沪科版2025年八年级数学下册 期中易错题压轴题专项复习（考试范围：第16~18章）【23大题型】

期中易错题压轴题专项复习【23大题型】（考试范围：第16~18章）【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【易错篇】 1【考点1二次根式】 1【考点2根据二次根式的性质化简】 2【考点3二次根式的乘除】 2【考点4二次根式的加减】 3【考点5一元二次方程】 3【考点6一元二次方程的解法】 3【考点7一元二次方程根的判别式】 4【考点8一元二次方程根与系数的关系】 5【考点9一元二次方程的应用】 5【考点10勾股定理与网格】 6【考点11利用勾股定理求值】 7【考点12赵爽弦图】 9【考点13勾股定理逆定理的应用】 11【考点14勾股定理的应用】 12【压轴篇】 13【考点15化简含字母的二次根式】 13【考点16求立体图形的最短路径问题】 13【考点17利用一元二次方程求最值】 14【考点18利用一元二次方程的解求参数取值范围】 16【考点19利用一元二次方程的解法解特殊方程】 16【考点20利用勾股定理构造图形解决问题】 17【考点21图形上与已知两点构成直角三角形的点】 19【考点22多结论问题】 20【考点23新定义问题】 21【易错篇】【考点1二次根式】【例1】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知n是正整数，28n是整数，则n的最小值是(

)A．0 B．2 C．3 D．7【变式1-1】（24-25八年级·广东河源·期中）若二次根式x−2024x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

A．x>2024 B．x≥2024 C．x<2024 D．x≤2024【变式1-2】（24-25八年级·浙江舟山·期中）当x＝－1时，二次根式6−3x的值为.【变式1-3】（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）已知y=2x−1+1−2x+2，那么xy=．【考点2根据二次根式的性质化简】【例2】（24-25八年级·北京顺义·期中）如果x−2x2−4=2−x【变式2-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期中）适合2a−32=6−2a的正整数aA．13 B．14 C．15 D．16【变式2-2】（24-25八年级·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+b【变式2-3】（24-25八年级·上海·期中）将x−6x【考点3二次根式的乘除】【例3】（24-25八年级·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值A+B+C+D=．AB5510C210D【变式3-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）计算3+22024【变式3-2】（24-25八年级·河北唐山·期中）二次根式12，12【变式3-3】（24-25八年级·江西吉安·期末）学习了a2=a小亮：解：原式=a+1−a=1；小芳：解：原式=a+1−a∵a>1，∴原式=a+a−1=2a−1，(1)________的解法是不正确的；(2)化简：ab−ba⋅ab【考点4二次根式的加减】【例4】（24-25八年级·江西萍乡·期末）若a=1003+997，b=1001+999，【变式4-1】（24-25八年级·河北唐山·期末）下列二次根式中，可与12进行合并的二次根式是（

）A．3 B．6 C．18 D．24【变式4-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）已知x=23−1，则代数式x【变式4-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）已知xy=2,x+y=4，则xy+y【考点5一元二次方程】【例5】（24-25八年级·河南新乡·期中）将一元二次方程4x2−1=5x化成一般形式后，常数项为−1A．4 B．−4 C．5 D．−5【变式5-1】（24-25八年级·宁夏银川·期中）已知方程m−3x|m−1|−bx−1=0是关于x的一元二次方程，则m【变式5-2】（24-25八年级·重庆荣昌·期中）若m是方程x2+x−1=0的一个根，则2024−2mA．2025 B．2024 C．2023 D．2022【变式5-3】（24-25八年级·江苏盐城·期中）写一个一元二次方程使它有一个解为1，另一个解为2，并且二次项的系数为1，这个方程是．【考点6一元二次方程的解法】【例6】（24-25八年级·河北唐山·期中）关于x的方程x(x−1)=3(x−1)，下列解法完全正确的是（

）甲乙丙丁两边同时除以(x−1)得到x=3．移项得：x(x−1)−3(x−1)=0，∴(x−1)(x−3)=0，∴x−1=0或x−3=0，∴x1=1，整理得x∵a=1，b=−4，c=−3，∴Δ∴x=∴x1=2+7整理得x配方得：x2∴(x−2)2∴x−2=±1，∴x1=1，A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁【变式6-1】（24-25八年级·河南新乡·期中）用适当的方法解方程：(1)2x−12(2)2x(3)xx−4(4)xx+6【变式6-2】（24-25八年级·云南昭通·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2−13x+42=0的两根，则该等腰三角形的周长是（A．19 B．20 C．18 D．19或20【变式6-3】（24-25八年级·江苏宿迁·期中）若一元二次方程ax+n2+p=0的两个根为x1=1，x【考点7一元二次方程根的判别式】【例7】（24-25八年级·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程：p+1x2+2qx+p+1=0（其中p、①x=−1必是方程p+1②x=0可能是方程x2③方程px④若x1,x2为方程px2+qx+1=0【变式7-1】（24-25八年级·河南洛阳·期中）关于x的方程k−12x2+2k+1A．k>14且k≠1 C．k>14 D．k≥【变式7-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个实数根大于3，求k的取值范围．【变式7-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）已知a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程cx2+m+bx2−m【考点8一元二次方程根与系数的关系】【例8】（24-25八年级·四川内江·阶段练习）非零实数a，b满足a2−a−2023=0，b2−b−2023=0，则【变式8-1】（24-25八年级·山东济南·期中）硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为2和−3，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为1和4．则原方程正确的解为（

