概率与统计及分布列归类（理）-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题9-1概率与统计及分布列归类(理)

目录

讲商考....................................................................................1

题型全归纳...............................................................................6

【题型一】摸球与放球型...........................................................6

【题型二】超几何分布.............................................................8

【题型三】两点分布..............................................................12

【题型四】二项分布..............................................................14

【题型五】正态分布..............................................................18

【题型六】多线程分类讨论型......................................................23

【题型七】数列计算型分布列......................................................26

【题型八】机器人跳棋型..........................................................30

【题型九】求导计算最值型........................................................34

【题型十】多人比赛(传球)型....................................................37

【题型十一】实验方案型..........................................................40

专题训练........................................................................44

讲高考

1.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项

目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学

校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0,4,0.8,各项目的比赛结果

相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【答案】⑴0.6；(2)分布列见解析，E(X)=13.

【分析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为4B,C,再根据甲获得冠军则至少获

胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即

可求出期望.

【详解】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为48,C,所以甲学校获得冠军的概率

为

P=P[ABC)+P(ABC]+P[ABC)+P(ABC]

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0,5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以，

p(x=o)=0.5x0.4x0.8=0.16,

P(=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

=20)=0.5x0,6x0.8+0.5x0,4x0.2+0,5x0,6x0.2=0.34,

尸（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望£（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

1

2.（2022年新高考北京数学高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球

比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人

数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望£（X）；

（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

7

【答案】（1）0.4（2）当（3）丙

【分析】（1）由频率估计概率即可

（2）求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.

（3）计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计

值最大.

【详解】（1）由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,

故答案为0.4

（2）设甲获得优秀为事件小,乙获得优秀为事件加，丙获得优秀为事件出

---------3

P（X=0）=P（444）=°-6X0.5x0.5=——，

p(x=1)=尸(444)+尸(444)+尸(444)

Q

=0.4><0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

p(x=2)=P(444)+P(444)+P(l44)

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

2

尸(X=3)二尸(44,3)=0・4x0.5X0.5=—.

的分布列为

X0123

3872

P

20202020

38727

"X)=0x——+lx—+2x—+3x——=

202020205

（3）丙夺冠概率估计值最大.

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为《，甲获得9.80

4

的概率为占，乙获得9.78的概率为!.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越

106

多，对丙越有利.

3.（2022年新高考全国I卷数学真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居

民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调

查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）,

得到如下数据：

不够良好良好

2

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，4表示曼件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选到

的人患有该疾病”.瞿耳与鬻国的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的

P(B\A)P(B|A)

一项度量指标，记该指标为足

尸(41B)P(A|B)

(i)证明:

P(A15)P(A|B)

(ii)利用该调查数据，给出P(418),P(/1月)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估

计值.

附K2=______—____________

(a+Z))(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案见解析(2)(i)证明见解析；(ii)H=6；

【分析】(1)由所给数据结合公式求出犬2的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%

的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2Xi)根据定义结合条件概

率公式即可完成证明；(ii)根据(i)结合已知数据求R.

22

▼、小.上2200(40x90-60x10)„.

【详解】(1)由已知K2=------n-(-a-d--b--e)-------=------------------=24,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又尸(片26.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

尸(例/)P(B|A)_P(AB)P(4)P(画P(A)

(2)⑴因为及=

P(B|A)P(B|A)~P(A)'P(A豆)P(A)P(AB)

所以火:33必3

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

所以不•丹

(ii)

由已知尸⑷0=由,尸(/闵=此

_60--90P(A\B)P(A\B)_

又尸(川8)=前，尸(川3)=旃，所以7?=6

P(A|B)P(A|B)

4.(2021年全国新高考n卷数学试题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，

设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……,

该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖

下一代的个数，尸(X=z)=Pi(i=0,1,2,3).

(1)已知％=0.4,0]=0.3,02=。2,03=。』，求E(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：

Po+0X+P2X2+夕3苫3=x的一个最小正实根，求证：当£(x)41时，P=1,当E(X)>1时,

。<1;

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

【答案】(1)1；(2)见解析；(3)见解析.

3

【分析】（1）利用公式计算可得E（X）.

（2）利用导数讨论函数的单调性，结合/■⑴=0及极值点的范围可得/（x）的最小正零点.

（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.

【详解】（1）E（X）=0x0.4+lx0.3+2x0.2+3x0.1=l.

