角，可得，结合同角三角函数关系及两角和差公式，可求得结果.【小问1详解】因为，又，所以；【小问2详解】因为，，所以，，所以；【小问3详解】因为，，所以，又，所以，又，所以.17.已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值．【答案】（1），（2）的最小值为，此时；的最大值为，此时【解析】【分析】（1）由题意，利用简单的三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的周期性得出结论；（2）由题意，根据正弦型函数的定义域和值域求得函数在区间上的最值及相应的的值.【小问1详解】故；由令则故函数的单调递增区间为；【小问2详解】当时，，则，即，即在区间上的最小值和最大值分别为0，3，即时，即时有最小值0，当，即时有最大值3．18.已知，，其中，是夹角为的单位向量．（1）当，求与夹角的余弦值；（2）若与共线，求的值；（3）若与夹角为钝角，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）且.【解析】【分析】（1）先求出的数量积，将，分别平方可求得与的模，再求出与的数量积，利用平面向量夹角余弦公式可得结果；（2）根据向量共线的性质即可列式求解；（3）根据向量夹角为钝角得出数量积为负且两向量不共线即可计算求解.【小问1详解】是夹角为的单位向量，，，，，向量与夹角的余弦值为.【小问2详解】因为与共线，所以设，即，又不共线，所以，所以.【小问3详解】∵与夹角为钝角，，解得由（2）知，当时，与共线且方向相反，不符合题意，舍去.综上，的取值范围是且.19.已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求的解析；（2）要得到的图象，需要将的图象作怎样的变换？（详细写出每步变换）（3）对于（2）中的函数，若对任意、，有，求实数的最小值．【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用图象可以看出振幅和周期，代入最高点可求出，从而可求三角函数解析式；（2）利用平移变换，伸缩变换可分四步得到；（3）利用在区间内的最值可得参数的范围，从而可