）A．x1=2，x2=3 C．x1=6，x2=−1 【变式8-2】（24-25八年级·福建福州·期中）已知a，b是方程x2+x−2025=0的两个实数根，则a2【变式8-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2aA．19 B．20 C．14 D．15【考点9一元二次方程的应用】【例9】（2024·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了m+25小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【变式9-1】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．(1)求返回时A、B两地间的路程；(2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．【变式9-2】（24-25八年级·河南新乡·期中）某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品：(1)求该商品价格的平均月增长率；(2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件，则商家在降价的同时，为保证每月的利润达到6000元，应将售价定为多少元？【变式9-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．(1)若有14人参加旅游，人均费用是元．(2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数．【考点10勾股定理与网格】【例10】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成7×7的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植棵苹果树．【变式10-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在6×6的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．(1)画一个三边长分别为4，5，13的三角形；(2)画一个腰长为10的等腰直角三角形．【变式10-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△BCD的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DBC=（

）A．45° B．75° C．120° D．135°【变式10-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为【考点11利用勾股定理求值】【例11】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，AD与B′C交于E，则CEA．134 B．72 C．258【变式11-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（

）A．2 B．3 C．5 D．2【变式11-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2

【变式11-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5(1)AC的长；(2)四边形ABCD的面积．【考点12赵爽弦图】【例12】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究．(1)类比“弦图”，证明定理小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理．因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为b−a的小正方形组成，即面积表示为：4×12ab+善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形ABCD的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明．(2)利用“弦图”，割拼图形如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图．(3)构造“弦图”，应用计算如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D是BC中点，过点C作CE⊥AD，垂足为点F，交AB于点E，若BE=3，求AB的长．【变式12-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．连接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b．则AN的长度为（

）A．a+b B．a2+b2 C．【变式12-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形ABEC，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为4+45，则图1中的点C到AB的距离为【变式12-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长DK交AB、AC分别于点M、N，延长EH交BD于点P（如图2）．（1）若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，则AB＝（2）如图2，若S四边形AEHNS四边形BMHP=k，则【考点13勾股定理逆定理的应用】【例13】（24-25八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（

）A．南偏东44° B．北偏西44° C．南偏东44°或北偏西44° D．无法确定【变式13-1】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线AC＝【变式13-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且

A．48m2 B．114m2 C．【变式13-3】（24-25八年级·吉林四平·期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离(1)连接AB，则△ABC是__________三角形，请写出推理过程．(2)点C到AB的距离是__________cm．【考点14勾股定理的应用】【例14】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC，AD，AB，且AC⊥BC；再从D地修了一条笔直的水渠DH与支渠AB在点H处连接，且水渠DH和支渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，(1)求支渠AD的长度．（结果保留根号）(2)若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？【变式14-1】（24-25八年级·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）解决下列问题：（1）示意图中，线段AF的长为尺，线段EF的长为尺；（2）求芦苇的长度．【变式14-2】（24-25八年级·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°(1)求AB的距离，（3取1.73）(2)试判断此车是否超过了80km/h【变式14-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．【压轴篇】【考点15化简含字母的二次根式】【例15】（24-25八年级·上海静安·期中）已知xy<0，化简二次根式−xy2yA．x B．−x C．−x D．【变式15-1】（24-25八年级·湖北黄石·期中）已知a<0，则二次根式−a2bA．ab B．a−b C．−ab【变式15-2】（24-25八年级·上海·期中）已知a>0，那么−ab可化简为（

A．b−ab B．−1bab C．【变式15-3】（24-25八年级·北京顺义·期末）当m<0时，化简二次根式mnnmA．nmn  B．−nmn  C．【考点16求立体图形的最短路径问题】【例16】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为10cm，底面周长为12cm，在盒子外壁离上沿2cm的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点A．12cm B．23cm C．6【变式16-1】（24-25八年级·河南周口·期末）如图①所示的正方体木块的棱长为2cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（

A．2+1cm B．2+3cm 【变式16-2】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=13米，AB=2米，点P到AF的距离是3米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（