（2）设/（同=°3%3+P2尤2+（P1T）x+Po,

x3++x+

因为P3+P2+01+PO=1，/（^）=Pi+-（P2PoP3）Po＞

若£（X）41,则P[+2P2+3p3VI,故P2+2P3VP0.

/'（x）=3忙2+2p2x-（02+Po+03），

因为/''（。卜-5+外+小卜。，/'（I）=2+22-AVO,

故/'（x）有两个不同零点吃,马，且再＜0＜14/，

且xe（-oo,xju（x2，+oo）时，/f（x）＞0；xe（再,工2）时,/,（x）＜0；

故/（X）在（-00,玉），仁,+00）上为增函数，在（玉,x?）上为减函数，

若马=1,因为/（x）在（々,+8）为增函数且/■⑴=0,

而当xe（O,X2）时，因为/（x）在（占,%）上为减函数，故/（X）＞/（X2）=〃1）=O,

23

故1为Po+Pi》+p2x+p3x=x的一个最小正实根，

若尤2＞1,因为/⑴=0且在上为减函数，故1为PO+BX+PZX'+TV^M龙的一个最小

正实根，

综上，若£（X）41,则p=l.

若E（X）＞1,则P[+2P2+303＞1，故。2+2。3＞。0.

此时/''⑼=-（P2+PO+P3）＜O，/'⑴=02+223-00＞0,

故/'（X）有两个不同零点七,匕，且退＜0＜》4＜1，

且xe（Y,X3）U（X4，+oo）时，f'（x）＞0；》《%3户4）时，/'（x）＜0;

故/（X）在（-00户3），（匕，+°°）上为增函数，在（工3，匕）上为减函数，

而/⑴=0,故/（%）＜0,

又/⑼=。。＞0,故/'（无）在（O,xJ存在一个零点P,且。＜1.

所以P为P0+P1X+P2/+°3苫3=X的一个最小正实根，此时P＜1,

故当E（X）＞1时，p＜\.

（3）意义：每一•个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后

代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.

5.（2021年北京市高考数学试题）在核酸检测中,7合1”混采核酸检测是指：先将人个人

的样本混合在一起进行1次检测，如果这4个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，

得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这左个人中有人感染新冠病毒，则检测结果

为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；

（ii）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为1.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E（X）.

（H）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设丫是

检测的总次数，试判断数学期望E（F）与⑴中E（X）的大小.（结论不要求证明）

【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为*;（2）E（y）＞E（X）.

【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；

4

②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解;

（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出£位），即可得解.

【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要

10次；

所以总检测次数为20次；

②由题意，X可以取20,30,

产（X=20）=（,尸（X=30）=T=T，

则X的分布列:

X2030

110

P

n11

所以E（X）=20x：+30x《320

TT

（2）由题意，Y可以取25,30,

23

两名感染者在同一组的概率为4=等20C产C不在同一组的概率为£二9|5|

Cioo99

则£（/）=25*±+30*纪=”史＞£（幻.

V,999999V'

6.（2021年全国新高考I卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有N,8两类问题，

每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则

该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与

否，该同学比赛结束幺类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；2类问题中的

每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答/类问题的概率为0.8,能

正确回答3类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答/类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）B类.

【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）

与（1）类似，找出先回答8类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.

【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.

尸（X=0）=1—0.8=0.2；

尸（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列为

X020100

P0.20.320.48

（2）由（1）知，£（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答8问题，记丫为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100.

P（y=0）=l-0.6=0.4；

尸（¥=80）=0.60-0.8）=0.12；

P（X=100）=0.8x0,6=0.48.

所以E（Y）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

5

因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答5类问题.

题型全归纳

【题型一】摸球与放球型

【讲题型】

例题L在数学探究实验课上，小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多

种不同颜色的小球，一共有偶数个小球，现在从盒子中一次摸一个球，不放回.

(1)若盒子中有6个球，从中任意摸两次,摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为g.

①求红球的个数；

②从盒子中任意摸两次球,记摸出的红球个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

(2)已知盒子中有一半是红球，若“从盒子中任意摸两次球，至少有一个红球”的概率不大于巳，

求盒子中球的总个数的最小值.

【答案】(1)①红球的个数为3;②分布列见解析;数学期望为1(2)最小值为8

【分析】(1)设出红球的个数,根据古典概型的概率公式列出等式，即可解出红球的个数;根据红

球的个数写出X的所有可能取值,分别求出概率，列出分布列即可；

(2)设出球的个数，求出从盒子中任意摸两次球，都不是红球的概率，进而求得至少有一个红球

的概率，使其小于等于《，即可求得球的总个数范围，进而求出结果.

