矩阵理论 课件 第6章第1节矩阵的三角分解

MATRIXTHEORY矩阵理论山东科技大学张子叶矩阵分解第六章

矩阵分解是矩阵理论中非常重要的内容，在理论分析、计算和应用等方面有着广泛的应用．所谓矩阵分解，就是把一个矩阵写成几个矩阵的乘积的形式．本章首先由Gauss消去法推导出矩阵的三角分解（LU分解）．然后介绍QR分解、满秩分解、奇异值分解．这些分解在数值代数理论和最优化问题的解法中起着非常关键的作用，而且在控制理论和系统分析等领域也有广泛得应用．因此研究矩阵分解是非常有必要的．目录矩阵的三角分解矩阵的满秩分解矩阵的QR分解矩阵的奇异值分解矩阵的三角分解6.1设有元线性方程组

(6-1)写成矩阵形式

其中

矩阵的三角分解Gauss消去法的矩阵表述

Gauss消去法的矩阵形式：求解矩阵方程Ax=b可采用Gauss主元素消去法。其基本思想是化系数矩阵A为上三角矩阵，或化增广矩阵[A|b]为上阶梯形矩阵。矩阵的三角分解步骤1：设其元素记的1阶顺序主子式为令将第1行乘以加到第行，如此进行则可将第1列下方的元素都化为零．为了用矩阵描述此Gauss消去法的过程，构造消元矩阵计算可得

则

矩阵的三角分解步骤2：由所以由得的二阶顺序主子式若令同样构造消元矩阵计算可得

，则

矩阵的三角分解如此一直进行下去，直到第步，当构造消元矩阵计算可得

矩阵的三角分解由上可知：对矩阵的Gauss消去程序能够进行到最后一行的充要条件是

均不为零，也即的前个顺序主子式（6-2）当条件（6-2）式满足时，有即令则是一个对角元素均为1的下三角矩阵，称为单位下三角矩阵．再令则三角分解为

矩阵的三角分解是不唯一．这是因为若是的一个三角分解，令是对角线元素都不为零的对角阵，则

由于上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵，即也分别是下三角矩阵和上三角矩阵，因此也是一个三角分解．矩阵的三角分解矩阵的三角分解

定义6.1设矩阵（1）如果可以分解成一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积，即称可以三角分解或LU分解．（2）如果可以写成的形式，其中是单位下三角矩阵，是对角阵，是单位上三角矩阵，则称可以进行LDU分解．定理6.2设且如果的前阶顺序主子式都不为零，即则可以分解为．矩阵的三角分解定理6.1设则可唯一分解为的充分必要条件是的前个顺序主子式皆不为零，即其中是单位下三角矩阵，是单位上三角矩阵，是对角阵，且注在定理6.2中是有三角分解的充分条件，但非必要条件．例如有三角分解，但是证：充分性显然，因为，有，即三角分解．必要性已知,因为非奇异，所以下三角矩阵及上三角矩阵都非奇异,从而对任意都有其中分别是的左上角阶子方阵，并且和分别是下三角矩阵和上三角矩阵．由分块乘法得到

因而推得矩阵的三角分解推论6.1阶非奇异矩阵有三角分解，即的充分必要条件为的前个顺序主子式皆不为零，即

解因为所以有唯一的LDU分解．下面利用Gauss消元过程的计算步骤得到的LDU分解．构造消元矩阵

则

矩阵的三角分解

例6．1求矩阵的LDU分解对构造消元矩阵：矩阵的三角分解令则于是的LDU分解为的LU分解为矩阵的三角分解则如果将线性方程组的系数矩阵分解成两个三角形矩阵和,即矩阵三角分解的应用

都是三角形方程组解易求得矩阵的分解为

则的方程组形式为矩阵的三角分解

例6.2设矩阵用三角分解求解线性方程组自上往下用回代法，可得

的具体形式为

自下往上用回代法，可得这样就求得线性方程组的解向量为

矩阵的三角分解定理6．3设阶矩阵非奇异，则存在置换矩阵使得的个顺序主子式均非零．证明如果则如果由非奇异知存在交换的第一行与第行，即有置换矩阵使的元素即如此继续下去，存在置换矩阵使