A．5 B．18 C．13 D．3【变式16-3】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm、高为10cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是cm．【考点17利用一元二次方程求最值】【例17】（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+ca≠0，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法，比如先令ax例：求x2解：令x2+2x+5=y，∴x2+2x+5−y=0请根据上述材料，解答下列问题：(1)求−2x(2)若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为−6，求【变式17-1】（24-25八年级·浙江金华·期中）当a=，b=时，多项式a2−2ab+2b【变式17-2】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）阅读材料：我们都知道a2+2ab+于是，−2=−2=−2=−2x−10又因为a2≥0，所以，所以，−2x2+40x+5如图，某农户准备用长34米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG．设AB=x米．(1)请用含x的代数式表示BC的长___________（直接写出结果）；(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，①请用含x的代数式直接表示出S，S=___________；②山羊的活动范围的面积S能否达到95平方米？能，就求出x的值，不能请说明理由．(3)求出山羊活动范围面积S的最大值．【变式17-3】（24-25八年级·浙江·专题练习）已知x，y为实数，且满足x2−xy+4y2=4，记u=x2+xy−4【考点18利用一元二次方程的解求参数取值范围】【例18】（24-25八年级·浙江温州·期末）已知关于x的方程x2−6x+(a−2)|x−3|+9−2a=0有且仅有两个不相等的实根，则实数A．a=−2 B．a>0C．a=−2或a>0 D．a≤−2或a>0【变式18-1】（2024·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程1−m2x2+2mx−1=0【变式18-2】（24-25八年级·浙江金华·期中）若实数a，b满足12a−ab+bA．a≤−2 B．a≥4 C．a≤−2或a≥4 D．−2≤a≤4【变式18-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1<x【考点19利用一元二次方程的解法解特殊方程】【例19】（24-25八年级·云南昆明·期末）阅读下面的材料，回答问题：要解方程x4−4x解：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为当y1=1时，x2当y2=3时，x2∴原方程有四个根x1=1，x2=−1，我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法．任务：(1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（）A．分类讨论思想

B．转化思想

C．数形结合思想

D．公理化思想(2)仿照上面的方法，解方程x2【变式19-1】（24-25八年级·安徽六安·阶段练习）关于x的方程ax+k2+2023=0的解是x1=−2，x2=1（a问题：（1）关于x的方程ax+3+k2+2023=0的根是（2）关于x的方程ax−k+22+2023=0的根为【变式19-2】（24-25八年级·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：例：解方程x2解：①当x≥0时，原方程为x2解得x1=−1（与x≥0矛盾，舍去），②当x<0时，原方程为x2解得x1=1（与x<0矛盾，舍去），所以原方程的根是x1=3，在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解方程：x2【变式19-3】（24-25八年级·江苏扬州·期末）阅读下列材料：为解方程x4−x2−6=0可将方程变形为x22−x2−6=0然后设x2=y，则x22=y2，原方程化为y2上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）x2（2）3x【考点20利用勾股定理构造图形解决问题】【例20】（24-25八年级·广东江门·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD=__________，S【知识运用】如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD=70米，BC=50米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为__________米．【知识迁移】借助上面的思考过程，画图说明并求代数式x2+9+【变式20-1】（2024·贵州遵义·二模）已知a，b均为正数，且a2+b2，a2A．32ab B．ab C．12【变式20-2】（24-25八年级·山西晋中·期中）如图（单位：cm），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的x至少为．（结果保留根号）【变式20-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．已知A、(1)求风筝离地面的垂直高度CD；(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题．【考点21图形上与已知两点构成直角三角形的点】【例21】（2024·福建·一模）点A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【变式21-1】（24-25八年级·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．【变式21-2】（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）点P在y轴上，A4,1、B1,4，如果△ABP是直角三角形，求点【变式21-3】（24-25八年级·四川·阶段练习）如图，在ΔABC中，AB=AC=20,BC=32，点D在线段BC上以每秒2个单位的速度从B向C移动，连接AD，当点D移动秒时，AD与ΔABC的边垂直．【考点22多结论问题】【例22】（24-25八年级·浙江金华·阶段练习）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=3AD；正确的是（A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【变式22-1】（24-25八年级·浙江嘉兴·期末）已知两个关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一个公共解2，且a≠c，b≠d，b≠0，d≠0．下列结论：①c−ab−d有唯一对应的值12；②a2【变式22-2】（24-25八年级·广东茂名·期中）长方形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上的点M处，分别延长BC,EF交于点N，下列四个结论：①DF=CF；②△BEN是正三角形；③BF⊥EN；④S△BEF其中正确个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式22-3】（24-25八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F分别在直角边AB，AC上（不与端点重合），且BE=AF，连接DE、DF、EF．设BE=a，CF=b，EF=c．给出下面四个结论：①△DEF是等腰直角三角形②a+b=c③a2+b2【考点23新定义问题】【例23】（24-25八年级·湖北荆州·期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BM⊥AC，垂足为M①AB②AB，③以AC+BM，④1AB，1BC，其中正确的说法有．（填写正确说法的序号）【变式23-1】（24-25八年级·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程a1x−m2+k=0与a2x−m2+k=0称为“同族二次方程”，如2x−32+4=0与3【变式23-2】（24-25八年级·江西抚州·阶段练习）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，则△ABC中AB边的“中偏度值”为（

