2024年高考数学一轮复习专题2.7二次函数及幂函数练习含解析

PAGEPAGE1二次函数与幂函数【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x3y＝x2y＝xy＝y＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)对称【修炼套路】【修炼套路】为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一幂函数概念及性质【例1】已知幂函数(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．【答案】1【解析】由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．【套路总结】【套路总结】1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2.在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．3.在比较幂值的大小时，必需结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，精确驾驭各个幂函数的图象和性质是解题的关键．4.幂函数的定义及其推断，其中熟记推断一个函数是否为幂函数的依据是看该函数是否为y=xα(α【举一反三】1．已知函数f(x)=(m2-m-1)xA．-1 B．2 C．3 D．2或-1【答案】A【解析】∵函数f(x)=(m∴m2-m-1=1，解得：m=2m=2时，f(x)=x，其图象与两坐标轴有交点不合题意，m=-1时，f(x)=1x4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m=-12．已知函数f（x）=3m2-2mxm是幂函数，若A．-13 B．-1 C．1 D．【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）xm是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13又f（x）为增函数，则m=1满意条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(x)=xα的图像过点A．f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，2），∴2=2α，解得α=12，故f（x故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈-1，1，12，3，则使函数y=xα的定义域为RA．-1，1，3 B．12，1 C．-1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满意定义域为R；当α＝1时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满意当α=12函数的定义域为{x|x当α＝3时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满意要求；故选：D考向二图像问题【例2】（1）当α∈{-1,12,1,3}时，幂函数y=A．其次象限B．第三象限C．第三、四象限D．其次、四象限（2）在同始终角坐标系中，函数f（x）＝xa（x≥0），g（x）＝logA．B．C．D．【答案】（1）D（2）D【解析】（1）因为y=x-1经过第一、三象限；y=x12经过第一象限；y=x1（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝xa（x＞0）是上增函数，故解除A；∴当a＞1时，在同始终角坐标系中，函数f（x）＝xa（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝logax的是增函数，视察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同始终角坐标系中，函数f（x）＝xa（x＞0）是增函数，g（x）＝logax是减函数，由此解除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=xA．①B．②C．③D．④【答案】D【解析】幂函数y=x122．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①y=x13，②y=xB．①y=x3，②y=x2C．①y=x2，②y=x3D．①y=x13，②y=x【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故解除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故解除Ａ故选：Ｂ．3．在同始终角坐标系中，函数f(x)=xa(x≥0)A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满意要求；对于B项，幂函数a>1，对数函数0<a<1，所以B项不满意要求；对于C项，幂函数要求0<a<1，而对数函数要求，a>1，所以C项不满意要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<a<1，所以D项满意要求；故选D.4．如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则()A．－1<n<0,0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，y=xm在0,+∞上是增函数，y=xn在又当x>1时，y=xm的图象在y=x的下方，y=xn的图象在从而0<m<1,n<-1，故选B.考向三比较大小【例3】设a=(35A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a【答案】A【解析】对于函数y=(25)x，在(0,+∞)对于函数y=x25，在(0,+∞)上是增函数，∵35【举一反三】1.已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上，设a=f(mA．a<c<b B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【答案】A【解析】由f(x)=(m-2)xn为幂函数得因为点(3,9)在幂函数f(x)上，所以3n因为a=fm- 132．设a=20.3，b=30.2，c=70.1，则A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．c<b<a【答案】B【解析】由题意得：a=20.3=10y=10x在0,+∞上是增函数且9>8>7∴b>a>c3.．已知a=(2)125A．a<b<cB．c<b<aC．b<a<cD．a<c<b【答案】A【解析】a=265=6415，b=345=811考向四二次函数解析式【例4】(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满意f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.(3)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.【答案】（1）f(x)＝x2－2x＋3（2）x2＋2x（3）x2＋2x＋1【解析】（1）由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴eq\f(b,2)＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由eq\f(4a×0－4a2,4a)＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.（3）设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.【套路总结】【套路总结】求二次函数解析式的方法【举一反三】1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对随意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.【答案】x2－4x＋3【解析】因为f(2－x)＝f(2＋x)对随意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.2.已知二次函数f(x)满意f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7.【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.3.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对随意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝x2－4x＋3.【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.4.