【详解】(1)①设红球的个数为""及),则摸出的两个球中恰好有一个红球的概率

解得〃=3,所以红球的个数为3;

②X的所有可能取值为0,1,2,

则尸(X=0嚏=1p(X=l)=|,P(X=2)瞪=：,

故随机变量X的分布列为

131

所以£(©=0、1+巴+2*=1；

(2)设球的总个数为2m，则红球的个数为加，

C2m(m-l)m2-m

则从盒子中任意摸两次球,都不是红球的概率:P=二=丁、-77=:2、

C2m4m-2m

4m2-2m4m2-2m48m-414

解得冽24,所以盒子中球的总个数的最小值为8.

例题2.为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满

500元的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字

“马”“上”“有”“钱”.顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个

球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球.获奖规则如下：依

次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，

为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖.

6

(1)求分别获得一、二、三等奖的概率；

(2)设摸球次数为九求4的分布列和数学期望

15Q175

【答案】⑴⑵分布列见解析，石⑷=77

2JO2JO6404

【分析】(1)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A,B,C,每次摸球相互独立,

每个球被摸到的概率为:，由事件的相互独立性性质求尸(4),先由排列方式计算事件B的

基本事件个数，再由古典概型求概率方式求尸(8),最后三等奖的情况有:“马，马，上，有”;

“马，上，上，有”；“马，上，有，有”三种情况，由相互独立性求概率即可；

(2)由相互独立性计算J的取值为1、2、3、4时的概率，并列出对应的分布列，进而由均

值计算公式求得均值.

【详解】(1)解；设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A,B,C.

A；-15

则PQ)=—X—X—X—=--------P®=

444425644256

三等奖的情况有：“马，马，上，有”；“马，上，上，有”；“马，上，有，有”三种情况,

所以尸(。)=—X—X—X—XA4

44444

(2)解：设摸球的次数为九则J的可能取值为1、2、3、4,

13133319

所以℃=1)=:，^=2)=-x-=-P^=3)=-x-x-=—,

4P4416f44464

27

P(^=4)=l-P(^=l)-P(^=2)-P(^=3)=—,

64

故取球次数J的分布列为

1234

j_3927

P

4166464

【讲技巧】

摸球与放球模型。要注意几点：

L是否放回。还是有条件的替换摸球

2.一次一个摸球，还是一次摸多个球

【练题型】

袋中有。个白球和。个黑球，从中任取一•球，若取出白球，则把它放回袋中；若取出黑球,

则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复〃次这样的操作后，记袋中白球的个数

为X".

⑴求X1的数学期望E(XJ；

⑵设尸=a+左)=0-求P(X“+i=a+A),斤=0,1,…,6.

a

Ax，左=0

【答案】⑴告a+b

⑵V

a+kb-k+\

Pkx+A-ix-,--k---=--1--,-2-,,,,,匕

a+ba+b

rih

【分析】(l)当〃=1时，袋中白球的个数可能为。或。+1,得概率为一'或上7,求期望

a+ba+b

即可；

7

（2）当左=0时，求出尸（工+|=。+0）,再分别计算第"次操作后袋中

有a+左个白球和第〃次操作后袋中有（。+左-1）个白球，求解计算即可.

【详解】（1）当〃=1时，袋中白球的个数可能为。（即取出的是白球），概率为一三

a+b

也可能为。+1（即取出的是黑球），概率为一二.

a+b

(八ba2+ab+b

故£(Xj=ax，一+(a+l)x------=---------------

l"a+ba+ba+b

（2）当上=0时，P（X同=a+0）=p°x--

a+b

当左=1,2,…,6时，第”+1次操作后袋中有a+左个白球的可能性有两种：

①第〃次操作后袋中有。+后个白球，显然每次取球后，球的总数保持不变,

即a+6个（此时黑球有6-左个），第〃+1次取出来的也是白球，

这种情况发生的概率为4x当小=1,2,…,6）；

②第"次操作后袋中有（。+左-1）个白球，第〃+1次取出来的是黑球，

由于球的总数保持不变，为a+6个，故此时黑球的个数为6-左+1,

A—"]

这种情况发生的概率为A-ix———（^=1,2L的），

a+b

故尸（X"+i=a+左+■（左=1,2,…,6）,

a+ba+b

a

P。x------,k=0

a+b

尸（X,+i=。+左）=，

a+kh—左+],.