A．247 B．257 C．125【变式23-3】（24-25八年级·吉林长春·期中）定义：我们将a+b与a−例如：已知18−x−11−x=1因为18−x−11−x×(1)已知：20−x+①20−x−4−x②结合已知条件和第①问的结果，解方程：20−x+(2)代数式10−x+x−2中x的取值范围是(3)计算：131

期中易错题压轴题专项复习【23大题型】（考试范围：第16~18章）【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【易错篇】 1【考点1二次根式】 1【考点2根据二次根式的性质化简】 3【考点3二次根式的乘除】 4【考点4二次根式的加减】 7【考点5一元二次方程】 8【考点6一元二次方程的解法】 9【考点7一元二次方程根的判别式】 12【考点8一元二次方程根与系数的关系】 16【考点9一元二次方程的应用】 18【考点10勾股定理与网格】 21【考点11利用勾股定理求值】 24【考点12赵爽弦图】 28【考点13勾股定理逆定理的应用】 35【考点14勾股定理的应用】 38【压轴篇】 42【考点15化简含字母的二次根式】 42【考点16求立体图形的最短路径问题】 43【考点17利用一元二次方程求最值】 47【考点18利用一元二次方程的解求参数取值范围】 51【考点19利用一元二次方程的解法解特殊方程】 53【考点20利用勾股定理构造图形解决问题】 56【考点21图形上与已知两点构成直角三角形的点】 62【考点22多结论问题】 69【考点23新定义问题】 75【易错篇】【考点1二次根式】【例1】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知n是正整数，28n是整数，则n的最小值是(

)A．0 B．2 C．3 D．7【答案】D【分析】首先把28n进行化简，然后根据28n是整数确定n的最小值．【详解】解：∵28n=27n，且∴7n是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数)∴n的最小值是7．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“7n是个完全平方数”．【变式1-1】（24-25八年级·广东河源·期中）若二次根式x−2024x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

A．x>2024 B．x≥2024 C．x<2024 D．x≤2024【答案】B【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得x−2024≥0且x≠0，据此即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：∵二次根式x−2024x∴x−2024≥0且x≠0，解得x≥2024，故选：B．【变式1-2】（24-25八年级·浙江舟山·期中）当x＝－1时，二次根式6−3x的值为.【答案】3【分析】直接将x的值代入进而化简求出答案．【详解】解：∵x=-1，∴6−3x=6−3×（−1）=9=3.故答案为3.【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．【变式1-3】（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）已知y=2x−1+1−2x+2，那么xy=．【答案】1【分析】先根据二次根式的定义求出x的值，继而可得出y的值，再代入求解即可．【详解】解：由题意得出：2x−1≥01−2x≥0解得：x=1∴y=2∴xy故答案为：14【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义，比较基础，熟记定义内容即可．【考点2根据二次根式的性质化简】【例2】（24-25八年级·北京顺义·期中）如果x−2x2−4=2−x【答案】−2≤x≤2/2≥x≥−2【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．【详解】∵x−2∴2−x≥0，x+2≥0∴−2≤x≤2．故答案为：−2≤x≤2．【变式2-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期中）适合2a−32=6−2a的正整数aA．13 B．14 C．15 D．16【答案】B【分析】本题考查的是二次根式的非负性，先根据题意判断出a的符号，求出正整数a的值，进而可得出结论．【详解】解：∵2解得a≤3，∴正整数a的值为1，2，3，∴12故选：B．【变式2-2】（24-25八年级·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+b【答案】2b−2a【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：−1<a<0<b<1，a>b，从而得出【详解】解：由数轴可得：−1<a<0<b<1，a>∴a−b<0，∴a2故答案为：2b−2a．【变式2-3】（24-25八年级·上海·期中）将x−6x【答案】−【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．根据二次根式的性质，得x<0，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，得−6∵−6≠0，∴−6∴x<0，∴x−故答案为：−−6x【考点3二次根式的乘除】【例3】（24-25八年级·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值A+B+C+D=．AB5510C210D【答案】3【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可．【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为52根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得，A×5×2=1010B×10×10=10105×10×C=10102×10×D=1010，解得∴A+B+C+D=25故答案为：35【变式3-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）计算3+22024【答案】3+2【分析】本题考查二次根式的乘法运算，逆用积的乘方以及平方差公式进行计算即可．【详解】解：原式===3故答案为：3+【变式3-2】（24-25八年级·河北唐山·期中）二次根式12，12【答案】30、x+2、x【分析】根据最简二次根式的定义判断即可.【详解】解：第一个根式不是最简二次根式，因为被开方数的因式不是整数，第二个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数，第三个根式为最简二次根式，第四个根式为最简二次根式，第五个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数和因式，第六个根式为最简二次根式，故答案为30【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，明确什么是最简二次根式是解题关键.【变式3-3】（24-25八年级·江西吉安·期末）学习了a2=a小亮：解：原式=a+1−a=1；小芳：解：原式=a+1−a∵a>1，∴原式=a+a−1=2a−1，(1)________的解法是不正确的；(2)化简：ab−ba⋅ab【答案】(1)小亮(2)ab+b【分析】本题考查乘法公式，二次根式的性质以及绝对值的化简，根据给定条件正确运用相关性质进行化简是解答本题的关键．（1）根据a>1得1−a<0，所以原式a+1−a（2）先根据乘法公式化简得：ab−ba⋅ab=(ab)2−b2【详解】（1）解：∵a>1，∴1−a<0，∴a+1−a∴小亮的解法是不正确的，故答案为：小亮；（2）解：原式=(ab)∵a<0，b<0，∴原式=ab+b．【考点4二次根式的加减】【例4】（24-25八年级·江西萍乡·期末）若a=1003+997，b=1001+999，【答案】a＜b＜c【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可．【详解】解：∵a2=2000+21003×997，b2=2000+21001×999，c2=4004=2000+2×1002，1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c.【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式．【变式4-1】（24-25八年级·河北唐山·期末）下列二次根式中，可与12进行合并的二次根式是（

