矩阵理论 课件 第4章第1节线性变换的特征值与特征向量

MATRIXTHEORY矩阵理论山东科技大学张子叶矩阵的Jordan标准型第4章

目录4.1线性变换的特征值与特征向量4.2矩阵

4.3不变因子与初等因子4.4数字矩阵的Jordan标准型4.5凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式线性变换的特征值与特征向量4.1线性变换的特征值与特征向量特征值与特征向量设为数域上维线性空间的线性变换,根据线性变换的矩阵表示可知,在一个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是基向量满足

定义4.1设为数域上维线性空间的线性变换,如果对于常数存在非零向量使得

则称常数为线性变换的特征值,为线性变换的属于特征值的特征向量.线性变换的特征值与特征向量例如,对于任意可微的实函数空间,定义变换容易验证为一线性变换.从而,为其特征值,为其相应的特征向量.从几何上来看,特征向量在线性变换的作用下保持方位不变(在同一直线上).由于线性变换较为抽象,因此直接利用定义来确定和是很困难的.为此,这里利用线性变换的矩阵表示将该问题转化为一个纯代数问题.取定数域上维线性空间的一个基设则

因此即

从而,由此引入如下定义.

线性变换的特征值与特征向量定义4.2设为数域上的阶方阵,其特征多项式为

这是一个关于的次多项式,其根为的特征值,相应地式(4.1)的非零解向量称为的属于的特征向量.由定义可知,若为的特征值,则为方程的一个根；反之,若为方程的根,则齐次线性方程组有非零解令则即为的一个特征值,满足的非零向量也称为的属于特征值的特征向量.线性变换的特征值与特征向量定理4.1设为数域上维线性空间的线性变换,在的基下的矩阵为则有以下结论.(1)矩阵的特征值就是线性变换的特征值.(2)若为矩阵的属于特征值的特征向量,则为的属于特征值的特征向量.证设则

因为所以根据定义4.1得证.由此可见,在维线性空间中,线性变换的特征值和特征向量可分别由其在某个基下的矩阵的特征值和特征向量导出.因为矩阵的特征值和特征向量总是存在的,所以在维线性空间中,线性变换的特征值和特征向量也总是存在的.但是,如果线性空间是无限维的,则结论未必成立.线性变换的特征值与特征向量例如,设为数域上一元多项式的全体构成的线性空间,容易验证为一线性变换.但是,不存在非零使得从而,线性变换没有特征值.根据定理4.1,有限维线性空间的线性变换的特征值和特征向量有类似矩阵的特征值和特征向量的性质,在此不再赘述.至于求解,可以从线性变换在给定基下的矩阵的角度来求解.注1

因为同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的,所以线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关,而直接由线性变换决定,故可称之为线性变换的特征多项式.注2

的特征多项式是一个首项系数为1的次多项式,其次多项式的系数为称为的迹；常数项为

线性变换的特征值与特征向量例4.1求上的微分变换的特征值和特征向量.解

取的一个基则在该基下的矩阵为

故线性变换的特征值为

线性变换的特征值与特征向量由解得关于的特征向量为

因此的特征向量为

线性变换的特征值与特征向量特征子空间下面从空间的角度讨论线性变换的特征向量的性质.定义4.3设为数域上维线性空间的线性变换,为的一个特征值,容易验证

是的一个子空间,称为线性变换的属于特征值的特征子空间,其维数称为的几何重数；作为特征多项式的根,其重数称为的代数重数.如果线性变换有个互异特征值那么它有个特征子空间特征子空间具有如下性质.定理4.2设是数域上维线性空间的线性变换的个互异特征值,是

的特征子空间,则有以下结论.(1)是的不变子空间.(2)当时,(3)若的代数重数为

,则

线性变换的特征值与特征向量证(1)根据的定义,故即是的不变子空间.(2)且因此且两式相减,可得因为所以即

(3)设线性变换的矩阵为则的特征多项式为

其中,

假设则可取的基为把它扩充为的基为则其中根据(1),是的不变子空间,且可得在基下的矩阵为线性变换的特征值与特征向量

其中,是阶单位矩阵；是作为上的线性变换在基下的变换矩阵.