Px------+A-ix-----12…/

综上所述,ka+ba+b

【题型二】超几何分布

【讲题型】

例题1.某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘察了部分几

口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由

于勘探一口井的费用很高，如果新设计井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料,

不必打这口新井，以节约勘探费用.勘探初期数据资料见如表：

井号I123456

坐标(x,y)(hn)(2,30)(4,40)(5,60)(6,50)(8,70)(1J)

钻探深度（.）2456810

出油量（L）407011090160205

（1）1〜6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为j=6.5x+a,求。的值，

并估计>的预报值；

⑵现准备勘探新井7（1,25）,若通过1,3,5,7号井计算出务，嚷的值（令，一精确到0.01）

相比与（1）中的6,。值之差不超过10%,则使用位置最接近的已有旧井6（1/）,否则在

新位置打井，请判断可否使用旧井？

（3）设出油量与勘探深度的比值左不低于20的勘探井为优质井，那么在原有6口井中任意勘

探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望.

8

44

（参考公式和计算结果号号------，a=v-bx，S4-I=94,1XT%T=945）

2

2-/■=1i=l

>xz-nx

Z=1

案［（l）a=17.5；V的预报值为24；（2）使用位置最接近的已有旧井6（1,24）；（3）分布列见解

析；EX=g.

【分析】（1）计算I、五，求出回归系数。，写出回归直线方程，进而求得了的预报值；

（2）计算元、五，利用参考公式与计算结果求出回归系数否，£的值，由此求得相比于（1）

中的6,。值之差不超过10%,从而得出结论；

（3）根据题意判断得X服从超几何分布，从而求得对应的概率值，由此得到X的分布列与

数学期望.

——1

【详解】(1)依题意，由前5组数据得至IJ玉=[x(2+4+5+6+8)=5,

一1

凹=『(30+40+60+50+70)=50,

因为y=6.5x+a,所以。=50-6.5x5=17.5,故回归直线方程为=6.5x+17.5，

当x=l时，3=6.5+17.5=24,所以了的预报值为24.

一1一14

(2)因为无2=—x(2+5+8+l)=4,=-X(30+60+70+25)=46.25,因为£名.1=94,

44i=i

4

IX-MT=945,

4___

g、比945-4x4x46.25

所以6=^----------——=-9"4x不^6.83,故。=46.25—6.83x4=18.93，

-4工2

1=1

।/v人6.83—6.518.93—17.5,,

贝n1U=6.83，。=18.93，6=6.5，a=17.5,所以———-5n%/,—————-8on%/,均不超

6.517.5

过10%,

所以使用位置最接近的已有旧井6(1,24).

(3)由题意得，1,3,5,6这4□井是优质井，2,4这两口井是非优质井，

所以勘察优质井数X的可能取值为2,3,4,且X服从超几何分布，即「（入=无）=笔^

尸

例题2.2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通.北

斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地

球同步轨道卫星，共30颗卫星组成.北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米,

实测的导航定位精度都是2〜3米，全球服务可用性99%,亚太地区性能更优.

（I）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度X近似满足

9

X〜N［：，：］，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在［1，3］的概率；

(II)(i)某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗

卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为Y,求丫的分布列和数学期望；

(ii)某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分

析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为“求J的数学期望.

附：若X〜N仇〃)，贝［］尸(〃-＜74》＜〃+＜7)20.6827,尸(〃一2crVXV〃+2cr)20.9545,

尸(〃-3crWXW〃+3b)*0.9973.

2

【答案】(I)0.84；(II)(i)分布列见解析，j；(ii)4.

【分析】(I)根据“3b”原则及图形的对称性即可求解；

(II)(।)由题可知Y服从超几何分布，利用公式即可求解；(ii)由题可知《服从二项分

布，利用公式即可求解.

【详解】(I)由易知〃=|,b=g

09973-06827

.•.P(lWXV3)=P(〃-3bVXV〃+b)。0.6827+-------———=0.6827+0.1573=0.84,

则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在［1,3］的概率为0.84.

(II)(।)由题意知丫〜〃(4,3,30),P(y=i)=£*(i=0,l,2,3),的分布列为

。30

Y0123

13065391

P

20320310151015

we翳】嘿+2392

+3xw?

W155

(ii)5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率—为2三4二g4

所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目4〜

4

E^^=np=5x—=4.