）A．3 B．6 C．18 D．24【答案】A【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】A、由12=23，则3与B、由12=23，则6与C、由12=23，18=32，则D、由12=23，24=26，则故选：A．【变式4-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）已知x=23−1，则代数式x【答案】5【分析】本题主要考查了完全平方公式、分母有理化、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键．由分母有理化可得x=3+1，然后再对【详解】解：∵x=2∴x=3故答案为：5．【变式4-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）已知xy=2,x+y=4，则xy+y【答案】2【分析】将二次根式化简代值即可.【详解】解：x所以原式42故答案为2【点睛】本题考查了二次根式的运算，将二次根式转化为和已知条件相关的式子是解题的关键.【考点5一元二次方程】【例5】（24-25八年级·河南新乡·期中）将一元二次方程4x2−1=5x化成一般形式后，常数项为−1A．4 B．−4 C．5 D．−5【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程4x2−1=5x【详解】解：将一元二次方程4x2−1=5x化成一般形式4x2故选：D．【变式5-1】（24-25八年级·宁夏银川·期中）已知方程m−3x|m−1|−bx−1=0是关于x的一元二次方程，则m【答案】−1【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数x的最高次数为2，即m−1=2且m−3≠0，再结合绝对值的性质解得m【详解】解：∵方程m−3x|m−1|−bx−1=0∴m−1=2且m−3≠0解得：m=−1．故答案为：−1．【变式5-2】（24-25八年级·重庆荣昌·期中）若m是方程x2+x−1=0的一个根，则2024−2mA．2025 B．2024 C．2023 D．2022【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，根据题意可得m2【详解】解：∵m是方程x2∴m2+m−1=0∴2024−2m故选：D．【变式5-3】（24-25八年级·江苏盐城·期中）写一个一元二次方程使它有一个解为1，另一个解为2，并且二次项的系数为1，这个方程是．【答案】x【分析】本题考查一元二次方程，与一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到x−1x−2【详解】∵一元二次方程使它的根为1，2，二次项的系数为1，∴x−1x−2整理得x2故答案为：x2故答案为：x2【考点6一元二次方程的解法】【例6】（24-25八年级·河北唐山·期中）关于x的方程x(x−1)=3(x−1)，下列解法完全正确的是（