已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值；(2)若f(x)满意f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(5,7)))【解析】(1)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个根．由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2b，,x1x2＝c，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2b＝0，,c＝－1.))所以b＝0，c＝－1.(2)由题，知f(1)＝1＋2b＋c＝0，所以c＝－1－2b.记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c＝x2＋(2b＋1)x－b－1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－3＝5－7b>0，,g－2＝1－5b<0，,g0＝－1－b<0，,g1＝b＋1>0))⇒eq\f(1,5)<b<eq\f(5,7)，即实数b的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(5,7))).考向五二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．（2）函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________（3）已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．【答案】（1）[0,2]（2）[－3,0]（3）eq\f(3,8)或－3【解析】（1）二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，又由－eq\f(－2a,2a)＝1得图象的对称轴是直线x＝1，所以a>0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.（2）当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满意题意．当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝eq\f(3－a,2a)，由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0]．（3）f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为eq\f(3,8)或－3.【套路总结】【套路总结】二次函数在闭区间上的最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，依据函数的单调性及分类探讨的思想即可完成．（3）要留意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)【举一反三】1．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0,1]有最大值2，则a＝________.【答案】2或－1【解析】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，其图象的对称轴方程为x＝a.当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1；当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝eq\f(1±\r(5),2)(舍去)；当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.2．已知函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上为增函数，那么f(2)的取值范围是______．【答案】[7，＋∞)【解析】函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x＝eq\f(a－1,2)或与直线x＝eq\f(1,2)重合或位于直线x＝eq\f(1,2)的左侧，即应有eq\f(a－1,2)≤eq\f(1,2)，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.3．若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．【答案】[－2,0]【解析】当0≤x<1时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，则eq\f(m,2)≤0，即m≤0；当x≥1时，φ(x)＝x2＋mx－m，此时φ(x)单调递增，则－eq\f(m,2)≤1，即m≥－2.综上，实数m的取值范围是[－2,0]．考向六二次函数恒成立【例6】(1)已知二次函数f(x)满意f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围为____________．（(2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．【答案】（1）(－∞，－1)（2）2【解析】（1）设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，又f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(5,4)－m，x∈[－1,1]，g(x)在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，所以m<－1.（2）令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以eq\f(1,a)≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，明显g(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以1<a≤2，所以a的最大值为2.【套路总结】【套路总结】1.二次不等式恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路；一是分别参数；二是不分别参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分别．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.2.解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．1.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．【答案】【解析】(1)由题意得f(－1)＝a－b＋1＝0，a≠0，且－eq\f(b,2a)＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．解法二：f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1－k>0在区间[－3，－1]上恒成立，设g(x)＝x2＋x＋1－k，则g(x)在[－3，－1]上单调递减，∴g(－1)>0，得k<1.2.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满意1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【解析】由题意得a>eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)对1<x<4恒成立，又eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，eq\f(1,4)<eq\f(1,x)<1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－\f(2,x2)))max＝eq\f(1,2)，∴a>eq\f(1,2).3.已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于随意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))【解析】因为函数图象开口向上，所以依据题意只需满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝m2＋m2－1<0，,fm＋1＝m＋12＋mm＋1－1<0，))解得－eq\f(\r(2),2)<m<0.考向七二次函数根的分布【例7】一元二次方程的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】记，由已知得，解得．【套路总结】【套路总结】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑．【举一反三】1.已知关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，方程为，解得，符合；当时，记，其中．当时，，所以题目条件等价于函数在区间内有零点．当时有函数对称轴，若，即，此时的零点为，不符合．因为，，即，所以可知对称轴，画图可知此时在区间内无零点．当时有函数对称轴，此时恒成立．因为，所以有，解得．所以此时．综上可得，．2.若方程的两实根分别为，且，则的取值范围是．【答案】【解析】因为关于的方程的两个根为，且