【讲技巧】

超几何分布：

若在一次实验中事件发生的概率为0(0＜夕＜1),则在〃次独立重复实验中，在第左次

首次发生的概率为M4)=(1—,k=l,2,...,Er-O

(4)超几何分布：总数为N的两类物品，其中一类为M件，从N中取〃件恰含M中

的加件,m=0,l,2...,k,其中。为M与”的较小者,称4

服从参数为N,/,〃的超几何分布，记作J-H(N,M,n)，此时有公式4=歹。

10

【练题型】

某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目

采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生

的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、

35%、35%、13%和2%,并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考

试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.

（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分丫服从正态分布阳75.8,36）.若丫〜NT，/）,令

〃=与幺，贝【JN（0,l）,请解决下歹问题：

①若以此次高一学生生物学科原始分。等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划

线分大约为多少分？（结果保留为整数）

②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独

立，记4为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求尸修=心取得最大值时左的值.

附：若〃〜N（0,l）,贝IJ/（7^0.8）^0.788,1.04）»0.85.

3

【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为：；（2）①69分；②左=631.

【分析】（1）写出随机变量X的所有可能的取值，根据超几何分布求出X的每个值对应的

概率，列出分布列，求出数学期望；

（2）①设该划线分为机，由丫〜可（75.8,36）求出〃。.由〃=3,得丫=6〃+75.8.由题意

（J

卜0.85,又尸（怅1.04）。0.85，〃〜N（0,l）,故尸（〃2-1.04卜0.85,故七冬白-1.04,即可

6

二夕，根据独立重复实验的概率计算公式，求出

求出机；②由题意

尸（4=左）2尸（。=左+1）

P（J=左）,P（J=左_1）,尸传=左+1）,代入不等式组，即求上的值.

【详解】（1）随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.

由题意可得：P（X=O）=丰■二也二工，p（x=i）=*■=毁=2

3v

中心心Jf\C,012012C；o12012

P(X=2)=竽=50_5_10_1

二询=0'尸("=3)=可=西=0

^10

随机变量X的分布列为

X0123

1551

P

12121212

数学期望E(X)=0X^+1X』+2X2+3XL=3

121212122

（2）①设该划线分为加,由）〜N设5.8,36）得"=75.8,b=6,

令〃=3加，则丫=6〃+75.8,

(J6

11

由题意，尸（y>机）20.85,即尸（6〃+75.8分机）=山》一；）81a0.85,

-：r]-N（0,Y）,尸仍W1.04）Q0.85,P（T?>-1.04）®0.85,

——^^2-1.04,.­.m=>69.56,取加=69.

6

②由①讨论及参考数据得

P（Y》71）=尸（6〃+75.8》71）=尸（栏-0.8）=尸（〃W0.8）«0.788,即每个学生生物统考成绩不低于

71分的事件概率约为0.788,〜8（800,0.788）,尸隽=后）」C*。0.788鼠1-0.788严修.

M

[P=上）2尸（J=a—1）][oO.788"l-0.788）8°°4>0.788（1-0.788）8°〜，

800A+1799

曰尸"=a+1'，即1c^00.788"（1-O.788）-'>0.788（1-0.788）^,

解得630.188WAT631.188,vAreN,."=631,

.•・当左=631时，尸优=左）取得最大值.

【题型三】两点分布

【讲题型】

例题L武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检

测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有

1000仅eN*）份血液样本，有以下两种检验方式：

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.

方案②：按上个人一组进行随机分组，把从每组上个人抽来的血混合在一起进行检验，如果

每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这左个人的血就只需检验一次（这时认为每个

人的血化验1次）；否则，若呈阳性，则需对这左个人的血样再分别进行一次化验这样，该

组上个人的血总共需要化验上+1次.假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为P,

且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组上个人中每个人的血化验次数为X,求X的分布列；

（2）设。=0」.试比较方案②中，左分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这

三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？（最后结果四舍五入保留整

数）

【答案】（1）分布列见解析；（2）左=2,总次数为690次；左=3,总次数为604次；k=4,

次数总为594次；减少406次

【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为4,可得4=1-。，再由相互独立事件的概

率求法可得k个人呈阴性反应的概率为q。呈阳性反应的概率为1-qk,随机变量X=",1+g

即可得出分布列.

（2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令上=2,3,4求出期望即可求解.

【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为则4=1

所以上个人的血混合后呈阴性反应的概率为呈阳性反应的概率为1-/,

1

依题意可知》=万/+?，所以的分布列为:X1+-

XIk

k

Pqk一

（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数

为:E（X）=；/+（1+））（1_/）=；_/+1

所以当上=2时，£（^）=1-0.92+1=0.69,

此时1000人需要化验的总次数为690次，

4=