）甲乙丙丁两边同时除以(x−1)得到x=3．移项得：x(x−1)−3(x−1)=0，∴(x−1)(x−3)=0，∴x−1=0或x−3=0，∴x1=1，整理得x∵a=1，b=−4，c=−3，∴Δ∴x=∴x1=2+7整理得x配方得：x2∴(x−2)2∴x−2=±1，∴x1=1，A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁【答案】C【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，根据解一元二次方程的方法逐一判断即可．【详解】解：甲需要考虑x−1=0的情况，故甲错误；乙是因式分解法解方程，过程完全正确，故乙完全正确；丙是公式法解方程，过程中的错误为：c=−3，应该是3，故丙错误；丁是配方法解方程，过程完全正确，故丁完全正确．故选：C．【变式6-1】（24-25八年级·河南新乡·期中）用适当的方法解方程：(1)2x−12(2)2x(3)xx−4(4)xx+6【答案】(1)x1=−2(2)x1=(3)x1=−1(4)x1=−4【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：2x−12∴2x−1∴2x−1+3−x即：x+23x−4解得：x1=−2，（2）解：2xΔ=∴x=−b±解得：x1=2+（3）解：xx−4∴xx−4∴x−4解得：x1=−1，（4）解：xx+6∴xx+6∴x∴x∴x+4解得：x1=−4，【变式6-2】（24-25八年级·云南昭通·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2−13x+42=0的两根，则该等腰三角形的周长是（A．19 B．20 C．18 D．19或20【答案】D【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解．【详解】解：x2x−6x−7∴x−6=0或x−7=0，∴x1=6当6是腰时，三角形的三边分别为6、6、7，能组成三角形，周长为19；当7是腰时，三角形的三边分别为7、7、6，能组成三角形，周长为20；∴该等腰三角形的周长是19或20，故选：D．【变式6-3】（24-25八年级·江苏宿迁·期中）若一元二次方程ax+n2+p=0的两个根为x1=1，x【答案】x【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程ax+n+32+p=0的两根x1、x2满足关系式x1+3=1、x【详解】解：∵方程ax+n2+p=0∴方程ax+n+32+p=0的两根x∴x1故答案为：x1【考点7一元二次方程根的判别式】【例7】（24-25八年级·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程：p+1x2+2qx+p+1=0（其中p①x=−1必是方程p+1②x=0可能是方程x2③方程px④若x1,x2为方程px2+qx+1=0【答案】②③④【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式可得q=±p+1【详解】解：∵方程p+1x2+2qx+p+1=0∴Δ=2q2∴q=±p+1当q=p+1，原方程为：qx∵q≠0，∴x2+2x+1=0∴x=−1，∴x=−1是方程p+1当q=−p+1，即p+1=−q原方程为：−qx∵q≠0，∴x2−2x+1=0∴x=1，∴x=1是方程p+1综上，x=−1不一定是方程p+1当x=0时，则02+q×0+p=0，即∵p+1≠0，∴p≠−1，∴p=0符合题意，∴x=0可能是方程x2由①知，当q=p+1，x=−1是方程q∴方程px∵x1,x当q=p+1时，方程px2+qx+1=0即px+1x+1∴x∵方程x2+qx+p=0为即x+1x+p∴x∵x同理，当q=−p+1时，方程px2即px−1x−1∴x∵方程x2+qx+p=0为即x−1x−p∴x∵x综上，若x1,x2为方程px2+qx+1=0故答案为：②③④．【变式7-1】（24-25八年级·河南洛阳·期中）关于x的方程k−12x2+2k+1A．k>14且k≠1 C．k>14 D．k≥【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．根据方程有实数根，利用根的判别式来求k的取值范围即可．【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x的方程k−12∴△=2k+12−4×解得：k≥14且当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根，综上所述，k≥1故选：B．【变式7-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个实数根大于3，求k的取值范围．【答案】(1)详见解析(2)k>【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出Δ≥0（2）设方程的两个根分别为x1，x2，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得【详解】（1）证明：∵a=1，b=−2k+1，c=2k∴Δ∴无论k为何值，方程总有两个实数根；（2）解：由（1）知，a=1，b=−2k+1，c=2k，b解方程得x=2k+1±∴x1=2k由题意可知，2k>3，∴k>3【变式7-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）已知a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程cx2+m+bx2−m【答案】直角【分析】本题考查根的判别式，将方程转化为一般式，根据方程有2个相同的实数根，得到Δ=0【详解】解：方程转化为：c+bx由题意，得：Δ=整理，得：4ma∵m>0，∴a2∴a2∵a、b、c是△ABC的三边，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角．【考点8一元二次方程根与系数的关系】【例8】（24-25八年级·四川内江·阶段练习）非零实数a，b满足a2−a−2023=0，b2−b−2023=0，则【答案】−40472023【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2【详解】解：∵非零实数a，b满足a2−a−2023=0，∴当a≠b时，实数a，b是方程x2−x−2023=0的两个不同的根，由根与系数的关系可得a+b=1，ab=−2023，此时当a=b时，实数a，b是方程x2−x−2023=0的同一个根，此时综上所述，ba+ab的值是故答案为：−40472023或【变式8-1】（24-25八年级·山东济南·期中）硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为2和−3，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为1和4．则原方程正确的解为（