则满意，这样可以解得的范围．3.已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为）：，而，所以直线过C取最大值，过B点取最小值，的取值范围是，选A．4.已知函数，存在，使得，则的取值范围是__________．【答案】【解析】依据题意，，由图象可知，，，，故答案为．【运用套路】【运用套路】纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1．已知函数f(x)=(m-1)2xm2A．0或4B．0或2C．0D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=xa（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．fC．f(x)的图象肯定经过点(1,1【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=xa的定义域与a有关，不肯定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=xa的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=xa的图象肯定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象，已知α∈{-4,-1A．-4，-14，14，4【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线C1,C2,4．函数y=2A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x2（x∈R）是偶函数，图象关于y轴对称，故解除B、D．再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故解除C，从而得到应选A，故选：A．5．已知函数g（x）=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1B．12【答案】B【解析】∵y=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象过定点M，∴M（4，2），∵点M（4，2）也在幂函数f（x）=xα的图象上，∴f（4）=4α=2，解得α=126．已知幂函数y=xn在第一象限内的图象如图所示，则曲线C1、C2、C3、C4的n值可能依次为A．–2，–12，12，2B．2，12，–12，–2C．–12，–2，2，【答案】B【解析】由图象可知：C1的指数n>1，C2的指数0<n<1，C3，C4的指数小于0，且C3的指数大于C4的指数．据此可得，只有B选项符合题意．故选B．7．幂函数y=xn是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n的值可以是A．3B．1C．0D．–1【答案】D【解析】依据幂函数的性质推断出幂函数y=xn是奇函数时，指数n为奇数；幂函数y=xn的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数8．在函数y=1A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】明显，依据幂函数定义可知，只有y=19．已知函数y=xa,y=A．c<b<aB．a<b<cC．c<a<bD．a<c<b【答案】A【解析】由图像可知，a>1,b=12,0<c<10．当α∈{-1,12,3}时，幂函数y=A．其次象限B．第三象限C．第四象限D．其次、四象限【答案】D【解析】y=x-1的图象经过第一、三象限，y=x1211．已知正实数a,b,c满意loga2=2，log3b=1A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．b<a<c【答案】B【解析】由题得a因为8<172<9,12．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，2），则函数f（x）为（）A．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B．偶函数且在(0,+∞)上单调递减C．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增 D．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，2），∴2a=2，解得a=12，

∴函数f（x）=x13．已知函数y=xA．2或3B．3C．2D．1【答案】A【解析】幂函数y=xm2-5m+4为偶函数，且在0,+∞递减，∴由m2-5m+4<0得1<m<4，又由题设m是整数，故验证知m=2或者3时，都能保证m2-5m+4是偶数，故14．已知函数fx为偶函数，当x>0时，fA．ftan70C．f1.4>f【答案】A【解析】当x>0时，fx=x-1.5又函数fx为偶函数，所以f-1.5=f依据二次函数的对称性以及单调性，所以ftan15．已知函数fx=x2+mx+1在区间-∞,-1A．-2,2 B．(-∞,-2] C．2,+∞ D．R【答案】A【解析】由题意，函数fx=x要使得函数fx在区间-∞,-1上是减函数,在区间1,+∞则-1≤-m2≤116．幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1【答案】2【解析】由函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1是幂函数，则m当m=0时，f(x)=x-1，在当m=2时，f(x)=x3，在(0,+∞)上为增函数，满意题意．故答案为：17.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数，且f(x)【答案】2【解析】∵幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在区间（0，+∞）上单调递增，∴m2-m-1=1m＞018．已知幂函数f(x)=(k2-2k-7)xk-1【答案】-2【解析】因为函数f(x)=(k2-2k-7)xk-1解得k=-2或k=4，当k=-2时，f(x)=x-3，满意在当k=4时，f(x)=x3，在(0,+∞)上是增函数，所以k=-2，故答案是：19．若f(x)=(m-1)2xm是幂函数且在【答案】2【解析】f(x)=(m-1)2xm为幂函数，所以当m=0时，fx=x当m=2时，f(x)=x2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：20．已知幂函数f（x）=（m3–m+1）x121-8m-m2的图象与（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．【答案】（1）f（x）=x–4；（2）{x|x<12，x【解析】（1）因为f（x）是幂函数，所以m3–m+1=1，解得m∈{0，±1}，又f（x）的图象与x轴和y轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f（x）=x–4；（2）f（x）=x–4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f（x+1）>f（x–2）成立，只需|x+1|<|x–2|，解得x<12又f（x）的定义域为{x|x≠0}，所以不等式的解集为{x|x<1221．已知幂函数y=f（x）=x-2m2-m+3，其中①定区间（0，+∞）的增函数；②对随意的x∈R，都有f（–x）+f（x）=0；求同时满意①、②两个条件的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时，f（x）的值域．【答案】fx=x【解析】∵幂函数y=f（x）=x-2∴–2m2–m+3>0，即2m2+m–3<0，解得m∈（-3又∵m∈Z，∴m=–1或m=0，当m=–1时，y=f（x）=x2为偶函数，不满意f（–x）+f（x）=0；当m=0时，y=f（x）=x3为奇函数，满意f（–x）+f（x）=0．∴同时满意①、②两个条件的幂函数f（x）=x3，当x∈[0，3]时，f（x）∈[0，27]，即函数f（x）的值域为[0，27]．22．已知函数f(x)=(a（1）若函数g(x)=loga(x+1)+loga（2）在（1）的条件下，若x∈[13,2]，不等式g(x)-m+3≤0【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知a2-2a-2=1a>0且a≠1，解得a=3因为g(x)=loga(x+1)+loga(3-x)，所以故g(x)的定义域为x|-1<x<3．由于g(x)=log令u(x)=-x则由对称轴x=1可知，u(x)在(-1,1)上单调递增，在因为y=log3u所以函数g(x)的单调递增区间为(-1,1)，单调递减区间为（2）因为不等式g(x)-m+3≤0的解集非空，所以m-3≥g(x)由（1）知，当x∈[13,2]时，函数g(x)的单调