安徽省部分地市2025届高三2月适应性考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1安徽省部分地市2025届高三2月适应性考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（

）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】设，由，则，整理可得，可得，解得，则，所以.故选：D2.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【答案】B【解析】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.故选：B3.已知集合，则集合A的子集个数为（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】由，得或，解得或空集，又，所以，则集合A的子集个数为.故选：C4.已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切，过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点.所以满足条件的直线有3条，故选：C.5.记双曲余弦函数为，则函数的最小值为（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】，令，则，所以，所以的最小值为0，故选：A.6.已知是等比数列的前n项和，则“依次成等差数列”是“依次成等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由依次成等差数列可得，即，因，可得，解得或.当时，，不满足，故充分性不成立；由依次成等差数列，可得，显然，故有，因，且，化简得：，解得或，当时，，即依次成等差数列；当时，，而，故得，即依次成等差数列.故必要性成立.综上可得，“依次成等差数列”是“依次成等差数列”的必要不充分条件.故选：B.7.已知一条直线与椭圆交于两点，与圆交于两点，则的最小值为（）A. B. C.3 D.5【答案】C【解析】如图所示：取的中点为，则，设圆半径为，则，设点，圆心，所以，，时，，所以的最小值为3.故选：C8.两个项数均为的数列和，称它们对应项差的绝对值之和为数列与的“距离”.设是项数均为4且每项为0或1的个数列，它们中任意两个数列的“距离”不小于2，则的最大值为（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】因为数列每项为0或1，前三项至多有种组合，若，则中必有两个数列前三项相同，不妨设该二者为，则当第四项也相同时，它俩的“距离”为0；当第四项相异时，它俩的“距离”为1，都不满足题意，故不成立.当时，可构造，，，，，，，满足题意；还可构造，，，，，，，满足题意（构造不唯一），故的最大值为8．故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（）A. B.C. D.向量与向量垂直【答案】ACD【解析】对于A，，所以A正确；对于B，，所以B错误；对于C，，所以C正确；对于D，，这样向量与垂直，所以D正确.故选：ACD.10.已知函数的定义域为，，且不恒为，则（）A.B.C.是奇函数D.（为的导函数）【答案】ABD【解析】对于A，令，，又因为不恒为，则，所以A正确；对于B，令，可得，因此，所以B正确；对于C，令，可得，所以；又因为函数的定义域为，所以是偶函数，又不恒为0，这样不可能是奇函数，故C错误；对于D，由B的推导过程知，两边求导得所以，故D正确.故选：ABD11.已知空间四边形ABCD，下列条件中一定能推出的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，举反例：将一矩形ABCD沿对角线BD翻折，在翻折过程中，始终满足，但不一定成立，所以A错误；对于B，取中点，连，因为，所以，且平面，平面，平面，进而，故B正确；对于C，过A作平面，垂足为，连，，又，平面，所以平面，平面，进而；同理可证：，所以为△的垂心，这样，又，所以平面，平面，可得：，故C正确；对于D，由条件知，则∴，，∴，即，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式中，含项的系数为________.【答案】270【解析】二项式的展开式通项为，当时，得，即，故含项的系数为270.故答案为：27013已知，则________.【答案】【解析】因为，即，所以.故答案为：14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.现抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在次抛掷中，记成功次数为，为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内，估计抛掷的次数的最小值为________.【答案】400【解析】由题意知：成功次数，所以，，要使，则，即：，由切比雪夫不等式知：至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内，则，所以抛掷的次数的最小值为400.故答案为：400.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）若中线的长为，求面积的最大值.解：（1）因为，由正弦定理得，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以；（2）因为为中线，所以，所以，所以，即（当且仅当时等号成立），所以（当且仅当时等号成立），经检验：当时，符合题意；即的最大值为.16.某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下：会员序号12345678910总和锻炼时长（小时）342564534440体重减少量（千克）1.01.51.02.02.51.82.01.01.62.016.4并计算得：（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明；（2）求经验回归方程（结果精确到0.01）；（3）该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释.(参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.参考值：)解：（1）由表可知：所以=,因为与的相关系数接近1,所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.（2）由题可知：=，所以（3）由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近，因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值；造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少，或者造成体重减少的原因还受其他因素影响，比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形且.（1）若平面，，求二面角的正弦值；（2）若平面平面，求四棱锥体积的最大值.解：（1）以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题可知：则设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，所以设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，所以设二面角的平面角为，则所以，即二面角的正弦值为（2）过点作直线，过点作交于点，过点作交于点，连接，过点作于点因为四边形为矩形，所以，即有又因为，分别在平面、平面内，所以即为二面角的平面角又因为平面平面，所以又因为且，都在平面内，所以平面，又在平面内，所以，所以，所以又因为，所以又因为，又都在平面内，所以平面在直角三角形，得：又因为（当且仅当等号成立）所以18.已知双曲线：的左、右焦点分别为，点是上不与顶点重合的一动点，直线、分别交于另一点、.（1）设，①当时，求直线斜率的取值范围；②求证：；（2）为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由.解：（1）①直线交双曲线于左右支上，因为双曲线：的渐近线的斜率为，所以直线斜率的取值范围为.②设，，由双曲线方程知：，，又两式相减得：∴由同理，又两式相减得：∴.可得：，所以.（2）由（1）②知：且可得同理又因为且可得所以直线的斜率又直线的斜率，所以为定值.19.已知函数.（1）求函数的单调区间与极值；（2）若数列满足，记为数列的前项和.求证：①当时，；②当时，.解：（1）函数的定义域为，求导得，由，得；