）A．x1=2，x2=3 C．x1=6，x2=−1 【答案】C【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的一般式，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题；设一元二次方程为x2+bx+c=0，构建方程组求出b，【详解】解：设一元二次方程为x2由题意得：c=−6−b=1+4∴b=−5∴方程为x2x−6x+1∴x−6=0或x+1=0，解得：x1=6，故选：C【变式8-2】（24-25八年级·福建福州·期中）已知a，b是方程x2+x−2025=0的两个实数根，则a2【答案】2026【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和等于−ba，两根之积等于ca是解题的关键．根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出【详解】解：∵a,b是方程x2∴a+b=−1，a2∴a故答案为：2026．【变式8-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2aA．19 B．20 C．14 D．15【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程x2∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵a3=∴2=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1=9a+9b+6=9(a+b)+6=9×1+6=15故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【考点9一元二次方程的应用】【例9】（2024·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了m+25小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)m的值为10【分析】（1）设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面2x+30米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“A型设备铺设的路面长度+B型设备铺设的路面长度=3600+750”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面2x+30米，根据题意得，30x+302x+30解得：x=30，则2x+30=90，答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，3030+m+25整理得，m2解得：m1=10，∴m的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．【变式9-1】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．(1)求返回时A、B两地间的路程；(2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．【答案】(1)1800米(2)52分钟【分析】本题考查一元一次方程，一元二次方程的应用．（1）可设返回时AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；（2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量，列出方程即可求解．【详解】（1）解：设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：x+20025解得x=1800，答：返回时A、B两地间的路程为1800米；（2）解：设小明从A地到C地共锻炼了y分钟，由题意得：25×6+5×10+10+整理得y2解得y1=52，答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．【变式9-2】（24-25八年级·河南新乡·期中）某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品：(1)求该商品价格的平均月增长率；(2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件，则商家在降价的同时，为保证每月的利润达到6000元，应将售价定为多少元？【答案】(1)20(2)60元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设该商品平均每月的价格增长率为m，501+m解得m1=0.2=20%答∶该商品平均每月的价格增长率为20（2）解：依题意，得x−40180+10解得∶x1∵商家尽快将这批商品售出，∴取60，答∶x为60时该商品每月的利润可达到6000元．【变式9-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．(1)若有14人参加旅游，人均费用是元．(2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数．【答案】(1)220(2)参加活动的学生人数为18人【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．（1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可；（2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案．【详解】（1）解：根据题意，若有14人参加旅游时，人均费用为：240−5×14−10（2）解：设参加活动的学生人数为x人，∵10×240=2400<3600，∴x>10，由题意得，x240−5解得x1=18，当x1=18时，当x2=40时，∵90<170不符合题意，∴舍去．答：参加活动的学生人数为18人．【考点10勾股定理与网格】【例10】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成7×7的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植棵苹果树．【答案】13【分析】此题考查了勾股定理和无理数的估算．此题为了最大化种植苹果树的数量，同时满足每两棵苹果树之间的距离都要大于2米的要求，我们采用隔点种植的方法，在横纵方向，每行每列最多能种植3棵苹果树，因两棵树之间的距离最小为3米，而试验田的边长为7米，所以最多可以种植3棵苹果树，满足要求，即可求出答案．【详解】解：在7×7的正方形网格田中，采用隔点种植的方式，每行每列最多能种植3棵苹果树,小正方形的对角线长度为22+2如图，因此，这块试验田最多可种植13棵苹果树，故答案为：13【变式10-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在6×6的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．(1)画一个三边长分别为4，5，13的三角形；(2)画一个腰长为10的等腰直角三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正确画图是解答本题的关键．（1）根据勾股定理画出5,13的线段可得三边长分别为4，5，（2）运用勾股定理求出边长为10，可画出腰长为10的等腰直角三角形【详解】（1）解：5=12如图，即为边长分别为4，5，13的三角形，（2）解：10=如图，即为腰长为10的等腰直角三角形【变式10-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△BCD的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DBC=（

）A．45° B．75° C．120° D．135°【答案】D【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，取格点E，F，连接AE,CE，利用勾股定理证明△ACE是等腰直角三角形，得出∠ACE=45°，根据格点的性质推出BD∥CE，得到∠DBC=∠ECF，即【详解】解：如图，取格点E，F，连接AE,CE，∵AE=12∴AC∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，由格点的性质得：BD∥∴∠DBC=∠ECF，∴∠ACB+∠DBC=∠ACB+∠ECF=180°−∠ACE=135°，故选：D．【变式10-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为【答案】2【分析】由勾股定求出AC2=5，AB2=20，BC2=25，得到AC=5，AB=25，BC=5【详解】解：由勾股定理得：AC2=22∴AC=5，AB=25，∵AC∴Δ∵AD⊥BC，∴△ABC的面积=1∴5×2∴AD=2．故答案为：2．【考点11利用勾股定理求值】【例11】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，AD与B′C交于E，则CEA．134 B．72 C．258【答案】C【分析】先根据翻折变换的性质得出AB=AB′=3，BC=B′C=4，再由AAS得出△CDE≌△AB′E，则AE=CE【详解】解：∵长方形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD=AB=3，∵将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，AD与B′C∴AB=AB′=3在△CDE与△ABCD=AB∴△CDE≌△AB∴AE=CE，DE=B设CE=x，则DE=4−x，在Rt△CDE中，DE2解得x=25∴CE=25故选：C．【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．【变式11-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（

）A．2 B．3 C．5 D．2【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明Rt△ABC≌Rt△DBIHL得S△ABC=S△DBI，设AC=a，BC=b，【详解】解：∵四边形ABDE，BCHI为正方形，∴AB=BD，BC=BI，∠ACB=∠DIB=90°，∴Rt△ABC≌∴S△ABC设AC=a，BC=b，AB=c，由勾股定理得，a2即S正方形S正方形∴S正方形∴S正方形ACFG=∴a=2，即AC=2，故选：D．【变式11-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2

【答案】17【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可；【详解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，AA∴A∵AD=1,BC=4,∴A故答案为：17．【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．【变式11-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5(1)AC的长；(2)四边形ABCD的面积．【答案】(1)6(2)4【分析】本题主要考查了勾股定理的综合运用、三角形面积的计算等知识点；由勾股定理求出AE、（1）由垂直的定义得出∠AED=∠AEC=90°，由勾股定理求出AE，再求出CE，然后根据勾股定理求解即可；（2）由勾股定理求出AB，再求出CD，再根据S四边形ABCD=【详解】（1）解：∵AE⊥CD，∴∠AED=∠AEC=90°，∵AD=61∴AE=A∴CE=AE=6，∴AC=A（2）解：∵∠B=90°，∴AB=A∵CD=CE+DE=6+5=11，∴S四边形ABCD【考点12赵爽弦图】【例12】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究．(1)类比“弦图”，证明定理小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理．因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为b−a的小正方形组成，即面积表示为：4×12ab+善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形ABCD的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明．(2)利用“弦图”，割拼图形如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图．(3)构造“弦图”，应用计算如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D是BC中点，过点C作CE⊥AD，垂足为点F，交AB于点E，若BE=3，求AB的长．【答案】(1)证明见解析(2)作图见解析，(3)9【分析】（1）依据题意，四边形ABCD的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示；（2）由5个小正方形组成的十字形纸板得，拼成的大正方形边长应为5，由此可得出要沿宽为1，长为2的长方形对角线剪开，才能形成边长为22+12=（3）依据题意，过B作BG⊥BC交CE的延长线于点G，先证明△ACD≌△CBG，从而CD=BG，再由D是CB的中点，可得CD=12BC=12AC，故BG=12AC，又∠CBG+∠ACB=180°，可得AC∥BG，取AE的中点为H，CE的中点为P，连PH，构造中位线，证出HP∥AC，HP=【详解】（1）证明：由题意，图中的四边形ABCD为直角梯形，△EDA为等腰直角三角形，Rt△ABE和Rt设梯形ABCD的面积为S，则S=1又∵S=S∴1∴a（2）由题意，把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，可拼成一个大正方形．，（3）由题意，过B作BG⊥BC交CE的延长线于点G，取AE的中点为H，CE的中点为P，连PH，∵CF⊥AD，∴∠DAC+∠ACF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠GCB=90°．∴∠DAC=∠GCB．又∵AC=CB，∠ACD=∠CBG=90°，∴△ACD≌△CBGASA∴CD=BG．又∵D是CB的中点，∴CD=1∴BG=1∵∠CBG+∠ACB=90°+90°=180°，∴AC∥BG，∵AE的中点为H，CE的中点为P，∴HP∥AC，HP=1∴HP∥AC∥BG，HP=1∴∠PHE=∠EBG，∠HPE=∠G，∴△PHE≌△GBEASA∴BE=EH=HA=1又∵BE=3，∴AE=6，∴AB=AE+BE=6+3=9．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题时要熟练掌握并能读懂题意，找出关键图形是关键．【变式12-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．连接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b．则AN的长度为（

）A．a+b B．a2+b2 C．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为2b，得到S△ADM=142a−2b=12AM⋅DN=【详解】解：由题意得AM=DN，∵正方形ABCD的面积为2a，∴AD=2∵阴影部分的面积为2b，∴S△ADM∴AM=a−b∵S△A